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1、小学数学中部分易混概念辨析,2012年10月8日,一、小学数学概念及其表现形式（一）学习数学概念的意义 1.小学数学概念是小学数学基础知识的重要组成部分。2.小学数学概念是学习其他数学知识的基础。3.小学数学概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。,（二）数学概念,数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。,表现形式在小学阶段主要是两种：1、定义式2、描述式,小学数学概念的表现形式,定义式：用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延的方法。（概念的内涵是指概念所反映对象的特性和本质属性，外延是指概念所反映对象的具体范围）。如：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。有一个
2、角是直角的平行四边形叫做长方形。一组邻边相等的长方形叫做正方形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。,描述式：用一些生动、具体的语言对概念进行描述。（主要是对概念的特征进行描述）一般原始的概念，和在小学中不可能用具体的数学语言来定义的，多数用描述式。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。,数与代数的主线,从数及数的运算到代数式及运算，再到方程、函数。在数的认识中整数、小数、分数及运算到有理数，乘方、开方。方法的抽象和运算的抽象。,数的扩展,数的概念经历了几次扩展？数系（一个数集连同相应的运算及结构叫做数系
3、）经历了五次扩展：（1）扩大的自然数（a-a 0）（2）非负有理数（a/b正分数）（3）有理数（四则运算负有理数）（4）实数（x2-2=0，在有理数集无解无理数）（5）复数（x2+1=0，在实数集无解虚数）,自然数（非负整数）,1.数与数字；2.数位、位数与计数单位；3.整除与除尽；4.因数与倍数；5.奇数与偶数；6.质数与合数；7.质数与互质数；8.质因数与分解质因数；9.最大公因数和最小公倍数；,1.数与数字,数字：是用来记数的符号。如：中国数字、阿拉伯数字、罗马数字、英文数字等等。数：是表示事物的量的基本数学概念。如:自然数、整数、有理数等等。教学时要正确使用这两个概念：如：3+25不能
4、说成是3和2两个数字相加；十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加。,数和数字是两个不同的概念，它们有区别，又有联系。1.写数时，离不开数字；2.用数字记数时，有一定的记数方法和组数规则；3.不同的记数系统可以使用相同的数字；（如十进制和二进制都会用到数字“0”和“1”）4.同一个数在不同的记数系统中有不同的表示；如10（二进制是2,八进制，十进制）5.在相应的记数系统中，数字位置决定了它所表示的值。,2.数位、位数与计数单位；,数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。与十进制的计数单位相对应的数位是个位、十位 位数：是指一个自然数中含有数位的个数。计数单位：一（个）、十
5、、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。,争议的问题,最小的个位数是几？1 0-90.23可以说是两位数码？观点一：小数是数，那么两位小数，也是两位数。观点二，几位数是对自然数而言的，所以不对。,3.整除与除尽；4.因数与倍数；,对于整数a和正整数b，如果存在一个整数q，使得等式a=bq成立，我们就说b整除a（或a被b整除）。a叫做b的倍数。b叫做a约数。（因数）倍数和因数是相互依存的。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。,思考：以上问题又涉及哪些概念？在“数的整除”中哪些概念易混淆？如何区别？,判断：
6、如果甲数是乙数的5倍，那么乙数一定是甲数的因数。（）一个自然数，不是质数就是合数。（）所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。（）一个数的倍数一定大于它的因数。（）两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的倍数。（）有公因数1的两个数是互质数。（）两个合数一定不是互质数。（）一个数的质因数都是质数。（）,5.整除与除尽（1）观察并分类：127=15 65=1.2 153=5 242=12整数a除以整数b(b 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。整除与除尽都是没有余数的除法,但它们的含义是不同的。“整除”是“除尽”的一种特殊情况，能整除的一定能除尽，能除尽的却
7、不一定能整除。,7.奇数和偶数自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。（偶数的表现形式是：2n；奇数的表现形式是：2n+1,所以0是偶数，n是自然数。）8.质数与合数一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1.,9.质数与互质数,公因数只有1的两个数，叫做互质数。成互质关系的两个数，有下列几种情况的一定互质：1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，
8、这个合数和这个质数互质。质数是针对一个数而言,如5是质数；互质数是针对两个数来说的,如3和4是互质数,8和9是互质数。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。,10.质因数与分解质因数,每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。例如15=35，3和5 叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把28分解质因数 28=227,11.最大公因数和最小公倍数,几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3
9、、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1,几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如：2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18；3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数
10、是无限的。,12.能被2、3、5、9、4、25、8、125整除的数的特征,个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（如：12、108、204）一个数各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。（如：207、1926）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。,小数,（1）小数的意义（2）小数的分类,小数的意义小数：把整数1平均分成10份、
11、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。,小数分三个部分1、整数部分2小数点3小数部分,争议问题,小数和小数部分的区别0.45的最高位是什么？小数部分最大的计数单位是什么？,小数的分类：（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。如：0.25、0.368 都是纯小数。（2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。如：3.2
12、5、5.26 都是带小数。（3）有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23 都是有限小数。（4）无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33 3.1415926,（7）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111 0.5656（8）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222 0.03333 注意：写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。,0.54545 它
13、的循环节是什么？,（5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：（6）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起向右,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.555 0.0333 12.109109 循环节：一个循环小数的小数部分，从某一个数开始，有一个数字或者几个数字，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99 的循环节是“9”，0.5454 的循环节是“54”。,思考与讨论,小学数学中包括哪些数？这样分类有什么问题？,分数,（1）分数的意义（2）分数单位（3）分数的分类（4）小数与分数的关
14、系,分数的意义：分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。分数的分类：（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。（0除外）（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。（3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。,1.4189=1+=,小数与分数的关系,3.约分与通分 约分：把一个分数化成
15、同它相等但是分子、分母都比较小的分数。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。相同点：都是依据分数的基本性质将其化成等值分数。不同点：约分是用相同的数（0除外）同时整除分数的分子和分母；通分是把分数的分子和分母同时乘相同的整数（0除外）；约分是就个体而言，通分是对群体而言。,比与比例,分数除法与比；化简整数比与求比值。,13.分数、除法与比的联系与区别？,.化简比与求比值的区别 化简比的结果必须是一个比，只是化简后的比的前项和后项是互质的整数。可用（真、假）分数或比的形式来表示。求比值的结果是一个数，可以是小数、整数、（真、带）分数。方法上也
16、有所不同：化简比可根据比的基本性质，也可用求比值的方法（前项除以后项），但结果必须是比的形式。,.比和比例的意义与性质？,5：6=20：24 内项 外项,0.9：0.6=1.5前项 后项 比值,16.正比例和反比例的相同点和不同点？,基本性质,分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变；商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积。,17.方
17、程、方程的解与解方程,方程：含有未知数的等式叫做方程。注意：方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。未知数：是在解方程中有待确定的值。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。,X=1是方程吗？,（二）图形与几何领域,思考：小学阶段学习了哪些线、面、体？它们有什么联系和区别？,图形与几何的主线,以学生的空间观念、几何直观、推理为核心。空间和平面基本图形的认识。图形的性质、分类和度量。图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影、平面图形的证明，物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。,.线段、射线、直线直线：空间中一点沿着一定方向和
18、它的相反方向运动，所成的图形是直线。射线：空间中一点沿着一定方向运动，所成的图形是射线。,两线的关系,在同一平面内不重合的两条直线，的位置关系1、平行2、相交（垂直相交与斜相交）,平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。,垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。,19.角及其分类,具有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。锐角：大于0并小于90的角叫做锐角。直角：等于90的角叫做直角。钝角：大于90而小于180的角叫做钝角。平角：角
19、的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角 平角180。周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360。锐角、直角、钝角都是劣角；大于平角并小于周角的角叫做优角。,讨论问题,平角就是一条直线吗？周角就是条射线吗？角是对称图形码？,画角的时，别忘了画角的符号，不画角的符号虽然有角，但是所指的是那个就不明确了。,20.周长与面积判断：边长为4厘米的正方形，周长与面积相等。（）举例说明周长与面积的区别与联系。,注意：我们在求不规则图形的面积的时候，在进行图形转换的过程中，一定要抓住面积不能变进行转换。,21.平面图形及其关系 小学阶段学习了哪些平面图形？它们有什么区别与联系？,22.圆和圆面,在平
20、面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆周所包含的平面部分叫做圆面。,23.对称图形：轴对称图形、轴对称、对称轴、中心对称图形、中心对称、平面对称图形。,（1）把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说明这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。,（2）在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，并且，对称轴用点画线表示。轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形
21、就是关于这条轴对称的。,（3）如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。而这个中心点，叫做中心对称点。中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。,（4）在平面内，如果把一个图形绕某一点旋转1800，旋转后的图形能和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。（5）旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（00 旋转角3600）,判断：边长为6厘米的正方体，体积与表面积相等()24.长方体、正方体、圆柱
22、、圆锥、球长方体、正方体、圆柱、圆锥有什么区别与联系？25.地积、表面积与侧面积26.体积与容积 它们的计算方法都是用体积公式计算。但体积与容积是两个不同的概念：（1）意义不同。（2）度量方法不同。（3）计量单位不完全相同。,28.频数、频率与概率频数：落在不同小组中的数据个数为该组的频数频率：频数与数据总数的比为频率。概率：表征随机事件发生可能性大小的量。是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性。,统计与概率的主线,了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据、通过分析作出判断，了解同样事物可以多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的方法。体验数据的随机性将数据。对于同样的事物每次收集的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可以发现规律。,2在解决问题的过程中，探索求事件发生的可能性的方法。,P094,P095,谢谢！,
