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1、1.理解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件,平面向量的基本定理及坐标表示,理 要 点一、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组,不共线,基底,有且只有,2平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正 交分解,3平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j
2、作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a，其中 叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标,互相垂直,x,(x，y),(x，y),y,(2)设 xiyj，则向量 的坐标(x，y)就是 的坐 标，即若(x，y)，则A点坐标为，反之亦成 立(O是坐标原点),终点A,(x，y),二、平面向量坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab，ab，a,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),2向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x
3、1，y1)，B(x2，y2)，则，|.,(x2x1，y2y1),三、平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.若ab.,x1y2x2y10,究 疑 点1向量的坐标与点的坐标有何不同？,提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量 的坐标与点A的坐标相同,解析：中e22e1，中e14e2，故中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底,答案：A,2若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则 称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a 在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2
4、)，则a在 另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0)B(0，2)C(2,0)D(0,2),答案：D,答案：D,归纳领悟1以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.,题组自测1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b等于()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3),答案：A,答案：B,2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3ab B3abCa3b Da3b,归纳领悟1向量
5、的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用2利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.,解析：ab，4y400，得y10.,答案：B,2设a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.,解析：ab(2,23)与c(4，7)共线，(2)(7)(23)(4)0，解得2.,答案：2,3已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a 3b平行？平行时它们是同向还是反向？,归纳领悟1解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件2向
6、量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法 注意：利用共线向量证明三点共线，有坐标时，只需使 三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量 定理,一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用同时又注重对函数与方程、转化化归等思想方法的考查 预测2012年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力与应用能力,答案：C,2(2010新课标
7、全国卷)已知ABCD的三个顶点为A(1,2)，B(3,4)，C(4，2)，点(x，y)在ABCD的内部，则z2x5y的取值范围是()A(14,16)B(14,20)C(12,18)D(12,20),解析：由题可知，平行四边形ABCD的点D的坐标为(0，4)，点(x，y)在平行四边形内部，如图，所以在D(0，4)处目标函数z2x5y取得最大值为20，在点B(3,4)处目标函数z2x5y取得最小值为14，由题知点(x，y)在平行四边形内部，所以端点取不到，故z2x5y的取值范围是(14,20),答案：B,3(2010陕西高考)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.,解析：由已知ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c得12(m1)(1)m10，所以m1.,答案：1,点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测”,
