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1、*范例5.5 轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画),(1)一轻杆长为l，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅的度数为1到7 时(间隔为1)，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30 到150 时(间隔为30)，另加179，同样进行比较。,解析(1)如图所示，设角位置为，摆锤的运动方程为,即,在小角度的情况下，sin，可得,0为圆频率,单摆在小角度的情况下作简谐振动。,振动周期为,在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。,摆锤的角
2、速度为=d/dt，因此,可得,积分得,当t=0时，=0，=m，可得C=-gcosm/l。,角速度大小为,单摆的周期为,对于任何角振幅m，通过数值积分和符号积分都能计算周期。,注意：角速度和圆(角)频率都用字母表示，单位也相同，但意义不同。,*范例5.5 轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画),利用半角公式可得,设,并设ksinx=sin(/2)，因此,可得,第一类完全椭圆积分定义为,周期可表示为,*范例5.5 轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画),将周期的椭圆积分公式按二项式展开得,其中(2n 1)!=13(2n 1)。,利用定积分公式,可得用无穷级数表示的单摆周期,如果取前两个正弦项，则得,利
3、用级数计算周期究竟要取多少项，则根据精度决定。,如果只取常数项，可得单摆小角度的周期T0。,*范例5.5 轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画),当角振幅在20以内时，单摆的周期几乎不变。,数值积分和符号积分与第一类完全椭圆积分公式计算的结果完全吻合。,当角振幅在20到40之间时，单摆的周期稍有增加。,当角振幅接近180时，单摆的周期急剧增加。,当角振幅大于40时，单摆的周期显著增加。,当角振幅等于5时，只要在周期的级数中取一个正弦项即可达到精度。,当角振幅等于90时，则需要取15个正弦项才能达到精度。,当角振幅等于150时，则需要取148个正弦项才能达到精度。,当角振幅在155到165之间时，
4、取150个正弦项虽然不能达到精度，但是周期的近似值与精确值基本吻合。,当角振幅接近180时，即使取150个正弦项，周期的近似值与精确值也有明显的差别。,可见：在通常振幅的情况下，可用级数求和的方法计算单摆的周期，但是在很大振幅的情况下，就需要用积分的方法或完全椭圆积分函数才能保证周期的精度。,容差为10-6,(1)一轻杆长为l，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅的度数为1到7 时(间隔为1)，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30 到150 时(间
5、隔为30)，另加179，同样进行比较。,解析(2)为了演示单摆的振动，需要求微分方程中角度的数值解。,摆锤的坐标为x=lsin，y=lcos，,x轴取向右的方向为正，y轴取向下的方向为正。,*范例5.5 轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画),当角振幅为60时，单摆的初始状态如图所示，单摆的周期为1.0732T0。,当角振幅小于5时，单摆振动周期约等于小角振动的周期。,当角振幅为90时，单摆的周期为1.18T0。,当角振幅为179时，单摆的初始状态如图所示，单摆的周期为3.90T0。,当角振幅为179.9时，单摆的周期为5.37T0。,(1)一轻杆长为l，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。不
6、计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅的度数为1到7 时(间隔为1)，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30 到150 时(间隔为30)，另加179，同样进行比较。,解析(3)为了求解单摆的运动规律，仍然需要求微分方程的数值解。,单摆的振动可与简谐振动进行比较。,简谐振动的角位移可用余弦函数表示h=mcost，,简谐振动的角速度为,*范例5.5 轻杆单摆振动的周期和振动规律(动画),在角振幅较小的情况下，单摆的周期近似为小角单摆的周期，其角位移完全可以用余弦函数表示。,在角振幅较小的情况下，其角速度完全可以用正弦函数表示。,当角振幅在90以内时，单摆的角位移与简谐运动的标准点基本上是重合的，因此可用余弦函数近似表示；,当角振幅等于150时，单摆的角位移与简谐运动的标准点有所偏离；,当角振幅接近180时，单摆的周期显著增加，角位移显著偏离简谐运动，角位移的极大值和极小值处十分“平坦”，表示单摆在左右两个角振幅附近运动比较缓慢。,当角振幅等于150时，单摆的角速度与正弦曲线偏离较多；,当角振幅在90以内时，单摆的角速度曲线与大多数正弦点(少量极值附近的点除外)重合；,当角振幅接近180时，角速度与正弦曲线偏离很大，峰值附近的曲线尖而窄，零值附近的曲线变得十分“平直”。,
