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1、2023/9/10,1,Lagrange定理,Lagrange 定理：|G|=|H|G:H证明：令G 的不同的陪集为Ha1,Ha2,Har,|G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|=|H|r=|H|G:H,2023/9/10,2,Lagrange定理推论,推论(1)群的元素的阶是群的阶的因子.证明：构造子群，|=|a|.(2)素数阶群一定是交换群（实际上是循环群）.证明：|G|=p,p1,存在非单位元a,|a|的阶是p 的因子，只能是|a|=p.故G=.,2023/9/10,3,循环群,定义10.7:设G是群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循
2、环群G的生成元。记G=.,2023/9/10,4,2023/9/10,4,例10.14(1-3),(1)整数加群,1,-1都是生成元(2)模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)模n整数加群与n互素的元都是生成元,生成元不唯一,2023/9/10,5,2023/9/10,5,例10.14(4-6),(4)n阶实矩阵加群(5)n阶实可逆矩阵乘法群；(6)集合A=1,2,3上所有的双射函数关于映射复合构成群S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，H1=f1,f2H2=f1,f5,f6,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,2023/9/10,6,循环群必是阿贝尔群,性质:任何一个循环
3、群必为阿贝尔群。,证：设G为一个循环群，其生成元为a,则x,y G，必r,sZ,s.t.x=ar,y=as 而且，x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x因此，G为一阿贝尔群,2023/9/10,7,阶数,有限群G的阶数集合G的元素个数.群G的阶数记作|G|=n 元素a的阶数r是使ar=e成立的最小正整数,此时称r为元素a的阶.,2023/9/10,8,循环群分类,生成元的阶无限，则G 为无限循环群生成元a 为n 阶元，则G=e,a,a2,an1为 n 阶循环群，循环群的阶和生成元的阶相等。实例 为无限循环群为n 阶循环群,2023/9/10,9,循环群的生成元,定理10.1
4、1 G=是循环群(1)若G 是无限循环群，则G 的生成元是a 和a1;(2)若G 是n 阶循环群，则G 有(n)个生成元，当n=1 时G=的生成元为e；当n1 时,r(rZ+rn),ar 是G 的生成元(n,r)=1.,2023/9/10,10,Euler函数,Euler函数(n)：当n1 时，(1)1；当n1时，它的值(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。考虑群(Zn*,)，Zn*是Zn中所有可逆元组成的集合，则|Zn*|=(n),2023/9/10,11,2023/9/10,11,例10.14(1-3),(1)整数加群,1,-1都是生成元(2)模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)
5、模n整数加群与n互素的元都是生成元,生成元不唯一,2023/9/10,12,证明思路：,(1)证明a1 是生成元证明若存在生成元b，则b=a 或a1.(2)只需证明(r,n)=1,则ar 是生成元反之，若ar 是生成元，则(r,n)=1.,2023/9/10,13,证明,2023/9/10,14,循环群的子群,定理10.12 G=是循环群，那么(1)G 的子群也是循环群(2)若G 是无限阶，则G 的子群除e外也是无限阶(3)若G 是n 阶的，则对于n 的每个正因子d,在G 中有且仅有一个d 阶子群.,2023/9/10,15,证明思路：,(1)子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成元(2)若
6、子群H=有限，ae,则推出|a|有限.(3)是d 阶子群，然后证明唯一性.,2023/9/10,16,证明,2023/9/10,17,证明(续),2023/9/10,18,例10.16,G=为r阶循环群，证明|at|=r/(t,r),证：令|at|=s,(t,r)=d t=dp,r=dq r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=e s|q(at)s=e ats=e r|ts q|ps q|s（p,q互素）,2023/9/10,19,实例,(1),求生成元、子群.生成元为与12 互质的数：1,5,7,1112 的正因子为1,2,3,4,6,12，子
7、群：,(2)G=为12阶群，求生成元和子群.生成元为a2,a10,a14,a22G的子群：,2023/9/10,20,实例,(3)为无限循环群，求生成元和子群.生成元为a,a1；子群为，i=0,1,2,；(4)G=，求生成元和子群.生成元：1,1;子群nZ,n=0,1,2023/9/10,21,置换,定义：设A是一个非空有限集合，从集合A到A的一个双射称为A的一个置换A 上的n 元置换：|A|=n 时A 上的一一变换置换的表示法：令A=1,2,n,2023/9/10,22,2023/9/10,例10.14(6),(6)集合A=1,2,3上所有的双射函数关于映射复合构成群S3=f1,f2,f3,
8、f4,f5,f6，,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,2023/9/10,23,置换举例,eg:A=1,2,3,4f:A A 12 23 34 41则f1,f2,f3,f4,2023/9/10,24,置换的表示法2-k阶轮换,轮换:(i1 i2ik)不交轮换的分解式：=12t,其中 1,2,t,为不交轮换,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1),2023/9/10,25,置换的表示法2,(132)(5648),2023/9/10,26,n元置换的轮换表示,性质：任何n元置换都可以表成不交的轮换之积，并且表法是唯一的.=12t=12l,1,2,t=1,
9、2,l,2023/9/10,27,置换的表示法3,对换分解式：对换(i j)=(j i)(i1 i2ik)=(i1 i2)(i1 ik-1)(i1 ik),(1 2)(1 3)(1 4),(1 3)(2 4),(1 4)(1 3)(1 2),(1),2023/9/10,28,置换的表示法3,(132)(5648)=(13)(12)(56)(54)(58),2023/9/10,29,n元置换的对换表示,任意轮换都可以表成对换之积对换可以有交表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变,2023/9/10,30,奇置换、偶置换,奇置换：表成奇数个对换之积偶置换：表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在一一
10、对应，因此各有n!/2个,2023/9/10,31,置换的乘法与求逆,置换的乘法：函数的复合例如：8元置换=(132)(5648)，=(18246573),则=(15728)(3)(4)(6)=(15728)置换求逆：求反函数=(132)(5648)，-1=(8465)(231),2023/9/10,32,对称群、置换群、交错群,令Sn为1,2,n上所有n元置换的集合.Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群.Sn的子群称为n元置换群.所以偶置换的集合做成Sn的子群称为n元交错群An.例 3元对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)3元交错群A3=(1),(123
11、),(132),2023/9/10,33,置换群举例,eg:A=1,2,3,4f:A A 12 23 34 41则f1,f2,f3,f4 对f复合做成一个置换群.,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1),2023/9/10,34,置换群中元素的阶,元素的阶k 阶轮换(i1 i2ik)的阶为k=12l 是不交轮换的分解式，则|=|1|,|2|,|l|,2023/9/10,35,置换群子群,(1),Sn，n 元交错群An2元子群,2023/9/10,36,置换群子群,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)子群6 个,S3,A3=,2023/9/10,37,置换群子群,S4=(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),2023/9/10,38,置换群子群,2023/9/10,39,Calay定理,Calay定理：每个有限群都与一个置换群同构,2023/9/10,40,作业,(1)阶5的群都是交换群？举出一个6阶群不是交换群。P204，26-28,29-31,
