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1、数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-1,多元函数微分学（续）与矩阵理论,第四章,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-2,第四章 基本内容,数学基础 Rn中的中值定理与Taylor定理 矩阵的负定和半负定性,数学和经济学上的应用凹（或凸）函数拟凹（拟凸）函数优化理论二充分阶条件,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-3,数学基础,几种空间 Rn中的极限与点集矩阵的负定和半负定性,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-4
2、,数学基础几种空间,线性空间（向量空间）任给一个非空集合V，在V中定义一个加法和一个纯量乘法运算，满足x,yV有x+y V；xV，R有xV；且有(L-1)结合律x+(y+z)=(x+y)+z；(L-2)交换律x+y=y+x；(L-3)一个称作0的元素使得x+0=0+x=x；(L-4)xV，存在一个元素x使x+(x)=0;(L-5)结合律(x)=()x;(L-6)分配律(x+y)=x+y;(L-7)分配律(+)x=x+x;(L-8)1x=x；这里,R，x,y,zV则称V是（实）线性空间或向量空间，V中的元素称作向量,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4
3、-5,数学基础几种空间,例4.1.1 Rn=(x1,x2,xn)|xi R,i=1,2,n x,yRn，R，定义一个加法和一个纯量乘法运算如下：x+y=(x1+y1,xn+yn)，x=(x1,xn)，则容易验证(L-1)(L-8)成立因此R n是一个向量空间,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-6,数学基础几种空间,内积与内积空间 设V是一个实向量空间，若x,yV有一个确定的实数（记作x y）与它们对应，并满足下列条件：(I-1)x y=y x(I-2)(x+y)z=(x z)+(y z)(I-3)x x 0且x x=0 x=0，这里x,y,zV，
4、R则x y叫做向量x与y的内积，定义了内积的向量空间V 称作内积空间例4.1.2 设R n是一个实向量空间，x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn)Rn，定义,易验证Rn满足(I-1)(I-3)，故是一个内积空间，称作Euclidean空间,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-7,数学基础几种空间,距离与度量空间 设V，d：V V R为一映射，若x,y,zV有（M-1）非负性：d(x,y)0且d(x,y)=0 x=y（M-2）对称性：d(x,y)=d(y,x)（M-3）三角不等式：d(x,z)d(x,y)+d(y,z)则称d为V的一个度量
5、，偶对（V，d）称为度量空间，实数d(x，y)称两点x与y之间的距离,例4.1.3设Rn是一个实向量空间，(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn)Rn，定义 则可验证映射d满足(M-1)(M-3)，故(R n，d)是一个度量空间,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-8,数学基础几种空间,范数与赋范线性空间 设V是一个实线性空间，若V上的实值函数.：x x满足：（N-1）非负性：x 0且x=0 x=0；（N-2）三角不等式：x+y x+y；（N-3）x|x其中x,yV，aR，则.称为范数，x称为向量x的范数（V，.）称为一个赋范线性空间,例4.
6、1.4 设Rn是一个实向量空间，(x1,x2,xn)Rn，定义则.满足(N-1)(N-3)，因此（Rn，.）是一个赋范线性空间，.称作欧氏范数,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-9,数学基础几种空间,向量xR n的长度可计算为x向量x与y间的夹角可计算为：,由例4.1.2 4.1.4知下面的关系式成立：,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-10,Rn中的极限与点集,Rn中的序列R n中的序列：R n中的序列可表示为x m，对每个m，x m=（x1m,x2 m,xn m）R n邻域：以x0为中心的邻域定
7、义为,几何意义：当n=2或3时，N(x0)表示以x0为圆心以为半径的圆或球的内部,收敛定义 称序列x m收敛于x R n或以x为极限，若 0，存在正整数M，使得当m M 时有,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-11,Rn中的极限与点集,收敛定理 xm Rn收敛 xim收敛，i=1，2，n这里xm=（x1m,x2 m,xn m）,定理 若,这里，m=1，2，+,则,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-12,Rn中的极限与点集,Rn中的点集内点、内部与开集定义 称x0为集合X的内点，若存在N(x0)，使N
8、(x0)XX的内部，记作intX，是指X的全部内点所构成的集合若X=intX，即X 的每一个点都是它的内点，则称X是一个开集定理 有限个开集的交集是开集；任意数目（有限或无限）的开集的并集是开集极限点、导集与闭集称x0为X 的极限点（或聚点），若存在序列xm，xmX互异，使得,X的全体极限点构成的集合（记作X）叫做X的导集称X X 为X的闭包，记作cl(X)若cl(X)=X，则称X为闭集,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-13,Rn中的极限与点集,边界点与孤立点定义4.1.6称x0为集合X的边界点，若 0，N(x0)中既含有X的点，又含有不属于X
9、的点；称x0为X的孤立点，若x0 X且x0不是X的极限点定义4.1.7 称X Rn为有界点集，若对于常数M 0，使x X有|x|M（Bolzano-Weierstrass定理）设X Rn是一个有界的无限点集，则存在xm X，使,设是一个无界点集，则存在xm X，使,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-14,Rn中的极限与点集,紧集与连续函数定义4.1.8 称X Rn是紧集，若X是有界的闭集定理4.1.9 X Rn是紧集 X中的任一序列一定有收敛于X的一点的子序列定理4.1.10 设X Rn是紧集，f：X Rk是连续函数，则f(X)=yRk|y=f(
10、x)，xXRk是紧集；若k=1，则在X上有最大值与最小值注记4.1.1 定理4.1.10是闭区间上的连续函数一定在该区间上有最大与最小值定理的推广,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-15,R n中的凸集与凸集分离定理,凸集 称集合X Rn是凸集，若对任意x，y X，对任意 0，1，恒有 x+(1)y X 几何意义：X是凸集是指对任意x，y X，包含连接两点x和y的线段例4.1.5 容易验证集合X=x Rn|Amnx bm1是凸集，称作凸多面体（集）,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-16,Rn中的凸
11、集与凸集分离定理（续）,凸集运算定理4.1.11任意多个凸集的交是凸集；凸集的并未必是凸集集合S Rn的凸包定义为,几何上看，C0(S)是凸集，且表示包含集合S的最小凸集或是包含集合S的所有凸集的交集,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-17,Rn中的凸集与凸集分离定理（续）,极点 定义4.1.11 设X Rn是凸集，称x X是X的极点，若对任意的y，z X和(0，1)，x不能表示为x=y+(1)z 超平面与半空间 定义4.1.12 给定p Rn且p 0，c R，由p和c生成的超平面是集合：Hp,c=x Rn|px=c集合x Rn|px c和x R
12、n|px c分别叫做上半空间和下半空间 例4.1.5 令p=(1，2)，c=2，则得超平面（直线）Hp,c=(x1,x2)|x1+2x2=2、上半空间(x1,x2)|x1+2x2 2和下半空间(x1,x2)|x1+2x2 2,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-18,Rn中的凸集与凸集分离定理（续）,分离超平面定理定理4.1.12 设X Rn是凸集且是闭集，x X，则存在p Rn且p 0，c R，使 px c py c对任意y X更一般地，设集合A，B R n是凸集且AB=，则存在p Rn且p 0，c R，使 px c 对任意x Apy c对任意y
13、 B 即存在一个分离集合A和集合B的平面x Rn|px=c，使集合A和B分别位于该平面的不同侧,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-19,x0,x,y,p,X,R n中的凸集与凸集分离定理（续）,支撑超平面定理 设X Rn是凸集，x int X，则存在则存在p Rn且p 0，使对任意y X有px py,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-20,矩阵的负定和半负定性,负定和半负定性定义 4.3.1 设A是nn阶实对称矩阵（1）称A或二次型Q(z)=zTAz是半负定的，若z Rn有zTAz 0；（2）称A或
14、二次型Q(z)=zTAz是负定的，若z Rn且z 0有zTAz 0；将上面（1）和（2）中的不等式反向，即得到半正定矩阵和正定矩阵的概念显然有：A是半正定（正定）A是半负定（负定）的应用（1）A的半负（正）定性用于无约束最优化问题的极大（小）值充分条件的判断；函数的凹（凸）性的判断。（2）A的负（正）定性用于无约束最优化问题的严格极大（小）值充分条件的判断；函数严格凹（凸）性的判断,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-21,矩阵的负定和半负定性continued.,A的k阶顺序主子式设M是mn阶矩阵，由矩阵M的前k行构成（或去掉A的最后m k行所得
15、）的矩阵，叫做矩阵M的kn阶子阵，记作k M；由矩阵M的前k列构成（或去掉A的最后n k列所得）的矩阵，叫做矩阵M的mk阶子阵，记作Mk；由矩阵M的前k行和前k列构成的矩阵，叫做矩阵M的kk阶子阵，记作k Mk 设A是nn阶矩阵，由矩阵A的前k行和前k列的元素构成（或去掉A的最后n k行和相应的最后n k列后所得）的矩阵，叫做A的k阶顺序主子阵，记作 k Ak；称|k Ak|为矩阵A的k阶顺序主子式，k=1，2，n易知nn阶的矩阵A的所有的顺序主子式有n个（每阶有一个）,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-22,矩阵的负定和半负定性continue
16、d.,A的k阶主子阵设A是nn阶矩阵，由矩阵A的第j1,j2,jk行和相应的第j1,j2,jk列的元素构成k阶的矩阵，叫做A的k阶主子阵，记作kAk；称|kAk|为矩阵A的k阶主子式，k=1，2，nA的k阶主子式有Cnk个A的所有的主子式有2n 1个,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-23,矩阵的负定和半负定性continued.,负定和半负定性的判定方法行列式法定理 设A是一个nn阶对称矩阵，则（1）A是正定的|k Ak|0，k=1，2，n；（2）A是半正定的|k Ak|0，k=1，2，n；（3）A是负定的(1)k|k Ak|0，k=1，2，n
17、；（4）A是半负定的(1)k|k Ak|0，k=1，2，n（5）A是正定的（不必是对称的）|k Ak|0，k=1，2，n；（6）A是负定的（不必是对称的）(1)k|k Ak|0，k=1，2，n,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-24,矩阵的负定和半负定性continued.,矩阵的特征值法定理 设A是一个nn阶对称矩阵，则（1）A是正（负）定的 A的每个特征值是正（负）的；（2）A是半正（半负）定的 A的所有特征值是非负（正）的正负定性与最优性设有二次型Q(x1,x2,xn)=xTAx，这里AT=A，则x=0是Q的唯一最大值点 A是负定的；x=0
18、是Q的唯一最小值点 A是正定的,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-25,矩阵的负定和半负定性continued.,线性约束下二次型的正负定性定义 4.3.4 设A是一个nn阶对称矩阵，B是一个秩为m（m n）的mn阶矩阵称二次型Q(x)=xTAx在约束集SB=xRn|Bx=0上是负定的，若xSB且x 0，都有Q(x)0；称二次型Q(x)=xTAx在约束集SB上是半负定的，若xSB，都有Q(x)0将上面的不定式反向，即得到二次型Q(x)=xTAx在约束集SB=xRn|Bx=0上是正定的和半正定的定义应用：（1）线性约束下的二次型半负（正）定性用于约
19、束最优化问题的极大（小）值充分条件的判断；函数的拟凹（凸）性的判断。（2）线性约束下的二次型负（正）定性用于约束最优化问题的严格极大（小）值充分条件的判断；函数的严格拟凹（凸）性的判断。,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-26,线性约束下二次型的正负定性判断法（I）定理（Simon 和Blume）设Q(x)=xTAx，约束集SB=xRn|B x=0其中A是一个nn阶对称矩阵，B是一个秩为m的mn阶矩阵，且m n构造(m+n)(m+n)阶的对称（加边）矩阵,（1）若|H|的符号为(1)n，且H的后n m个顺序主子式的符号交替出现，则Q(x)在SB上
20、是负定的，且x=0是Q(x)在约束集SB上的严格极大值点（2）若|H|和H的后n m个顺序主子式的符号都为(1)m，则Q(x)在SB上是正定的，且x=0是Q(x)在约束集SB上的严格极小值点（3）若有非零的顺序主子式违背条件（1）和（2），则Q(x)在SB上是不定的，且x=既不是二次型Q(x)在约束集SB上的极大值点，也不是极小值点,从|H|开始，检验H 的后n m个顺序主子式（阶数分别为2m+1，2m+2，m+n）的符号,H=Hm+n=,（4）令m=1，若H1+n 的后n个顺序主子式的符号交替出现，则Q(x)在一个线性约束 下是负定的；若H1+n的后n个顺序主子式有同样的符号（），则Q(x)
21、此线性约束下是正定的,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-27,线性约束下二次型的正负定性判断法（II）定理（Mas-Colell，Whinston和Gree）设A是一个nn阶对称矩阵，B是一个秩为m的mn阶矩阵，且m n为了确定n个变量的二次型Q(x)=在约束集SB=xRn|B x=0上是负定的或正定的，构造如下的(m+k)(m+k)阶的对称（加边）矩阵,k=m+1，n,这里k Ak是A的k阶顺序主子阵，Bk是由矩阵B的前k列构成的矩阵,（1）二次型Q(x)在约束集SB上是负定的(1)k|Hm+k|0，k=m+1，n（2）二次型Q(x)在约束集S
22、B上是正定的(1)m|Hm+k|0，k=m+1，n 注：|Hm+k|（k=m+1，n）正好是H 的后n m个顺序主子式,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-28,线性约束下二次型的半正和半负定性判断法定理（Mas-Colell，Whinston和Gree）设A是一个nn阶对称矩阵，B是一个秩为m的mn阶矩阵，且m n为了确定n个变量的二次型Q(x)=xTAx在约束集SB=xRn|B x=0上的半负定性或半正定性，构造如下的(m+k)(m+k)阶的对称（加边）矩阵,k=m+1，n,这里k Ak 是A的k阶主子阵，是由矩阵A的第j1,j2,jk行和相应
23、的第j1,j2,jk列的元素构成的矩阵，j1,j2,jk是集合1，2，n中的任意k个数组成的一个组合（这样的组合共有Cnk个）；Bk 是由矩阵B的第j1,j2,jk列构成的矩阵；(Bk)T是Bk的转置矩阵,（1）二次型Q(x)在约束集SB上是半负定的(1)k|Hm+k|0，k=m+1，n（2）二次型Q(x)在约束集SB上是半正定的(1)m|Hm+k|0，k=m+1，n,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-29,检验二次型Q(x1，x2，x3，x4)=x12 x22+x32+x42+x22+4x2x3 2x1x4在约束集x2+x3+x4=0，x1 9
24、x2+x4=0上的正负定性,x=(x1，x2，x3，x4)T,本题中，m=2，n=4构造加边对称矩阵H 如下：,解：由题意需验证二次型Q(x1，x2，x3，x4)=xTAx在约束集合表示为SB=xR4|Bx=0上的正负定性其中,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-30,由定理4.3.3（Simon 和Blume）需检验对称矩阵H的后n m=4 2=2个顺序主子式，即|H6|和|H5|的符号情况,因此H的后2个顺序主子式的符号相同，均为(1)m=(1)2，故Q在 Bx=0上是正定的。,|H6|=24,数理经济学（Mathematical Economics），刘树林，2005,4-31,作业：4.1 a)补充题：考虑例4.3.1，检验二次型Q(x1，x2，x3，x4)=x12 x22+x32+x42+4x2x3 2x1x4在约束集x2+x3+x4=0，x1 9x2+x4=0上的半正或半负定性,
