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1、第6章 刚体动力学,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？,6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一.力矩,二.刚体对定轴的转动定律,三.转动惯量,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,四.平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,1.平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,例 均匀细棒的转动惯量,M,L,2.(薄板)垂直轴定理,例如求对圆盘的一条直径的转动惯量,已知,x,y轴在薄板内；z 轴垂直薄板。,求空心圆柱绕中心轴的转动惯量,例
2、1,解,为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值,圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为,实心圆柱绕中心轴的转动惯量为,空心圆柱绕中心轴的转动惯量为,z,R1,R2,l,m,求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量,例2,解,R,切为许多垂直于轴的圆环,z,m,r,从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系统的质量为m,两圆盘中心O 和O相距为d，且(d+r)R,d,O,O,R,r,挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面,且过中心轴的转动惯量,例3,解,求,使用补偿法,则填满后的总质量为m+m/,设小圆盘的质量为m/,m,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量P=98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解
3、(1),(2),两者区别,五.转动定律的应用举例,例1,求,一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图),例 2 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例3,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,例4 一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在
4、竖直平面内转动。,初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的，以及棒受轴的力。,O,l,m,C,x,解：,下摆过程中，,？,取质元,重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。,dm,由转动定律：,法向加速度（natural acceleration)：,切向加速度(tangential acceleration)：,6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一.转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,其动能为,各质量元速度不同，但角速度相同,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,二.力矩的功,O,功的定义,力矩作功的微
5、分形式,对一有限过程,若 M=C,(积分形式）,力的累积过程力矩的空间累积效应,.P,三.转动动能定理,力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2)力矩的功就是力的功。,(3)内力矩作功之和为零。,讨论,(1)合力矩的功,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，,例1,解,分析（机械能）：,求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,若滑轮质量不可忽略，怎样？,机械能守恒,例2 一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的,此题也可用机械能守恒定律方便求解,
