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1、定理1,(实)对称阵的特征值为实数.,定理2,设 l1,l2 是对称阵 A 的两个不同特征值,p1,p2 是对应的特征向量,则 p1 与 p2 正交.,证明,由,得,于是,因此,即 p1 与 p2 正交.,4.2 对称矩阵的相似对角化,定理3,设 A 为对称阵,则必存在正交阵 P,使,其中 L 为对角阵,以 A 的特征值为对角元素.,用正交的相似变换矩阵化对称阵为对角阵的算法,(1)求出 n 阶对称阵 A 的所有特征值 li.,(2)求(li E-A)x=0 的一个规范正交基础解系.,(3)将求出的 n 个规范正交特征向量排成一个正交阵 P,则 P-1AP 为对角阵.,不妨设,则有,特别要注意
2、的是,li 与 pi 的位置次序一定要相同.,例1 设,解,方阵 A 的特征值为,得基础解系,方阵 A 的特征多项式为,求一个正交阵 P,使 P-1AP 为对角阵.,当 l1=2 时,解方程组,单位化得,当 l2=l3=-1 时,解方程组,得基础解系,规范正交化得,例1 设,解,方阵 A 的特征值为,方阵 A 的特征多项式为,求一个正交阵 P,使 P-1AP 为对角阵.,取正交阵,例1 设,解,求一个正交阵 P,使 P-1AP 为对角阵.,则有,方阵 A 的特征值为,方阵 A 的特征多项式为,作 业 习题4.2:1.3.,定理1,实对称阵的特征值为实数.,证明,设 a+b i 为对称阵 A 的
3、任意一个特征值,令,则 A1 仍为对称阵,且有,两边乘以,得,因此,存在非零向量 p,使得,于是,由此可知 b=0.,证明,对于一阶对称阵,定理显然成立.,假设对于 n-1 阶对称阵,定理成立.,设 A 为 n 阶对称阵,l1 是对称阵 A 的特征值,p1 是对应的单位特征向量.,取方程,正交基,的解空间的一个规范,令,则 H 为正交阵,且有,于是 HTAH 可以表为分块形式,定理3,设 A 为对称阵,则必存在正交阵 P,使,其中 L 为对角阵,以 A 的特征值为对角元素.,证明,定理3,设 A 为对称阵,则必存在正交阵 P,使,其中 L 为对角阵,以 A 的特征值为对角元素.,易知 A1为 n-1阶对称阵.,由归纳假设,存在正交阵 P1,使,其中 L1 为对角阵.,取,且有,则 P 为正交阵,因 L 与 A 相似,故 L 以 A 的特征值为对角元素.,
