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1、1,小波变换原理与应用Wavelet Transform Theory and Engineering Application,数学中的显微镜小波,2,讲座的目的,了解信号的信息表示方法了解小波变换的基本原理掌握小波变换的三种类型了解小波塔式分解与重构了解小波变换的时频特性了解小波变换的工程应用,小波分析 深圳大学信息工程学院,3,主要内容,小波的基本概念什么是小波小波的发展历史工程到数学小波的基本类型多分辨分析小波的快速算法Mallat算法小波包分解算法精细化处理小波的工程应用时频分析与降噪小波的结合应用小波网络等,小波分析 深圳大学信息工程学院,4,小波的基本概念什么是小波,小波是什么？小
2、波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。,5,小波的基本概念什么是小波,小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足,6,小波的基本概念什么是小波,信号的信息表示时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就
3、是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法,7,小波的基本概念什么是小波,平稳信号非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号,8,小波的基本概念什么是小波,信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随
4、时间的变化而变化导致谱值失去意义,9,小波的基本概念什么是小波,时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析,10,小波的基本概念什么是小波,为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势,11,小波的基本概念什么是小波,12,小波的基本概念什么是小波,13,小波的发展历史工程到数学,1807:Joseph FourierFT，只有频率分辨率而没有时间分辨率1909:Alfred Haar发现了Haar小波1945:GaborSTFT1980：MorletMorlet小波，并分别与20世纪70年代
5、提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（continuous wavelet transform）1986：Y.Meyer提出了第一个正交小波Meyer小波1988：Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重构算法）,14,小波的发展历史工程到数学,1988：Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理领域中，自从
6、Inrid Daubechies完善了小波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等,15,小波的基本类型多分辨分析,关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波变换连续小波变换定义为可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数,16,小波的基本类型多分辨分析,傅立叶分解过程,小波分解过程,17,小波的基本类型多分辨分析,伸缩因子对小波的作用,18,小波的基本类型多分辨分析,平移因子对小波的作用平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸
7、缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近,19,小波的基本类型多分辨分析,连续小波变换实现过程首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较；通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度）；改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析；增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析；循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。,20,小波的基本类型多分辨分析,21,小波的基本类型多分辨分析,小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的,22,小波的基本类型多分辨分
8、析,连续小波变换的性质叠加性（线性）时移不变性尺度特性微分特性内积定理能量守恒特性冗余性,23,小波的基本类型多分辨分析,离散小波变换DWT（discrete wavelet transform，DWT）定义 对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取值（要求采样率满足尼奎斯特采样定理）,24,小波的基本类型多分辨分析,离散小波变换的可逆问题框架理论 DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条件，那么DWT就是可逆的,25,小波的基本类型多分辨分析,正交小波变换与多分辨分析 多分辨分
9、析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造
10、统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。,26,小波的基本类型多分辨分析,正交小波变换与多分辨分析 对于小波基函数为，如果函数族 构成 内的正交基，就称小波为正交小波，在正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变换是完全没有冗余的，非常适合做数据压缩。,27,小波的基本类型多分辨分析,典型的正交小波Haar小波,28,小波的基本类型多分辨分析,典型的正交小波Meyer小波,29,小波的快速算法Mallat算法,在多分辨分析的讨论中，可以看到正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的
11、高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分，称为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法,30,小波的快速算法Mallat算法,滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解会得到多于原数据点数的数据序列。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小波变换的Mallat算法实现中，可以利用降采样的方法即在输出的两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序列，称为简单记为cA和cD，虽然近似分量和
12、细节分量的数据长度仅为原信号序列的一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。,31,小波的快速算法Mallat算法,Mallat算法的降采样,32,小波的快速算法Mallat算法,小波分解树,33,小波的快速算法Mallat算法,到此我们已经知道离散小波变换是怎么样分析或者怎样来分解一个信号，这个过程通常也称为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小波重构或者小波合成，实质上就是逆离散小波变换（Inverse Discrete Wavelet Transform，简称：IDWT）。在离散小波变换或小波分解
13、的过程中包含了滤波和降采样，那么在小波重构过程中需要进行过采样和滤波。过采样是通过在相邻采样点之间插入零值的来实现的，利用过采样可以使得信号分量的长度增加为原来的两倍，以达到和需要重构信号一致的采样数据长度。,34,小波的快速算法Mallat算法,35,小波的快速算法Mallat算法,塔式分解和重构示意图,36,小波的快速算法Mallat算法,局部分量的重构 在一些工程应用中，只需要关心信号中的某个分量，此时对细节分量和近似分量的单独重构成为必要，通过将其他分量系数置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的,37,小波包分解算法精细化处理,小波包分析可以看作是小波分解的一种推广方法，利用小波
14、包进行分析可以得到对信号更为精细的分析结果。通过将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频分量部分进行进一步的分解，并根据被分析信号特征，通过自适应的选择相应频带，达到与信号频谱的匹配，实现精细化处理。小波包原子是一种被时间、尺度和频率来表征的函数波形，对于一个给定的正交小波函数，我们能够在此基础上生成一组基，这组基一般称为小波包基。简单的说，小波包就是一个函数族，可以由这组函数族构造出L2(R)的标准正交基库，从这组标准正交基库中可以选择出多组标准正交基，对于多分辨分析小波变换（正交小波变换）只是选择了其中的一组基，从这个意义上讲小波包就是小波变换的一种推广。,38,小波包分解算法精细
15、化处理,小波包分解树,39,小波的工程应用时频分析与降噪,时间-尺度-小波系数图 小波分解可以得到一组小波细节分量和近似分量系数，将时间-尺度-小波系数联合表示，就得到了信号的时间-尺度分析结果，不过这里带来两个问题：第一小波的尺度是不连续的，这样得到的时间-尺度-小波系数表示解读起来比较困难，虽然根据框架理论可以推测到冗余系数在时间-尺度平面上产生的额外的分布信息，但是这毕竟显得不够直观；第二个问题就是，有时候想在时间-尺度时频表示和时间-频率时频表示中进行比较分析，那么尺度和频率之间应该存在着一定的关系，这种关系是如何确立的,40,小波的工程应用时频分析与降噪,尺度与频率的关系 尺度和频率
16、之间存在一个倒数关系，这个倒数关系式和信号的采样周期以及选择的小波基函数的中心频率有关，假设尺度因子为a，信号的采样周期为，小波基函数的中心频率为fc，那么和尺度因子a对应的频率fa可以用下面的式子来计算,41,小波的工程应用时频分析与降噪,42,小波的工程应用时频分析与降噪,43,小波的工程应用时频分析与降噪,仿真信号的小波时频表示（cmor3-3小波）,44,小波的工程应用时频分析与降噪,小波在工程上应用的困难：分解层数的确定和小波基函数的合理选择，仿真信号的时频表示（cgau6）,45,小波的工程应用时频分析与降噪,小波降噪 小波降噪主要包括：小波模极大值降噪、基于小波系数尺度间相关性的
17、去噪法、小波阈值去噪法。其中以小波阈值降噪方法最为经典。小波阈值降噪法的基本原理是，经小波变换后得到的小波系数，包含信号本身信息和噪声信息，一般情况下，随机噪声的小波系数非常小，这样可以设定一个阈值，对小于该阈值的小波系数置零，然后利用处理后的小波系数重构原信号即可实现降噪。根据阈值选择方法的不同，可以分为硬阈值、软阈值和自适应阈值，也有些研究者在此基础上对阈值函数进行了改进，提出了改进阈值函数。,46,小波的工程应用时频分析与降噪,硬阈值,软阈值,47,小波的工程应用时频分析与降噪,48,小波的工程应用时频分析与降噪,49,小波变换的结合应用小波网络等,随着小波的发展，目前小波在工程上与其他学科交叉应用变得普遍小波变换与神经网络的结合（1990年张清华），实现精确的函数拟合和预测；多小波的快速发展（二代小波、三代小波）正交小波变换在滤波领域的应用（对滤波信号进行预处理，得到一组正交信号，利用正交信号的优良性质在滤波处理后重构回原信号）小波变换与ICA算法的结合（解决了单通道混合信号的分离问题）,
