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1、一、多元正态分布参数估计,1.样本,多元分析的任务根据样本数据来分析各变量之间的关系，推断总体的性质。,多元样本数据,为一元样本,2.样本平均值,样本平均值是n个点的重心,例题：,计算均值、离差阵、协方差和相关阵,3.样本离差(平方乘积和)矩阵S,计算离差阵,(样本协方差)(样本方差),4.样本协差阵,6.样本相关矩阵R,R为非负定矩阵,-样本相关系数,变量的线性组合的样本值,计算 和 均值方差与协方差,7.二组样本的协方差矩阵,8.总体均值和协方差矩阵的最大似然估计,设,用最大似然法求出的均值和协方差的估计量分别为,9.基本性质,1）,是总体均值的无偏估计,2）,是总体协方差的无偏估计,分别
2、是总体均值和协差阵的有效估计,是总体均值和协差阵的一致估计估计,3）,4）,和,和,和,10.定理 设,和 S 分别是正态总体,样本均值和离差阵，则,和 S 相互独立,1）,2）,3）,二、多元统计中常用的分布,在一元统计中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、T2分布和Wilks分布。,11 分布和Wishart分布,定义1 设 为 相互独立且同服从于 分布的随机变量。则(1)所服从的分布叫做 分布，称为自由度且记为。,定理2.由(1)式定义的随机变量的分布密度函数为,定理3.设，且 与 相互独立，则,推论2 设 是抽自正态总体 的简单随机样
3、本，则统计量,Wishart分布它是多元样本离差平方和矩阵的分布,定义1 设 为 相互独立且同服从于 分布，令 则(1)所服从的分布叫做 自由度为 的p维 维希特分布，记作,显然，当p=1 时，有,Wishart分布像卡方分布一样具有加法性质，若相互独立，则,设，且 与 相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的 分布，记为。将T平方，即,三 分布与 分布,在多元统计中 分布是一元统计中t分布的推广,定义：若，S与X相互独立、称随机变量是自由度为（p，n）的 分布 可以转化为F分布,Hotelling,四、分布与Wilks分布定义3 设，且 与 相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的 分布，记
4、为。,F分布事实上为从正态总体随机抽取的两个样本方差的比，在方差分析和回归分析中广泛使用,描述 的变异程度的统计参数称为广义方差，其定义有很多如,F统计量的推广是 统计量,定义：若,相互独立，则称随机变量的分布是自由度为(p,n1,n2)的 分布,第三章 假设检验1、已知时单总体均值向量的检验,设从总体XNP(,)中随机抽取了一个容量为n的样本，得到的无偏估计为 检验 是否等于已知向量。即,，,由于,由正态分布与卡方分布的关系得,构造检验统计量为,具体步骤是：作统计假设 计算样本的均值计算统计量T的具体值T0按规定的小概率标准，查卡方分布表Ta，得临界值，并作出判断当T0 Ta，接受H0，拒绝
5、H1，即认为 与 没有显著差异。当T0 Ta，接受H1，拒绝H0，即认为 与 有显著差异。,2、未知时均值向量的检验,在一元统计理论中，当方差未知时，取检验统计量为,推广到多元，考虑统计量,其中样本均值,样本离差阵,故由T2分布定义知,其中,利用T2与F分布的关系，检验统计量取为,具体步骤是：作统计假设：，计算样本均值和样本协方差由公式计算F统计量具体值F0。按规定的显著水平，查F分布临界值，并作出判断：当 接受H0，拒绝H1；当 拒绝H0，接受H1。,例1 某小麦良种的四个主要经济性状的理论值为 现在从外地引入一新品种，在21个小区种值，取得数据如表：,设新品种的四个性状服从正态，试检验假设
6、,3,查F表，得F0.05(4,17)=2.96，因为 故拒绝H。,3、两总体协差阵相等（但未知）时均值向量的检验,当P=1时，因且相互独立，在H0成立条件下，有,，,推广到P元总体，可以得到形式类似的统计量T2：,XNP(1,),YNP(2,),其中,具体步骤：作统计假设：，计算样本均值和，样本离差阵。由公式计算统计量具体值F。按规定的显著水平，查F分布临界值当 接受H0，拒绝H1；当 拒绝H0，接受H1。,4、已知时，均值的置信域,从一元统计中我们已经了解到，均值假设检验问题本质上也等价于均值的置信区间,假设 来自P元正态总体NP(,)由前面讨论知,在任给置信度，查卡方分布临界值表得满足,则均值向量,的置信度为,的置信域为,该置信域是一个中心在,椭球。当检验,时，若,落在该置信域内，即,，则在显著水平,下，接受H0；若,没有落入该置信域内，则否定H0。所以在多元统计中，也可以说均值向量的假设检验问题本质上也等价于求均值向量的置信域。,则均值向量的置信域为,该置信域是一个中心在,置信域椭球的半轴长分别为,其中,。,5、未知时，均值的置信域,的椭球。,
