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1、第一章复数与复变函数（Complex number and function of the complex variable）,1.1复数 1.2复数的表示 1.3平面点集的一般概念 1.4无穷大与复球面 1.5复变函数,1.1 复数 1.2 复数的表示,一、复数的概念,1.1复数(Complex number),二、复数的四则运算,三、复平面,注意：任意两个复数不能比较大小。,一.复数的概念,对任意两实数x、y,称 z=x+iy为复数。,复数z 的实部 Re(z)=x;虚部 Im(z)=y.,设复数,（表示的唯一性）,设z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则（1）z1z2=(x1x2)+
2、i(y1y2)（2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),二、复数的四则运算,复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。,全体复数并引进上述运算后称为复数域，用 C 表示。,共轭复数,设,称 为z 的共轭复数.,0,x,y,z=x+iy,z=x-iy,-,共轭复数的性质,三、复平面,则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数，称为实轴，y轴上的点表示纯虚数，数称为虚轴；整个坐标平面我们称为复平面或z平面,复平面,实轴,虚轴,例如 上半平面 下半平面 它们都以实轴 为边界，左半平面 右半平面 它们都以虚轴 为边界。带形域,o
3、,x,y,方形域 z:0Rez1，0 Imz 1,1.2复数的三角表示(The representation of complex number),一、复数的模和辐角,二、复数的三角不等式,三、复数的三角表示方法,四、用复数的三角表示作乘除法,五、复数的乘方与开方,一、复数的模和辐角,x,y,向量的长度称为复数的模，记作：,向量与正实轴之间的夹角称为复数 的辐角，记作：由于任意非零复数有无限多个辐角，用 表示符合条件 的一个角，称为复数主辐角。即 的主值，于是,注意：（1）当 时，其模为零，幅角无意义（2）规定逆时针方向旋转的角度为正.(3)对 任意的z0，有无穷多个辐角，彼此相差2的整数倍.
4、所以z1=z2 r1=r2,1=2+2k,k(整数集),例如：,二、复数的三角不等式,关于两个复数,的和与差的模，有下列不等式：,平面上一矢量 oz与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。,x,y,O,事实上,有,1.点的表示法2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法,三、复数的表示方法,注：复数的代数表示为 z=x+iy,1.点的表示法,2.向量表示法,x,y,3、三角表示法,上式右端称为复数 的三角表示式,设 的复数，复数 的模为，复数的辐角,则,解：因为,4、指数表示法,的指数表示,注意,四、用复数的三角表示作乘除法,后一个式子应理解为集合相等。,设、是两个非零复数，则有,
5、几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,o,1,2,z1z2,z1,z2,2,同理，对除法有,即,后一个式子也应理解为集合相等。,五、复数的乘方与开方,1、复数的乘方2、复数的开方,1.复数的乘方,设 则,特别：当r=1时，则有此实称为棣莫佛(De Moivre)公式。,例如：,（指数形式）,2、复数的开方,开方是乘方的逆运算，设,则称复数,为复数,容易得,其中r=|z|,=argz.,解：由于,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,1.3平面上点集的一般概念1.4复球面与无穷大,1.5复
6、变函数,1.3 平面点集的一般概念,一、开集与闭集二、区域三、平面曲线,一、开集与闭集,邻域 平面上以 为心，为半径的圆的内部所有点的集合称为点 的 邻域，记作，即,称集合 为 的 去心邻域,记作,邻域 平面上以 为心，为半径的圆的内部所有点的集合称为点 的 邻域，记作，即,z0,若存在0,使得 E的内点.,E,z0,z0,.,开集 如果点集 的每一个点都是 的 内点，则称 为开集.,连通集 设是 开集，如果对于 内任意 两点，都可用 内折线连接起来，则称开集 是连通集,定义 若，均有 则称 为有界集，否则称 E 为无界集,例如：|z|0,1Imz2,是开集,无界集,二、区域,区域（或开区域)
7、连通的开集称为区域,或开区域.,闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为,注意：区域都是开的，不含它的边界，所以表示区域的不等式一般不带等号，但个别除外。,o,1,例1.5 平面上以点 为心，R为半径的圆周内部（即圆形区域）：例1.6 平面上以点 为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）:例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周 为边界，且均为有界域,使,则称此曲线C有重点，,无重点的连续曲线称为简单曲线或约（Jordan）曲线；,除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线。,三、平面曲线,1.简单曲线、简单闭曲线,2.光滑曲线、分段光滑曲线,设曲线 的方程为,若，在 上可导,且,连续
8、不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.,3.单连通域、多连通域,设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都,在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上，单连通区域是一个没有“空（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域,对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察者沿C绕行一周时，C的内部始终在 C的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称 C为的正方向（或负方向）,单,逆时针,外逆内顺,
9、复数在几何上的应用,1、连接 及 两点的线段的参数方程为过 及 两点的直线的参数方程为,z1,z2,Z,z,由此可得三点z1，z2，z3共线的充要条件是,2、平面上以原点为心，R为半径的圆周的方程为 平面上以 为心，R为半径的圆周的方程为3、z平面上实轴的方程为,虚轴的方程为,4、z1 z2 z3是等边三角形 向量z2-z1绕z1旋转/3,z1,z2,z3,/3,-/3,z3,例：已知正三角形的两个顶点为,求三角形的另一个顶点。,x,y,O,4 无穷大与复球面,一、复球面二、扩充复平面的定义,.,一、复球面,1、南极、北极的定义,x,y,O,N,S,z,如右图取一张复平面，做一个与复平面相切与
10、原点z=0的球面，,.,x,x,O,N,S,z,P(z),z,球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,2、复球面的定义,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N之间一一对应关系.,.,因而球面上的北极 N 就是复数的几何表示.,x,x,O,N,S,z,P(z),z,二、扩充复平面的定义,我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.,复平面加上无穷远点后称为扩充复平面，记作C,.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面
11、.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数 来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,64,1.5 复变函数(Function of the complex variable),一、复变函数二、映射的概念三、复变函数的极限与连续性,一.复变函数,例1,例2,69,取两张复平面，分别称为z平面和w平面,70,二、映射的概念,在几何上，可以看作：,1.复变函数的极限2.复变函数极限的四则运算法则3.复变函数的连续性,三、复变函数的极限与连续性,1.复变函数的极限,定义1.1,定理1.1,注：定义中 的方式是任意的.,2、复变函数极限的四则运算法则：,.,例1 试求极限,解:,.,例2,证明：,3.复变函数的连续性,定义1.2,定理1.2,注1.,第一章 总结,
