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1、第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,【特点】平顶.,柱体体积=？,【特点】曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、问题的提出引例,【解法】类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平行于z 轴的柱面,求其体积.,“分割,取近似,求和,取极限”,【步骤如下】,取近似、求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,求平面薄片的质量,分割：将薄片分割成若干小块，,近似：取典型小块，
2、将其近似看作均匀薄片，,求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量,【分析】,=常数时，质量=，其中 为面积.,取极限：得薄片总质量,若 为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割,取近似,求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,2.【对二重积分定义的说明】,存在的必要条件.,(1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关,代替,？,不能用,连续是二重积分存在的充分条件,3.【二重积分的几何意义】,4.【物理意义】,表曲
3、顶柱体的体积.,1)若,表曲顶柱体体积的负值.,2)若,3)若,表区域D的面积.,几个特殊结果,根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D（特殊分割的二重积分与任意分割的二重积分相等）,故二重积分可写为,则直角坐标系下面积元素为,即,【性质1】,【性质2】,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,逐项积分,【线性性质】,线性性质可以推广至有限个函数的情形。,【性质3】,对区域具有可加性,【性质4】,若 为D的面积，,【性质5】,若在D上,特殊地,则有,比较性质,【性质6】,【性质7】,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,【几何意
4、义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积,【证明】,以下仅证性质7（中值定理）,由估值性质得,据有界闭域上的连续函数的介值定理,变形后【得证】,【例1】比较下列积分的大小:,其中,【解】积分域D 的边界为圆周,它与x 轴交于点(1,0),而区域D位,从而,于直线的上方,故在 D 上,作业题、课后习题,【解】,【解】,【解】,【分析】被积函数在积分区域上的正负决定二重积分的符号.（比较性质的特例）,【解】,课后习题,【解】,区域D的面积,故,即,课后习题,【例7】1.设函数,D 位于x 轴上方的部分为D1,在D上,当区域关于y 轴对称,函数关于变量x 有,在闭区域D上连续,D关于x 轴对称,则,
5、则,奇偶性时,仍有类似结果.,在第一象限部分,则有,【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性）,【例如】,二重积分的定义,二重积分的性质（7条）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,二重积分的物理意义（平面薄片的质量）,【思考题】,1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,2.在二重积分定义中能否用 来代替?为什么?,1.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,【思考题解答】,2.不能.,【练习】机动,被积函数相同,且非负,【解】,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),【提示】因 0 y 1,故,故在D上有,
