弹性力学基本理论.ppt

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1、1,第一章 弹性力学基本理论,本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机械结构有限元分析的重要力学理论基础。要求:学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。,本章概述,2,1.1 引言,弹性力学（Elastic Theory）作为一门基础技术科学，是近代工程领域的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等设计中，广泛应用弹性力学的基本公式和结论。,3,1.1 引言,弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理

2、论课程，把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要在于它的基本方程偏微分方程边值问题求解困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的一个特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。,4,1.1 引言,弹性力学与材料力学的区别,5,1.1 引言,五个基本假设理想弹性体,（1）连续性假定。也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。保证物体内一些物理量（应力、应变、位移等）的连续性，从而可以用坐标的连续函数来描述。（2）完全

3、弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。,6,1.1 引言,五个基本假设理想弹性体,（3）均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。（4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。（5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。保证在建

4、立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。,7,1.1.1 外力与内力,（1）外力,作用于物体的外力通常可分为两类：面力(Surface Force)体力(Body Force),8,1.1.1 外力与内力,面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。,在物体表面P点处取一微

5、小面积S，假设其上作用有表面力F，则P点所受的表面力定义为,（1.1）,（1.2）,通常用各坐标方向上的分量来表示面力，即,9,1.1.1 外力与内力,体力(Body Force)一般是指分布在物体体积内的外力，作用于弹性体内每一个体积单元。通常与物体的质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力、惯性力、磁场力等。作用在物体内P点上的体力，可按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小体积V，假定其上作用有体力R，则P点所受的体力可定义为,一般也是用各坐标方向上的分量来表示体力，即,（1.3）,（1.4）,10,1.1.1 外力与内力,物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加”内力。若假想用

6、一经过物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，移去其中的一部分B。显然，在截面mn上必定有某种力存在使A平衡，这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力。,（2）内力,图1-1 物体内任意点处的应力,11,1.1.2 应力的概念,所谓一点处某个截面上的应力(Stress)就是指该截面上的“附加内力”，即应力是内力在该点处的集度。如图1-1所示，在截面mn上P点处取一微小面积A，假设作用于A上的内力为G，则,图1-1 物体内任意点处的应力,（1.5）,T就是P点处的应力。,通常将应力沿截面A的法向和切向进行分解，相应的分量就是常用的正应力和剪应力。它们满足,（1.6）,12,1.1.

7、2 应力的概念,在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。,图1-2 微小正方体元素的应力状态,如图1-2所示，正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量来表示。这样，用9个应力分量来表示正方体各面上的应力，即,（1.7）,其中，为正应力，下标表示作用面和作用方向；是剪应力，第一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。,应力状态,13,1.1.2 应力的概念,应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向

8、一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。,（1.8）,剪应力互等定理：,14,1.1.3 应变的概念,物体在外力作用下，其形状要发生改变，变形(Deformation)指的就是这种物体形状的变化。因此，为了考察物体内某一点处的应变(Strain)，可在该点处从物体内截取一单元体，研究其棱边长度和各棱边夹角之间的变化情况。对于微分单元体的变形，将分为两部分讨论：（1）棱边长度的伸长量，即正应变(或线应变,Linear Strain)（2）两棱边间夹

9、角的改变量（用弧度表示），即剪应变（或角应变,Shear Strain）。,15,1.1.3 应变的概念,在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即,相应地，y轴方向的正应变为：,x-y 平面内的剪应变：,（1.9）,（1.10）,（1.11）,16,1.1.3 应变的概念,应变分量的矩阵型式,（1.12）,（1.13）,17,1.2 应力分析,应力是弹性力学理论中的一个重要概念。应力分析主要包括：通过应力变换研究一点的应力状态，确定主应力；推导柯西应力公式（Cauchys stress formula），并利用该公式确定应力边界条件

10、；建立弹性体应力分量与体积力分量之间的关系式，即应力平衡微分方程。,18,1.2.1 应力坐标变换,图1-4 一点附近的坐标系及其旋转变换,用一个斜面切过实体，并与三个互相垂直的坐标面相交，就会隔离出关于一点的四面体单元。设 轴为斜面的外法线，和 与该斜平面相切，和 构成新的直角坐标系。斜面的外法线方向角定义为，和，即 轴分别与x，y，z轴的夹角。如图1-4，这些夹角的余弦值定义为 轴的方向余弦。分别为：,（1.14）,19,1.2.1 应力坐标变换,相应地，分别求解，轴的方向余弦，新坐标系三个轴向的方向余弦写成如下矩阵形式,T即为应力变换矩阵。,根据静力学平衡条件可知,（1.16）,（1.1

11、7）,图1-4 一点附近的坐标系及其旋转变换,20,1.2.1 应力坐标变换,例题：,如该坐标系先绕z轴旋转45，然后再绕新的x轴旋转30，试确定该点在新的坐标系下的应力矩阵。,MPa,某一点在xyz坐标系内的应力状态已知，其应力矩阵如下,21,1.2.1 应力坐标变换,将第一式代入上式，可得,22,1.2.1 应力坐标变换,将 和 代入，得到变换矩阵T，为,将T代入式(1.17)，解得变换后的应力矩阵,MPa,23,1.2.2 一点的应力状态任意截面上的应力,图1-5 一点的应力状态,设平面ABC的外法线为N，而N的方向余弦为cos(N,x)=nx，cos(N,y)=ny，cos(N,z)=

12、nz（1.19）,可见，如果把平面ABC的外法线N作为变换后的任一坐标轴，则上面方向余弦对应变换矩阵的一行。用应力变换的方法可快速求得平面ABC上的正应力,（1.20）,(1)用坐标变换法求任意截面上的应力,24,（2）用静力平衡推导法求任意截面上的应力,见图1-5，由平衡条件 Fx=0，得,即,同理，还可得到另外两个相似的方程：,该方程称为柯西应力公式（Cauchys stress formula）。公式描述了弹性体内任一点P的6个应力分量，与通过P点任一平面上的应力之间的关系。,（1.21）,（1.22）,图1-5 一点的应力状态,1.2.2 一点的应力状态任意截面上的应力,25,1.2.

13、2 一点的应力状态任意截面上的应力,（2）用静力平衡推导法求任意截面上的应力,由上述公式很容易求出平面ABC上的全应力：,故有,（1.23）,而平面ABC上的正应力则可通过，三个分量投影后合成得到，或参考公式(1.20)，即,因为全应力 与正应力、剪应力之间满足如下关系(见式1.6）,（1.24）,（1.25）,（1.26）,26,1.2.3 主应力,（1）主应力,在过一点的所有截面中，存在着三个互相垂直的特殊截面，在这三个截面上仅有正应力。这种没有剪应力存在的截面称为过该点的主平面，主平面上的正应力称为该点的主应力，主应力的方向总是与主平面的法线方向平行，称为该点应力的主方向。,由柯西应力公

14、式，可得,设一主方向的方向余弦为nx，ny，nz，因为在主平面上没有剪应力，可用 代表该主平面上的全应力，则全应力在x,y,z轴的投影可表示为,（1.28）,（1.27）,（1.29）,27,1.2.3 主应力,将此行列式展开，得到一个关于应力的一元三次方程,因为，即 不全为0，上述方程组中 有非平凡解的条件是其系数矩阵的行列为0，即,（1.30）,（1.31）,可以证明，该方程有三个实根，而这三个根就是P点处的三个主应力。将主应力分别代入（1.28），结合（1.29）式便可分别求出各主应力方向的方向余弦。还可以证明，三个主方向是相互垂直的。,28,1.2.3 主应力,（2）应力不变量,方程式

15、(1.31)中，的系数以及常数项记为,定义为第一，第二，第三应力不变量。(1.31)可表示为,（1.35）,29,1.2.3 主应力,一点的应力状态可以用六个直角应力分量组成的矩阵来表示：,应力不变量可以用主应力表示成：,（1.36）,也可以通过选择主坐标作为参考坐标，用主应力组成的矩阵来表示：,30,1.2.3 主应力,（3）主应力和摩尔圆,弹性体内任一点的应力状态可以用摩尔圆来表示，一点的应力状态的具体值在阴影区域表示。主应力按代数值排列，以 和 为坐标轴的横轴和纵轴，沿着 轴标记出 和，接着画三个圆，直径分别为(),()和(),如图1-6所示,图1-6 应力摩尔圆,用摩尔圆图形可显示任一

16、可能截面上的应力，如图1.6阴影区，这个阴影区叫做摩尔应力的平面，这三个圆就叫作摩尔圆。从图中可以得出以下结论：（1）主应力用图上点A，B和C来表示，这些点相应的剪应力为0。（2）最大剪应力为，对应的正应力为，可用图上D点表示。,（3）对于正应力有三个极限值和所对应的平面叫主应力平面，主剪应力有,（1.38）,31,1.2.4 平衡微分方程,一般情况下物体内不同的点将有不同的应力。各点的应力分量都是点的位置坐标（x,y,z）的函数，而且在一般情况下，都是坐标的单值连续函数。当弹性体在外力作用下保持平衡时，可根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，即平衡微分方程。这是弹性力学基础理论

17、中的一个重要方程式。,图1-7 微小单元体的应力平衡,根据平衡方程，有，,整理得,（1.39）,（1.40）,32,1.2.4 平衡微分方程,同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即,（1.41）,（1.42）,33,1.2.4 平衡微分方程,展开这个式子，略去四阶微量，整理后得到,或,同理，得,和,将上面三个式子联立，得到任意一点处应力分量的另一组关系式,这个结果表明：任意一点处的六个剪应力分量成对相等，即剪应力互等定理,为便于表示，一点的九个应力分量写成应力列阵，,（1.43）,（1.44）,（1.45）,34,1.2.5 平面应力状态,如果一个物体内任意一点的应力状态为,而其余的三个应

18、力分量，都是x，y的函数，此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。,图1-8 平面应力状态,（1.46）,35,1.2.5 平面应力状态,见图1-8。根据柯西应力公式可以得到下面三个等式,该平面内的法向应力和剪应力分别为,（1.47）,（1.48）,（1.49）,（1.50）,2,36,1.2.5 平面应力状态,在此，主应力用下式给出,主平面则分别为满足下述条件的三个平面:其中一个主平面就是z平面，且其余两个主平面的法线都在Oxy平面内，且,上面的等式确定了两个平面之间的夹角关系。假设主应力,和 满足 的关系，则该点上（任意平面内）剪应力的最大值为,而Oxy 平面上剪应力的最大值为,（1.

19、51）,（1.52）,（1.53）,（1.54）,37,1.2.5 平面应力状态,如果在Oxy 平面内存在平面应力状态，则 那么根据平衡微分方程可以很容易地得到平面应力状态下的平衡方程，即,（1.56）,结合式(1.54)，可得,（1.55）,38,如果考察位于物体表面上的点，即边界点，显然，这些点的应力分量应与作用在该点处的外力相平衡。这种边界点的平衡条件，称为用表面力表示的边界条件，也称为应力边界条件。在应力边界问题中，可以建立面力分量与应力分量之间的关系。弹性体边界上的点同样满足柯西应力公式，设弹性体上一点面力为，由柯西应力公式有,上式即为物体应力边界条件的表达式。但是，如果我们用表示整

20、个弹性体的表面积，则往往只在其中一部分面积上给定了外力，而另一部分面积属于上则给定的是位移。在 上,（1.57）,（1.58）,1.2.6 应力边界条件,39,1.2.6 应力边界条件,例1-2,设一弹性体受力状态为平面应力状态(),如图1-9所示，P和P1为边界上的点，在P点处、是单位面积上的面力，写出P和P1两点的应力边界条件。,图1-9 弹性体边界微分单元应力,40,1.2.6 应力边界条件,例题1-3,图1-10是重力水坝截面，坐标轴是Ox和Oy，OB面上的面力为。求OB面的应力边界条件。,图1-10 重力水坝截面,41,1.3 应变分析,1.3.1 几何方程-应变位移关系,弹性体受到

21、外力作用时，其形状和尺寸会发生变化，即产生变形。应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程，或叫做Cauchy几何方程(Geometrical Equations)。,和 是任意一点在x,y 和 z方向上的线应变（正应变），,和 分别代表在xy,yz 和xz 平面上的剪应变。类似于直角坐标应力分量，上面6个应变分量可定义为直角坐标应变分量，如图1.12所示。,图1-11 微元体,图1-12 位移与应变,42,1.3.1 几何方程-应变位移关系,据此，可以求得,根据线应变（正应变）的定义，AB线段的正应变为,因，故由上式可得,代入(1.59）式，得,由于只是微小变形的情况，可略去上式中的

22、高阶微量（即平方项）。,当微元体趋于无限小时，AB线段的正应变就是P点沿x方向的正应变。用同样的方法考察AD线段，则可得到P点沿y方向的正应变。,（1.59）,（1.60）,（1.61）,（1.62）,43,1.3.1 几何方程-应变位移关系,式中 与1相比可以略去，故,现在再来分析AB和AD两线段之间夹角（直角）的变化情况。在微小变形时，变形后AB线段的转角为,同理，AD线段的转角为,由此可见，AB和AD两线段之间夹角变形后的改变（减小）量为,（1.63）,（1.64）,（1.65）,（1.66）,（1.67）,44,1.3.1 几何方程-应变位移关系,几何方程完整表示如下：,（1.68）,

23、把AB和AD两线段之间直角的改变量 xy 称为P点的角应变（或称剪应变），它由两部分组成，一部分是由y方向的位移引起的，而另一部分则是由x方向位移引起的；并规定角度减小时为正、增大时为负。,45,1.3.1 几何方程-应变位移关系,例题1-4,考虑位移场，求在P(1,0,2)的直角坐标应变分量是多少？,解：在(1，0，2)线应变为,46,1.3.1 几何方程-应变位移关系,在(1，0，2)剪应变为,47,（1）应变的直角坐标分量表达及坐标变换,一点的应变矩阵,假如弹性体一点P的6个应变分量已知，可以计算出任意PQ方向的线应变。设PQ方向与坐标轴的夹角方向余弦为,和，可推导出PQ方向的线应变,有

24、时用弹性应变矩阵来表示一点的应变状态，表达方法如下,（1.69）,（1.70）,其中，,1.3.2 一点的应变状态及其表达,48,1.3.2 一点的应变状态及其表达,（1）应变的直角坐标分量表达及坐标变换,可以像应力分析那样用变换矩阵快速求出任意PQ方向的线应变。,（1.73）,（2）体积应变,体积应变表示弹性体体积的扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变的大小等于三个线应变的和。,（1.74）,49,1.3.2 一点的应变状态及其表达,（3）主应变,对于弹性体内任一点，存在这样一个面，在该面内只有线应变没有剪应变，该线应变称之为主应变，该平面法线方向称之为主应变方向（或主应变轴）。任一点都有三个

25、互相垂直的主平面。通常情况下，对于各向同性的材料主应变平面与主应力平面重合。这里利用弹性应变矩阵直接写出主应变的求解式。求解式为,其中,（1.75）,50,1.3.3 相容性条件,变形协调方程也称变形连续方程或相容方程，它描述应变分量之间所存在的关系。在弹性力学中，我们认为物体的材料是一个连续体，它是由无数个点所构成，这些点充满了物体所占的空间。物体在变形前后都是连续的。设想把一个薄板划分成许多微元体，如图1.13 所示。如果六个应变分量之间没有关联，则各微元体的变形便是相互独立的。,(a)(b)(c)(d)图1-13 变形协调的讨论,六个应变分量之间的关系可以分两组来讨论。有几何方程,51,

26、对于几何方程的剪切应变与位移关系式,（1.79）,（1.80）,（1.81）,（1.82）,（1.83）,前两式分别对y、x求二阶偏导数,求偏导,消位移分量,对z求偏导,1.3.3 相容性条件,52,综上两组公式将得到应变分量之间的如下六个微分关系式，即变形协调方程,（1.84）,1.3.3 相容性条件,上述方程从数学上保证了物体变形后仍保持为连续，各微元体之间的变形相互协调，即各应变分量之间满足一定的相容性协调条件。,53,1.4 物理方程,本节讨论应力与应变关系的方程式，即物理方程（Physical equation）。物理方程与材料特性有关，它描述材料抵抗变形的能力，也叫本构方程(Con

27、stitutive law)。本构方程是物理现象的数学描述，是建立在实验观察以及普遍自然原理之上的。对物理现象进行准确的数学描述一般都十分复杂甚至不可行，本构关系则是对一般真实行为模式的一种近似。另外，本构方程只描述材料的行为而不是物体的行为，所以，它描述的是同一点的应力状态与它相应的应变状态之间的关系。,54,1.4 物理方程,1.4.1 广义胡克定律,（1）广义胡克定律的一般表达式和Lame系数,在进行材料的简单拉伸实验时，从应力应变关系曲线上可以发现，在材料达到屈服极限前，试件的轴向应力 正比于轴向应变，这个比例常数定义为杨氏模量E，有如下表达式,弹性体剪切应力与剪应变也成正比关系,对于

28、理想弹性体，可以设6个直角坐标应力分量与对应的应变分量成线性关系，,（1.85）,（1.86）,（1.87）,55,按照广义胡克定律，三个主应力,与三个主应变,之间同样也是线性关系，以 为例,对于各向同性材料，上式关于 的表达式可写成,即为体积应变 若符号b用表示，(a-b)用 表示，则,式中，和 是两个常数，称为Lame系数。,（1.88）,（1.89）,（1.90）,1.4.1 广义胡克定律,56,1.4.1 广义胡克定律,（2)广义胡克定律的工程表达式,在工程上，广义胡克定律常采用的表达式为,对于剪应力和剪应变，线性的各向同性材料的剪应变与剪应力的关系是,（1.93a）,式中，G剪切模量

29、。,？,57,1.4.1 广义胡克定律,这样，一点的六个应力分量和六个应变分量之间的关系可以用如下矩矩阵形式来表示,（1.93b）,（1.93c）,（1.94）,其它剪应变与其相应的剪应力的关系为,58,式中，D弹性矩阵，它是一个常数矩阵，只与材料常数杨氏模量E和泊松比 有关。其表达式为。,对于二维问题，有,（1.95）,以及，,1.4.1 广义胡克定律,SYM,59,1.4.1 广义胡克定律,另外，用主应力和主应变表示的胡克定律为,（1.96）,（1.97）,由式(1.94)可知,60,1.4.1 广义胡克定律,（3）Lame系数与材料常数的关系,由式(1.90)可以得到,由此得出，Lame

30、系数 等于剪切弹性模量G,即,（1.98）,（1.99）,（1.100）,（1.101）,（1.102）,代入式(1.90a),对照(1.91)第一式,由(1.100)解得,61,1.4.1 广义胡克定律,（4）任一方向上的应力应变关系,式(1.90)是用Lame系数描述了一点的主应力与主应变的关系。弹性体内某一点非主应力方向，它的正应力 与该方向的线应变 也存在类似的上述关系，具体证明如下。对于各向同性材料，主应力方向应与主应变方向重合。设坐标轴与主应力方向重合，该点的应力、应变状态可表示为,由Cauchy应变公式可知,（1.103）,（1.104）,（1.105 1.106）,（1.107

31、）,（1.108）,(1.90)带入(1.105),及(1.106)可得,62,1.4.2 用位移表达的平衡微分方程,对于各向同性的材料:,由 导出平衡微分方程,已知,（1.109）,（1.110）,（1.111）,（1.112）,（1.113）,位移平衡微分方程：用位移表示的平衡微分方程,式(1.110)代入式(1.109):,进一步替换：,整理得：,63,1.4.2 用位移表达的平衡微分方程,其中考虑到体积应变的公式,考虑由另外两式 导出的平衡微分方程，经过类似推导可得到另外两个用位移表示的平衡微分方程。定义拉普拉斯算子,（1.114）,（1.115）,（1.116）,最后得到：,64,1

32、.4.3 圣维南定理,工程实际中物体所受的外载荷往往比较复杂，一般很难完全满足边界条件。当所关心的并不是载荷作用区域内的局部应力分布时，可以利用圣维南原理加以简化。圣维南原理一般表述：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(即主矢量相同、同一点的主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。还可表述为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(即主矢量及主矩都等于零)，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。应用圣维南原理不能离开“静力等效”的条件。,图1-14 圣维南原理示意图,65,弹性力学典型问题的讨论,66,平

33、面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。,1 平面问题,平面应力问题,平面应变问题,67,平面应力问题是指，所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈平板状），外载荷（包括体积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化，在 z=h/2 处的两个外表面（平面）上不受任何载荷，如图1-15所示。,1-1 平面应力问题,（1）平面应力问题,图1-15 平面应力问题,68,在 z=h/2 处的两个外表面上的任何一点，都有z=zx=zy=0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的z

34、、zx、yz 都等于零，而其余的三个应力分量x、y、xy 则都是x,y的函数。此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。在平面应力状态下，由于z=zx=zy=0，所以可以很容易得到平面应力问题的平衡方程,1-1 平面应力问题,（1.117）,69,平面应力问题的几何方程平面应力问题的物理方程,1-1 平面应力问题,（1.118）,（1.119）,70,与上述情况相反，如图1-16所示，当物体z方向上的尺寸很长，物体所受的载荷（包括体积力）又平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这类问题称为平面应变问题。,1-2 平面应变问

35、题,（2）平面应变问题,图1-16 平面应变问题,71,对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x,y的函数。在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在xy平面上移动，而不会发生z方向上的移动。根据对称条件可知，zx=zy=0，并且由剪应力互等关系可以断定，xz=yz=0。但是，由于z方向上的变形被阻止了，所以一般情况下z 并不等于零。,1-2 平面应变问题,72,在平面应变状态下，由于x、y、z 及xy 都只是x,y的函数，而xz=yz=0，且因外力都垂直

36、于z轴，故无z方向的分量。由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两个式子与式（1-118）相同。,1-2 平面应变问题,对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且w=0，故有z=zx=zy=0，所以其几何方程与平面应力问题的几何方程相同。但是，由于z=0，因而平面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即,（1.120）,73,对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式,1-2 平面应变问题,式中的D 矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的E用 代替，用 代替。,（1.121）,74,最大主应力准则最早由Rankine提出，

37、认为材料所能承受的最大主应力是引起材料失效的主要原因。因此，判断材料是否失效，只要求得材料的最大主应力。前面已述，弹性体内任一点共有三个互相垂直的主应力，即，且有，因此，只要求得 而不必考虑其他两个主应力。设 是材料的屈服极限，则最大主应力准则的失效判据为,2 最大主应力准则,（1.122）,75,由于最大主应力准则的十分简单，人们经常采用它进行初步的判定，它还可以应用于不发生屈服失效的脆性材料。但是，最大主应力准则没有在实验结果中得到足够的验证。绝大多数材料能够承受很高的各面均匀作用的静水压力而不发生断裂或永久变形。下面给出的例子就可以证明最大主应力准则不能作为很好的失效准则。,2 最大主应

38、力准则,76,2 最大主应力准则,如图1-17所示，一物体受应力 和 作用，其中 为拉应力，为压应力。当杆受纯扭转时，如果 和 大小相等，那么在 平面上，剪应力 与 大小相等。根据最大主应力失效准则，是有限值，但是，试验证明，对于受纯扭转塑性材料，当发生屈服时，剪应力要远远小于。,图1-17 矩形单元的 滑移面,77,最大剪应力准则又称Tresca理论。对于主应力，材料失效准则为,2 最大剪应力准则,即当最大剪应力的值达到材料屈服极限Sy的一半时，材料发生失效。也可以认为是单轴拉伸试验在屈服点的剪切应力。最大剪应力理论适用于塑性材料的失效判断。,（1.123）,78,对塑性材料进行简单拉伸或压

39、缩试验，可以发现最大剪应力发生在与轴线成的平面上。试验中试件断裂时就沿着面断裂，即滑移线与轴线大致成。简单拉伸试验验证了最大剪应力理论。同样可以验证，对于塑性材料在三维应力状态下，最大剪应力理论也是适用的。脆性材料的拉伸试验表明，试件通常不会发生塑性变形而会直接发生断裂。脆性材料的压缩试验表明，滑移面或剪切失效面与最大剪应力面完全不同。另外，对于脆性材料，拉伸和压缩时最大剪应力也不同。对于承受三维应力状态的脆性材料，最大剪应力准则也不适用。因此，可以说最大剪应力理论并不适用于脆性材料。,2 最大剪应力准则,79,最大变形能准则是工程中最常用的一种失效准则，又称von Mises准则。这个准则把

40、在一般应力状态下某一点的变形能和拉伸试件的屈服联系了起来。当三个主应力相等时为静水应力，在这种情况下，所有方向上的应变均相等，没有剪应力，因此物体不发生变形。这种状态发生任何一点偏差都会导致变形。一般的应力状态可以认为是一个纯静水应力情况和一个变形情况的叠加。静水应力即平均正应力为,3 最大变形能准则,（1.124）,80,3 最大变形能准则,因此，应力的一般状态可以表示为,（1.125）,在等式的右边，第一个矩阵为静水应力，第二个矩阵为产生变形的应力。上式还可以用主应力表达为,（1.126）,81,其中，。单位体积的能量由下式给出单位体积内的变形能可以简化为,3 最大变形能准则,（1.127

41、）,（1.128）,82,在拉伸实验中，材料发生屈服时的应力状态为和。所以，屈服时变形能为,3 最大变形能准则,（1.129）,化简式(1.128)和(1.129)，得到在一般应力情况下的von Mises准则为,（1.130）,83,按照变形能理论，当主应力满足下式时发生屈服,3 最大变形能准则,若定义von Mises应力为,（1.132）,（1.131）,则最大变形能准则可表示为,（1.133）,84,虚位移原理(也叫虚功原理，Virtual displacement principle)是指：如果一个质点处于平衡状态，则作用于质点上的力，在该质点的任意虚位移上所做的虚功总和等于零。,4

42、 虚位移原理,85,从本质上讲，虚位移原理是以能量(功)形式表示的平衡条件。对于弹性体，可以看作是一个特殊的质点系，如果弹性体在若干个面力和体力作用下处于平衡，那么弹性体内的每个质点也都是处于平衡状态的。假定弹性体有一虚位移，由于作用在每个质点上的力系在相应的虚位移上的虚功总和为零，所以作用于弹性体所有质点上的一切力(包括体力和面力)，在虚位移上的虚功总和也等于零。对于弹性体，由于弹性体内部的各个质点应始终保持连续，在给定虚位移时，必须使其满足材料的连续性条件和几何边界条件。,4 虚位移原理,86,假定弹性体在一组外力 的作用下处于平衡状态，由外力所引起的任一点的应力为。并且，按前述条件对弹性

43、体取了任意的虚位移，由虚位移所引起的虚应变为，这些虚应变分量满足相容性方程。那么，外力在虚位移上所做的虚功为,4 虚位移原理,（1.134）,87,受到外力作用而处于平衡状态的弹性体，在其变形过程中，外力将做功。对于完全弹性体，当外力移去时，弹性体将会完全恢复到原来的状态。在恢复过程中，弹性体可以把加载过程中外力所作的功全部还原出来，也即可以对外做功。这就说明，在产生变形时外力所作的功以一种能的形式积累在弹性体内，即上文所述的弹性变形势能(或称应变能)。,4 虚位移原理,88,4 虚位移原理,对弹性体取虚位移之后，外力在虚位移上所做的虚功将在弹性体内部积累有虚应变能。根据能量守恒定律，可以推出弹性体内单位体积中的虚应变能（即一点的虚应变能密度）,（1.135）,89,整个弹性体的虚应变能为,4 虚位移原理,因此，弹性体的虚位移原理可以叙述为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功就等于弹性体所具有的虚应变能，即,（1.136）,（1.137）,