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1、工程力学,彭雅轩,2023年9月9日,第十一章 弯曲应力,对称弯曲正应力梁的强度条件梁的合理强度设计,第一节 引言,弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力。弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力。,组合变形:两种或两种以上的基本变形形式的组合。常见的组合变形:弯曲与轴向拉压组合，弯曲与扭转组合，以及弯曲、轴向拉压与扭转的组合。,第一节 引言,对称弯曲：常见的梁往往至少具有一个对称面，而外力则作用在该对称面内。梁的变形对称于对称面的变形形式称为对称弯曲。,第二节 对称弯曲正应力,问题的提出：,如何简化出火车车轮轴的计算模型?如何计算火车车轮轴内的应力?如何设计车轮轴的横截面?,第二节 对称弯曲正应力
2、,平面弯曲(Plane Bending),纯弯曲(Pure Bending)：弯矩为常量，剪力为零（如图中AB 段）,第二节 对称弯曲正应力,实验现象纯弯曲时的变形特征,（2）各横向线相对转过了一个角度,（1）各纵向线段弯成弧线，,且部分纵向线段伸长，,部分纵向线段缩短。,仍保持为直线。,（3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。,第二节 对称弯曲正应力,纯弯曲时的基本假设,变形后仍为平面,单向受力假设：梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力。纵向纤维间无正应力即纵向纤维无挤压,平截面假设(Plane Assumption),(a)变形前为平面的横截面,(b)仍垂直于变形后梁的轴线,第二节 对
3、称弯曲正应力,中性层：根据平面假设，当梁弯曲时，部分“纤维”伸长，部分“纤维”缩短，由伸长到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层称为中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状态。,第二节 对称弯曲正应力,弯曲正应力一般公式,通过考虑几何、物理与静力学三方面来建立直梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。,研究思路：,变形,应变分布,应力分布,应力 表达式,第二节 对称弯曲正应力,变形的几何关系,第二节 对称弯曲正应力,变形的几何关系,第二节 对称弯曲正应力,直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的
4、距离成正比。,第二节 对称弯曲正应力,物理方面（Hooke 定律）,由上推导,故,结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。,中性轴,即沿截面高度，弯曲正应力与正应变均沿截面高度线性变化，在中性轴各点处为零，在梁截面最外边缘各点处取得最大值。,第二节 对称弯曲正应力,静力学平衡方面,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。,这一力系向坐标原点O简化，得到三个内力分量。,第二节 对称弯曲正应力,静力学平衡方面,（2）,（3）,（1）,将应力表达式代入式（1），得,则,该式表明中性轴通过横截面形心,第二节 对称弯曲正应力,静力学平衡方面,将代入式（3）得,而,故
5、,纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式为,公式应用条件：,第二节 对称弯曲正应力,惯性矩,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,型钢,可查型钢表或用组合法求,最大弯曲正应力,第二节 对称弯曲正应力,抗弯截面模量(Section Modulus),矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,型钢,可查型钢表或用组合法求,最大弯曲正应力,第二节 对称弯曲正应力,例1 如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。,分析：,纯弯曲,解：,（1）计算Wz,（2）计算 max,第二节 对称弯曲正应力,（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：,由此可见，载荷相同、max相等的条件
6、下，采用空心轴节省材料。,例2 在相同载荷下，将例1中实心轴改成max 相等的空心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。,解：（1）确定空心轴尺寸,由,再见！,重点要求：,失效的分类及相关概念,强度条件及其工程应用,第三节 梁的强度条件,第十一章 弯曲应力,一、失效与许用 应力相关概念,一、失效与许用应力相关概念,失效 由于材料的力学行为而使构件 丧失正常功能的现象.,房屋毁坏,一、失效与许用应力相关概念,桥梁损坏,一、失效与许用应力相关概念,建筑物损坏,机械构件损坏,强度失效形式：脆性断裂对脆性材料，当其正应力达到强度极限 b时，会引起断裂而失效；塑性屈服对塑性材料，当其正应
7、力达到屈服极限 s时，会产生显著的塑性变形而失效。,一、失效与许用应力相关概念,极限应力：通常将强度极限与屈服极限统称为极限 应力，并用u表示；工作应力：根据分析计算所得构件之应力；许用应力：对于由一定材料制成的具体构件，工作 应力的最大容许值，并用表示；许用应力值与极限应力的关系：式中，n为大于1的因数，称为安全系数。塑性材料的安全系数通常为1.52.2；脆性材料的安全系数通常为3.05.0，甚至更大。,一、失效与许用应力相关概念,二、强度条件及 其工程应用,二、强度条件及其工程应用,在一般情况下，梁内同时存在弯曲正应力与弯曲切应力，并沿截面高度非均匀分布；对于一般细长的非薄壁截面梁，故通常
8、只需按弯曲正应力强度条件进行分析即可。（请同学课下参照书上例题加以证明）,说 明,弯曲正应力强度条件,式中：梁内的最大弯曲正应力 材料在单向受力时的许用应力 M 梁某截面弯矩最大值 Wz 抗弯截面系数,二、强度条件及其工程应用,塑性材料梁强度条件一般公式：,（1120）,二、强度条件及其工程应用,塑性材料等截面直梁强度条件公式：,（1121）,脆性材料梁强度条件公式：,（1122）,已知梁（杆）截面尺寸、许用应力及所受外力时，判断梁（杆）是否能安全工作。即（塑性材料）或（脆性材料）,二、强度条件及其工程应用,工程应用方法（解决三类问题）,校核强度,工程允许误差为小于或等于5。,已知梁（杆）所受
9、外力及许用应力时，根据强度条件确定梁（杆）所需截面形状及尺寸。即,二、强度条件及其工程应用,选择截面形状及尺寸,已知梁（杆）截面尺寸和许用应力时，确定梁（杆）所能承受的许可载荷：,二、强度条件及其工程应用,确定承载能力,二、强度条件及其工程应用,解题一般步骤,用静力学平衡条件求出外力；画出剪力图和弯矩图并确定 作用面以及它们的数值，以便确定可能危险面。根据危险面上内力的实际方向，确定应力分布以及 的作用点，综合考虑材料的力学性能，确定可能的危险点。根据危险点的应力状态，区分脆性材料与塑性材料，选择合适的设计准则，解决不同类型的强度问题即强度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。,二、强度条件
10、及其工程应用,应用实例1,解：求最大弯矩,一承受均布载荷的梁，其跨度为L200mm，梁截面的直径为d=25mm，许用弯曲应力150MPa。试决定沿梁每米长度上可能承受的最大载荷q为多少？,确定梁的抗弯截面模量,由强度条件知：,即,解得,圆形截面简支梁，受力如图所示，已知许用应力=12Mpa，直径为d，若直径增加一倍，则载荷q最大可增加到多大？,应用实例2,解：求最大弯矩,若直径增加一倍，则：,由强度条件知：,载荷q变为,解得,即,应用实例3,解：画出轴的计算简图及弯矩图,计算可知FA=FD=700kN Mmax=455kN.m MB=MC=210kN.m,二、强度条件及其工程应用,图 a 所示
11、圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷作用。已知载荷集度q=1000kN/m，许用应力，试确定轴径。,根据式 及 可知，圆轴的弯曲正应力强度条件为,由此得,于是有,取,二、强度条件及其工程应用,已知载荷集度q=25 N/mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为 y1=45mm与y2=95mm，惯性矩,许用拉应力，许用压应力。,下图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为倒T字形，并承受集度为q的均布载荷作用。试校核梁的强度。,二、强度条件及其工程应用,应用实例4,解（1）危险截面与危险点判断 梁的弯矩图如下所示，由图知截面D（最大正弯矩）、截面B（最大负弯矩）两截面均为危险截面。,二、强度条件及其工程应用
12、,由弯矩图及截面D、截面B的弯曲正应力分布图知截面D的a点及截面B的d点处均受压；而截面D的b点及截面B的c点均受拉。,由于,概言之，a，b与c三点处为可能最先发生破坏的部位，即危险点。,因此,即,二、强度条件及其工程应用,（2）强度校核,由式 得，a，b，c三点处的弯曲正应力分别为：,由此得,可见，梁的弯曲强度符合要求。,二、强度条件及其工程应用,二、强度条件及其工程应用,小 结,了解强度失效的类型及失效的原因，使学生对变形 与材料的物性关系有更进一步的认识。,为充分发挥材料的力学性能，在弯曲变形中，对由 塑性材料构成的构件采用对称截面，对由脆性材料 构成的构件，采用非对称截面，以使最大拉应
13、力与 最大压应力 同时达到许用 拉应力与许用压应力。,重点掌握强度条件，并利用其为工程技术解决以下 三个实际问题：强度校核、截面形状与尺寸设计、确定许用荷载。通过例题使学生掌握强度设计应遵 循的计算程序。,第四节 梁的合理强度设计,重点掌握的问题如何提高梁的强度？,梁的合理强度设计应从强度条件的基本公式中所包含的几个基本量分析入手。,梁的合理截面形状,梁的合理强度设计,从弯曲强度考虑，尽量使用较小的截面面积，而相应提高抗弯截面系数。对于塑性材料，选择对称截面，而对于脆性材料选择非对称截面，且使中性轴偏向受拉一侧。,由此得,(1124),梁的合理强度设计,变截面梁与等强度梁,变截面梁：从弯矩方面
14、考虑，梁内不同截面弯矩不同，为使材料强度得到充分利用，梁截面亦应沿轴线变化。这种横截面沿轴线变化的梁称为变截面梁。从弯曲强度考虑，理想的变截面梁是使所有横截面上的最大弯曲正应力均相同，并等于许用应力。即要求,梁的合理强度设计,等强度梁：各个横截面具有同样强度的梁，称为等强度梁。等强度梁是一种理想的变截面梁。考虑到加工制造以及构造上的要求等，实际构件往往设计成近似等强的,1.合理安排梁的约束 下图中，后者的最大弯矩仅为前者的15。,梁的合理强度设计,梁的合理受力,2.合理加载 下图中，后者的最大弯矩仅为前者的一半。,梁的合理强度设计,梁的合理受力,3.增加中间约束使静定梁变为静不定梁也可提高梁的强度。,梁的合理强度设计,小 结,本小节应使学生学会从最基本的强度条件出发，学会分析问题和解决问题的能力，即能进行合理的强度设计。,
