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1、,3.1 平面的方程,3.4 空间直线的方程,3.2 平面与点的相关位置,3.5 直线与平面的相关位置,3.3 两平面的相关位置,3.6 空间两直线的相关位置,第三章 平面与空间直线,3.7 空间直线与点的相关位置,3.8 平面束,一、平面的点位式和参数式方程,平面的方程,二、平面的点法式方程,三、平面的一般方程,一、平面的点位式和参数式方程,图,上一页,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,解,因此平面 的矢量式参数方程为：,取平面 的方位矢量并设点
2、 M(x,y,z)为平面 上的任意一点,那么,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,(3.14),方程(3.14)(3.16)都叫做 平面的三点式方程。,上一页,解,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,平面的截距式方程,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量
3、共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,二、平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,如果记 D（A x B y+C z），那么上式即成为 Ax+By+Cz+D=0.,如果平面上的点 M 0 特殊地取自原点 O 向平面 所引垂线的垂 足 P,而 的法矢量取单位法矢量 n，当平面不过原点时，n的
4、正 向取做与矢量 OP相同；当平面通过原点时，n的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，,设|OP|=p,那么点 P 的径矢 OP=p n，因此由点 P 和法矢量 n 决定的平面 的方程为：n(r-p n)=0,r 是平面 上任意点 M的径矢。因为 n n 1，所以上式可写成 n r p=0，（3.1-7）(3.1-7)叫做平面的矢量式法式方程,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,如果设 r x,y,z,n=cos,cos,cos,那么由（3.1
5、-8）得 xcos+ycos+zcosp=0.（3.1-9）(3.1-9)叫做平面的坐标式法式方程或简称法式方程.,平面的法式方程（3.1-9）是具有下列两个特征的一种一 般方程：1.一次项的系数是单位法矢量的分量，它们的平方和 等于1；2.因为 p 是原点 O 到平面 的距离，所以常数项 p0.,根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方 程,即 Ax+By+Cz+D=0 化成平面的法式方程。事实上，n=A,B,C是平面的法矢量，而 r=OM=x,y,z，所以可写成：nr+D=0，（3.1-15）,三、平面的一般方程,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.
6、我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,其中 的正负号选取一个，使它满足 D=p0,或者说当 D0 时，取 的符号与 D 异好；当 D=0 时，的符号可以任 意选取（正的或负的）。（在取定符号后）就叫做法式化因子.,把（3.1-15）与（3.1-13）比较可知，只要以=1/(|n|)=1/()乘（3.1-10）就可得法式方程：,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,解,解,如
7、果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,因为矢量 M M=2,2,4=21,1,2垂直于平面，所以平面 的一个法矢量为 n=1,1,2,所求平面 又通过 M M 的中点 M(2,1,1),因此平面 的法 式方程为(x2)+(y+1)2(z1)=0,化简整理的所求平面 的方程为 x+y+2z+1=0.,取法向量,所求平面方程为,化简得,解,解,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行
8、于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,三、平面的一般方程,由平面的点法式方程,，为一平面.,平面的一般方程,法向量,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,由此可见，在直角坐标系下，平面 的一般方程（3.1-10）中一次 项系数 A,B,C 有简明的几何意义，它们是平面 的一个法矢量 n 的 分量。,平面一般式方程的几种特殊情况：,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的
9、充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,或,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,目标：通过本节的学习，认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程；熟练掌握平面方程几种形式的法；了解法式化方程和参数方程.重点：平面点法式方程与一般式方程的求法.难点：平面方程不同形式之间的互相转化.,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行
10、于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,目标：通过本节的学习，熟练掌握点到平面的距离公式，了解点与平面的离差概念和计算，了解平面划分空间的方法.重点：点到平面的距离公式.难点：平面对空间的划分.,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,一、点与平面间的距离,空间中平面与点的相关位置，有且只有两种情况，就是点在平面上，或点不在平面上.点在平面上就是点的坐标满足平面的方程.下面就来讨论点不在平面上的情况.,容易看出，空间的点与平面间
11、的离差，当且仅当点M0位于平面的单位法矢量n0所指向的一侧，离差0；在平面的另一侧，离差0；当且仅当M0在平面上时，离差0.显然，离差的绝对值|，就是点M0与平面之间的距离d.,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,根据定义3.2.1（图3-3）得=而Q在平面上，因此，所以.,证,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,
12、上一页,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,二、平面划分空间问题与三元一次不等式的几何意义,设平面 的一般方程为，那么空间任何一点M(x,y,z)对平面的离差为，从而有.,对于平面同侧的点，的符号相同；对于平面异侧的点，的符号不同.故平面：把空间划分为两部分，对于某一部分的点0；而对于另一部分的点0；在平面上的点.,看看书 想一想,如果 n 个向量平行于同一直线，则称它们共线.向量,共线记为/.我们规定,零向量与任何向量共线.如果 n 个向量平行于同
13、一直平面，则称它们共面.显然,任意两个向量一定共面.,上一页,在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），,目标：通过本节的学习，熟练掌握平面与平面的夹角公式，了解平面与平面的三种位置关系并能根据平面的方程判断其关系.重点：平面与平面的夹角公式.难点：平面与平面的夹角公式的推导.,下面，我们导出计算两平面夹角 的公式.设平面 与 的方程分别是：，（1）：，（2）则 与 的法线向量分别为，因两向量间夹角的余弦为，所以两平面的夹角的余弦为=.(3.3-1)由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论：.,（）,另一方面，平面 与 是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解
14、或无数个解，从而我们可得下面的定理.,解,设所求平面的法线向量为，显然，在所求平面上，故，即.又 垂 直于平面 的法线向量，故有,解方程组 得 据点法式方程有，约去非零因子 得，故所求方程为.,哇！,例 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,目标：通过本节的学习，了解直线方程的各种类型的形式，能熟练掌握直线标准方程和一般方程的求法.重点：直线标准方程和一般方程的求法.难点：直线方程不同形式之间的互换.,一、空间直线的一般方程,空间直线的一般方程,（注：两平面不平行）,二、空间直线的对称式方程（标准方程）,直线的对称式方
15、程（点向式方程）,因此,所求直线方程为,已知直线的方向向量,取,三、空间直线的参数式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,由直线的对称式方程,四、空间直线方程的关系,直线的坐标方程（3.43）是一般方程的特殊情形。,在 中m,n,p不全为零，不妨设 p0,那么上式可以改写成,反过来，直线的一般方程（3.411）也总可以化为 标准 方程（3.43）的形式，这是因为（3.411）中三个系数行列式,不全为零，不失一般性，设,那么由 中的两式分别消去 y 与 x 得直线的射影式方程为：,从而得直线的标准方程为：,例2 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解
16、得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,得参数方程,令,解,所以交点为,所求直线方程,目标：通过本节的学习，掌握能根据直线的方程和平面的方程判断二者之间的关系，了解直线与平面之间夹角的概念及计算公式.重点：直线和平面二者之间关系的判断.难点：直线与平面之间夹角的概念及计算公式.,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,直线与平面的交点,分析:关键是求得直线上另外一个点 M1.M1在过M且平行于 平面 P 的一个平面P1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点.,例2 求过点 M(-1,2,-3),且平行于平面
17、,又与直线,相交的直线方程.,解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1,求平面 P1与已知直线 L的交点,P1:,即P1:,3.7 空间直线与点的相关位置,P1,于是,点到直线的距离公式,解,3.8 平面束,通过定直线 L的所有平面的集合称为该直线 L 的平面束.,解:构造平面族:（t为任意实数）A1 x+B1 y+C1 z+D1+t(A2 x+B2 y+C2 z+D2)=0 即(A1+t A2)x+(B1+t B2)y+(C1+t C2)z+(D1+t D2)=0(*),注:在求过已知直线且垂直于已知平面的平面方程时,用平面束方程比较方便.,事实上 设 为L外任一点，可取,则M0满足(*).,因此,(*)是L的平面束方程.(除外),则 1.(*)式为过直线L的平面方程.,2.过L的任何平面(2除外)都包含在(*)所表示的平面族内.,解:显然,L是过L1且垂直于的平面1与的交线.故先求1.,设过直线L1的平面束方程为:,例1 求直线 在平面 内的投影直线L的方程.,则 1的法向量,又的法向量,即:,解得,于是投影平面1：,投影直线L的方程为:,解法二：先求1的方程,则1：,在L1上任取一点(3,0,-6),例2 求直线 在平面 内的投影直线L的方程.,解 设的方程为：,(*),
