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1、2023/9/8,1,第二章多元正态分布及参数的估计,2023/9/8,应用统计方法,2,2.1 随机向量,本课程讨论多变量总体。把p个随机变量放在一起得 为一个p维随机向量，如果同时对p个变量做一次观测，得观测值：它是一个样品，观测n次得n个样品：而这n个样品就构成一个样本,2023/9/8,应用统计方法,3,2023/9/8,应用统计方法,4,非降的右连续函数；,随机向量的联合分布，边缘分布，条件分布,一、多元概率分布,1、联合分布函数,随机向量 的联合概率分布函数定义为,2、分布函数的性质,2023/9/8,应用统计方法,5,分布函数的取值范围为0，1，即,分布函数当变量取值为无穷大时，
2、函数值收敛到1，即,2023/9/8,应用统计方法,6,二、两个常用的离散多元分布,1、多项分布,则称 服从多项分布。,2023/9/8,应用统计方法,7,2、多元超几何分布,则 服从多元超几何。,2023/9/8,应用统计方法,8,三、联合概率密度,1、定义,随机向量 的联合分布函数可以表示为,则称 为连续型随机向量。称为的联合概率密度函数。,2023/9/8,应用统计方法,9,若 在点 连续，则,2023/9/8,应用统计方法,10,四、边缘分布,设有连续随机向量,不妨设 是 的q个分量组成。则 的分布为,2023/9/8,应用统计方法,11,所以 的边际密度为,例 随机向量 有联合概率密
3、度函数,试分别求 的边际密度。,2023/9/8,应用统计方法,12,2023/9/8,应用统计方法,13,五、条件分布,1、问题的引入,若A和B是任意两个事件，且，则称为在B事件发生的条件下，事件A发生的条件概率。,考虑随机向量，其中 表示人的身高（单位：米），表示人的体重（单位：公斤），在身高为1.9米的人群中，体重 的分布就再也不是原来的分布了。而是在 的条件分布。,2023/9/8,应用统计方法,14,2023/9/8,应用统计方法,15,2、条件分布 连续随机向量,不妨设 是 的q个分量组成。是余下的p-q个分量组成。,是 条件下，的分条件密度函数。,2023/9/8,应用统计方法,
4、16,例 设X=(x1,x2)有概率密度函数,试求条件密度函数f(x1/x2）和f(x2/x1）。,2023/9/8,应用统计方法,17,所以先求,2023/9/8,应用统计方法,18,2023/9/8,应用统计方法,19,六、独立性,1、定义设 和 是两个随机向量，若 对一切、成立，则称 和 相互独立。,2、设 和 是两个连续随机向量，和 相互独立，当且仅当 或对一切、成立。,2023/9/8,应用统计方法,20,3、设 是 个随机向量，若 对一切 成立，则 相互独立。,2023/9/8,应用统计方法,21,数字特征,一、数学期望,1、定义,是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为,2
5、023/9/8,应用统计方法,22,特别当时，便可得到随机向量 的数学期望为,2023/9/8,应用统计方法,23,2、性质,1）设为常数，则；,2）设 分别为常数矩阵，则,3）设 为 个同阶矩阵，则,2023/9/8,应用统计方法,24,二、协方差矩阵,1、定义：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为,2023/9/8,应用统计方法,25,2023/9/8,应用统计方法,26,2、性质,1）若(x1,x2,，xp)和(y1,y2,，yp)相互独立。则反之不成立,2023/9/8,应用统计方法,27,若(x1,x2,，xp)的分量相互独立,则协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，
6、即,2023/9/8,应用统计方法,28,2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则,3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则V(AX+b)=AV(X)A；,2023/9/8,应用统计方法,29,4、若(x1,x2,，xp)和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则,5、若(k1,k2,，kp)是n个不全为零的常数，(x1,x2,，xp)是相互独立的p维随机向量，则,2023/9/8,应用统计方法,30,2023/9/8,应用统计方法,31,三、相关系数矩阵 若(x1,x2,，xp)和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，则
7、其相关系数矩阵为,2023/9/8,应用统计方法,32,随机向量的变换,一、一元随机变量的变换,设x具有概率密度函数fx(x)，函数y=(x)严格单调，其反函数x=(x)有连续导数，则y的概率密度函数为,其中y的取值范围与x的取值范围相对应。,例 设随机变量x服从均匀分布U(0,1),即密度函数,2023/9/8,应用统计方法,33,y的取值范围为(0,),则,2023/9/8,应用统计方法,34,二、多元随机向量的变换,若(x1,x2,xp)有密度函数f(x1,x2,xp),有函数组,其逆变换存在,则 的概率密度函数为,2023/9/8,应用统计方法,35,2023/9/8,应用统计方法,36,特别：若，其中 为 阶可逆常数矩阵，为 维常数向量，则,
