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1、第三章 刚体和流体,这章学习方法:对比法（对比质点力学）,1 刚体的运动 2 刚体对定轴的角动量3 刚体对定轴的角动量定理和转动定律4 刚体对定轴的角动量守恒定律5 力矩的功6 刚体的定轴转动动能和动能定理,3-1 刚体的运动,刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变。,平动和转动,平动：,刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。,注：,转动：,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。,刚体的运动基本形式:,1.平动：用质心运动讨论,2.转动,一般运动可分解为以下两种
2、刚体的基本运动：,3.两种运动的结合,常选质心为基点。,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,设刚体绕固定轴 z 转动，转动参考方向为 x。,大小：,角速度矢量,方向：右手螺旋关系 沿轴（有正负）,各质元的线量一般不同（因为半径不同），但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。,角加速度,大小：,越转越快，与 同向。,越转越慢，与 反向。,方向：,刚体运动学中所用的角量和线量的关系如下：,当刚体作匀加速转动时,3-2 刚体对定轴的角动量,质元：组成物体的微颗粒元。,质元对点的角动量为,沿转轴Oz的投影为,刚体对Oz轴的角动量为,为刚体对 Oz 轴的转动惯量。,
3、刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。,结论：,对于质量连续分布的刚体：,（面质量分布）,（线质量分布）,例1求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,叠加定理：对同一转轴 J 有 可叠加性,O,例2求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2。,例3求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,推广上述结论，
4、若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，,平行轴定理,利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理：,圆盘,细杆,例4写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量。,3-3 刚体对定轴的角动量定理和转动定律,由质点系对轴的角动量定理，可得,两边乘以dt，并积分,刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。,当 J 转动惯量是一个恒量时，有,刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,转动定律：,刚体的定轴转动定律：,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性,解题思路：,（1）选物体（2）看运动（3）
5、查受力（注意:画隔离体受力图）（4）列方程（注意:架坐标）,例1 一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,解：分别对物体m和轮M看运动、分析力，图中T1 和T2 大小相等，用T表示。,动力学关系：,对M：,对m：,(1),(2),运动学关系：,(3),(4),联立以上四式，解得,这时滑轮转动的角速度为,例2 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止
6、释放后，在时间t内下降了一段距离S试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示),解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mgTma 2分 T rJ 2分由运动学关系有：a=r 2分,由、式解得：Jm(ga)r2/a,将式代入式得：,2分,又根据已知条件 v00,a2S/t 2,2分,3-4 刚体对定轴的角动量守恒定律,刚体对定轴的角动量定理,刚体对定轴的角动量守恒定律：,当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。,注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。,说明：,1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转
7、动惯量和角速度的乘积不变。,2.几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒,例 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l，质量为M。,解：子弹和木棒组成的系统对轴O的角动量守恒,3-5 力矩的功,设刚体上P点受到外力 的作用，,功为,位移为,力矩的功,即：力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。,称为力矩的功。,积分形式：,刚体的定轴转动动能：,（可对比质点的动能）,定轴转动动能定理,即,定轴转动动能定理：合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚
8、体的转动动能的增量。,3-6 刚体的定轴转动动能和动能定理,刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,hc-质心的高度,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,对于含有刚体的系统，如果在运动过程中只有保守内力作功，则此系统的机械能守恒。,刚体定轴转动的机械能守恒定律,例 一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,解：据机械能守恒定律：,作业：质量 m=1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量（r为圆盘半径），圆盘边缘饶有绳子，绳子下端挂一质量 m1=1.0 kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0=0.6 m/s 匀速上升，若撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始做反向转动？,
