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1、,应用数理学院,第二章 随机变量,一、随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,第一节 随机变量,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份郑州的最高温度；,每天从郑州下火车的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的
2、函数一样吗？,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,称这种定义在样本空间上的实值函数为,随,量,机,变,简记为 r.v.(random variable),有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,二、引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X=0,三、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个
3、数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1,x2,.,为了描述随机变量 X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,第二节 离散型随机变量,其中(k=1,2,)满足：,（2）,用这两条性质判断一个函数是否是概率
4、分布,一、离散型随机变量概率分布的定义,二、常见的离散型随机变量的概率分布,(I)两点分布,(,设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用=1,2表示其样本空间.P(1)=p,P(2)=1-p,来源,X()=,1,=10,=2,每次试验成功的概率都是p，这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.,用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则,称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作,XB(n,p),（II)二项分布,注:贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分
5、布.,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，,且P(A)=p，；,（3）各次试验相互独立.,泊松分布的定义及图形特点,设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作XP().,(III)泊松分布,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,
6、下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,第三节 连续型随机变量,一、连续型r.v.及其概率密度函数的定义,1 o,2 o,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,对 f(x)的进一步理解,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量
7、X 取值于 的概率近似等于.,二、随机变量的分布函数,设X()是一个随机变量.称函数 F(x):=PXx,-x 为随机变量X的分布函数.,分布函数的性质,（1）ab,总有F(a)F(b)(单调非减性)（2）F(x)是一个右连续的函数（3）xR1,总有0F(x)1(有界性),且,定义,即,设离散型随机变量X的分布律为 pk:=PX=xk,k=1,2,X的分布函数,离散型随机变量的分布函数,分布函数F(x)是一个右连续的函数,在x=xk(k=1,2)处有跳跃值 pk=PX=xk,如下图(图2.2.1)所示,连续型 r.v.的分布函数,即分布函数是密度函数的可变上限的定积分.,由上式可得，在 f(x
8、)的连续点，,三、常见的连续型随机变量,正态分布、均匀分布、指数分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,（I）正态分布,(1)正态分布的定义,若r.v.X 的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.,(Normal),(2)正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.
9、,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:,令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得,f(+c)=f(-c),且 f(+c)f(),f(-c)f(),这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x)0,用求导的方法可以证明，,为f(x)的两个拐点的横坐标。,x=,这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。,若 r.v.X的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X Ua,b,（II）均匀分布(Uniform),（注：X U（a,b）,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。,则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,（III）指数分布：若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE().,
