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1、2023/9/10,1,第二章 投影定理及投影作图方法,2.1 从属问题,2.2 平行问题,2.3 相交问题,2.4 垂直问题,2.5 最大斜度线,2.6 线段实长与倾角的求法,2023/9/10,2,一.线上取点定理（线上点的投影）,线上点的投影必在线的各同面投影上；点分割线段之比在各投影中保持不变。,2023/9/10,3,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,2023/9/10,4,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,解法二：,a,b,（应用第三投影）,（应用定比定理）,2023/9/10,5,二.属于平面上的点和线,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线
2、，然后再在该直线上确定点的位置。,面上取点的方法：,首先面上取线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,位于平面上的直线应满足的条件：,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,2023/9/10,6,例3：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,2023/9/10,7,例4：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,b,唯一解！,a,2023/9/10,8,在给定平面上取投影面的平行线,根据面上取点取线的作图法，可在给定平面上任意取各投影面的平行线。,20
3、23/9/10,9,例5：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,2023/9/10,10,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,例6：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法二：,c,解法一：,b,2023/9/10,11,一.两线平行定理（线与线平行）,平行二线的各同面投影均平行；平行二线的线段长之比在各投影中保持不变。,2023/9/10,12,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名
4、投影互相平行，空间直线不一定平行。,2023/9/10,13,二.线与面平行,线面平行作图法：若空间有一直线与某一平面平行，则该平面必需包含有一条与空间直线平行的直线；反之，若平面上有一条与空间直线平行的直线，则该面与空间直线平行。,2023/9/10,14,g,g,1.过已知点作线平行已知面,EG/AC EG/ABC,EF/AB EF/ABC,EH/BC EH/ABC,2023/9/10,15,g,g,2.过已知点作面平行已知线,EFG/AB,EG/AB,2023/9/10,16,二面平行作图法：若要使平面与平面之间互相平行，则此两平面上必须分别有不平行的两直线对应平行。反之，若两平面上分别
5、有不平行的两直线对应平行，则此两平面必平行。,三.面与面平行,2023/9/10,17,g,g,过已知点作面平行已知面,EG/AB,EF/AC,EFG/ABC,2023/9/10,18,一.两线相交定理,相交二线的各同面投影均相交；且有一共有的线上点（交点）。,交点是两直线的共有点,2023/9/10,19,d,k,k,d,先作正面投影,例1：过C点作水平线CD与AB相交。,2023/9/10,20,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,2023/9/10,21,两线交叉,为什么？,两直线相交吗
6、？,不相交！,交点不符合点的投影规律！,2023/9/10,22,1(2),同名投影可能相交，但交点不符合点的投影规律。,交点是两直线上的一对重影点的投影，用其可判断两线的空间位置。,投影特性：,两线交叉,2023/9/10,23,二.线与面相交,直线与平面相交，必有一共有点，即交点。,要在这个平面上求得这一交点，必需先在平面上取一包含交点的直线。,2023/9/10,24,一般位置线与垂直面相交,垂直线与一般位置面相交,2023/9/10,25,一般位置线与一般位置面相交,1）包含已知线EF作辅助平面R（垂直于某一投影面）；,三步求交法,2）求此辅助平面R与已知平面ABC的交线MN；,3）求
7、此交线MN与已知直线EF的交点K。,2023/9/10,26,可见性判断,2023/9/10,27,可见性判断,重影点法+逻辑推理,线面相交时，可由重影区段的端部重影点进行；面面相交时，可由重影区域的某一对重影点进行。,2023/9/10,28,n,n,一般位置线与一般位置面相交,m,m,三步求交法,1)作辅助面RH,2）求RH面与ABC 面的交线MN,3）求MN与EF的交点K,2023/9/10,29,三.面与面相交,1）两平面的交线是一条直线。它是双方的共有部分。2）只要求得交线上的两个共有点，或一点一已知方向，问题就解决。3）求解方法有：三步求交法和三面共点法。,（一）用“三步求交法”求
8、两平面交线,1）用“三步求交法”作出一个平面上的任一直线与另一平面的交点。2）用“三步求交法”再作出一个平面上另一直线与另一平面的交点。3）将这两点连线即为所求的交线。,有目的地将面面相交问题转化为线面相交问题来逐个进行求解。,2023/9/10,30,特位面与一般位置面相交,m,n,交线的水平投影,交线的正面投影,2023/9/10,31,求EG与ABC面的交点M,求FG与ABC面的交点N,连MN即为交线,判断可见性,2023/9/10,32,三面共点法：人为地设立第三面与之相交。三平面交于一点，此点就是共有点，属三方共有。第三面应是特殊位置平面。,2023/9/10,33,用三面共点法求解
9、,PV,QH,2023/9/10,34,一.两线垂直,2023/9/10,35,直角投影定理：互相垂直的两直线，若一直线平行于投影面，则这两直线在该投影面的投影，反映直角。反之，若两直线的某一投影呈直角，且其中一直线平行于该投影面，则此两线必垂直。,2023/9/10,36,若直线垂直于平面，则该线必垂直于平面上的一切直线。,二.直线垂直于平面,线面垂直作图法：若一直线与一平面垂直，则该线的水平投影必垂直于该面的投影面水平线的水平投影；正面投影必垂直于该面的投影面正平线的正面投影；侧面投影必垂直于该面的投影面侧平线的侧面投影。,2023/9/10,37,1.过已知点作线垂直于已知面,l,l,2
10、023/9/10,38,2.过已知点作面垂直于已知线,h,h,g,g,2023/9/10,39,三.平面垂直于平面,若一直线垂直于一平面，则包含该线所作的一切平面均与该平面垂直。反之，若二平面互相垂直，则过第一平面内的任一点，向第二平面所作的垂线，必在第一平面上。,2023/9/10,40,四.双垂直问题,所谓“双垂直”，是指直线与平面，或平面与平面，在互相垂直的同时，其中一方又垂直于某投影面。这样，与投影面垂直的一方，必然在该投影面上产生积聚投影；与此同时，另一方则必与该投影面平行。,2023/9/10,41,2.5 最大斜度线(spurnomal),平面上垂直于该面迹线的直线，称为最大斜度
11、线。最大斜度线必与属于该平面的投影面的平行线垂直。最大斜度线标志着该平面对于投影面的最大斜度。最大斜度线对于投影面的倾角，直接反映了该平面对于投影面的倾角。,2023/9/10,42,作最大斜度线,n,n,e,e,m,m,mn,MN,过C点作面上水平线CE,过B点作面上的H面的最大斜度线MN,求MN的实长和倾角,2.5 最大斜度线(spurnomal),2023/9/10,43,2.6 线段实长与倾角的求法,由于直线的线段长与其投影长度之间存在着余弦（cos）关系，故可利用直角三角形来进行求解。,2023/9/10,44,利用直角三角形法求直线AB的实长及其对V、H的倾角,AB,ab,AB,AB,这一方法除求实长外，还可用来求解坐标差、投影长以及倾角的大小。,2.6 线段实长与倾角的求法,2023/9/10,45,2023/9/10,46,
