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1、第十一章,第六节,多元函数微分学的应用,1.空间曲线的切线与法平面,2.曲面的切平面与法线,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在,极限位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的,该点的法平面.,1.空间曲线的切线与法平面,(1)曲线方程为参数方程的情形,上点 处的切线的方向向量,上点 处的切线方程,称为曲线的切向量,不全为0,法平面方程,注.,若光滑曲线表示为：,切线方程：,法平面方程：,：,(2)曲线方程为一般方程的情形,切线方程：,或,法平面方程为：,解,切线方程:,法平面方程:,例1,求空间曲线的切线（或法平面）：一求切点；二求切向量.,解,例2,例3 求曲线,在点,M(1,2
2、,1)处的切线方程与法平面方程.,解法1,则,切向量,点 M(1,2,1)，,切向量：,切线方程,即,法平面方程,即,(1)形如 F(x,y,z)=0 的曲面的切平面与法线,若光滑曲面：,可以证明：上通过点M0,且在点M0处有切线的任一曲线在该点的切线都在同一平面上，该平面称为M0处的切平面。,2.曲面的切平面与法线,过 M0点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的法线.,曲线在M0 处的切向量：,在曲面上任取一条通过点M0 的曲线,证,M0处任一曲线在该点的切线都在同一平面上.,法线方程,切平面方程,曲面F(x,y,z)=0在点M0的法向量,例4 求椭球面,在点(1,2,3),处的切平面及法线
3、方程.,解,所以在球面上点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例5,证,例6,解,设 为曲面上的切点,则切平面的法向量：,(2)形如 z=f(x,y)的曲面的切平面与法线,若光滑曲面：,曲面z=f(x,y)在点M0的法向量,法线方程:,一求切点,二求曲面的法向量.,例7,解,解,例8,注.,求光滑曲线,切向量的第二种方法：,例3,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法2,即,曲线的切向量：,求曲线,的法向量分别为：,法平面方程,即,1.空间曲线的切向量,（1）参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,空间光滑曲线,切向量,（2）一般式情况.
4、,2.曲面的法向量,（1）曲面方程为隐式,其法向量,（2）曲面方程为显式,其法向量,其中,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:在曲面上任意取一点,则通过此,2.设 f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面为,备用题,与定向量平行,分析 只须证曲面上任一点处的法向量与 定向量垂直.,取定向量为,则,故结论成立.,的所有切平面恒,1.证明曲面,问题 观察一下,定向量是什么?,证 曲面上任一点的法向量,例1,解,2.求曲线,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,3.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:由于,对应的切向量为,在,故,4.确定正数 使曲面,在点,解:二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切,故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,
