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1、第四章 微商与微分,微商概念来自一个连续量随另一个速度量变化的“瞬时”变化率。,1 微商的概念及其计算,例1,变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,求非均匀棒的密度（一点的线密度,这段的质量,这段上的平均密度,因而,例 2,说明，微商是一种特殊的极限,1 微商的定义,上面两个例子：虽然问题的具体意义不同，但仅从数量方面来看，它们都是利用函数的改变量与自变量的改变量之比（即函数的平均变化速度）的极限来刻画这个函数在一点的变化速度，抽象化的。,它们之比为,例3,的微商。,时，函数有改变量,它们之比为,注意到第三章第三节讲到的两个
2、重要的极限之一，就是,因此,当给自变量以改变量,例4,为曲线,上点,在,处的,法线方程为,处切线（如果存在）的斜率。,由此：曲线,切线方程为,2 微商的几何意义,开始,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,求曲线,在对应于,处的切线方程和法线方程,例5,在上面的定
3、义4.1中，考虑,和,便有定义：,或写成,和,！给出了证不可导的有效方法,注：,3.可导与连续的关系,定理4.1,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,4.微商的计算,原料,加工,产品,基本初等函数的微商公式,四则运算,复合运算,微商法则,初等函数的微商,（1）常值函数,（2）,其中,是正整数,（3）,正弦函数,与余弦函数,特别,（4）对数函数,基本初等函数的微商公式,微商的四则运算法则,由定理4.2可得,定理4.2,反函数微商法则,证明：由,在,附近连续且严格单调，则反
4、函数,在,点附近连续且严格单调。因此，若,则,，且当,时有,故由复合函数求极限法则得,。,定理4.3,（5）,指数函数,：为,的反函数 而,（6）反三角函数,到此：第一步基本上完成（还差一点）,核心，最重要：,链式法则：推广到多个。,复合函数求导法则,（7）幂函数,的微商,特别：,总结：,98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记,设,（x-1），求,两边取对数得,解,上式两边对x求导得,例10,因此,设,，求,解 两边取对数,再两边对x求导得,故,例11,例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法，它简化求导运算。例11也可用链式法则求得。因为,，所以,函数,是初等函数，故在定义域内连续，
5、但,故,点不可导。当,时有,几何上表示曲线在x=1处的切线平行于y轴。,下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。,例12,设,当,时，函数,是可导的：,显然,在,连续。由于极限,不存在，故,在,点不可导。我们知道，当,时，,不断地在1和-1之间摆动。从图形上看就是当Q点沿曲线趋于原点时，割线OQ在直线,之间摆动。,例13,注意，并不是割线不断摆动就无切线。例如函数,有,故,可见,在,点可导，事实上在0点割线的斜率,也是不断摆动的，但它有个极限位置 y=0.,2、微分概念及其计算,复习,1、可导和导数（微商）的概念,2、无穷小的比较,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A
6、,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,引例14,边长由,其,一.微分的概念,称为函数 在 的微分,一般：函数,给自变量一个改变量,相应地函数改变量,是否也可分成类似的两部分,从而有定义：（可微、微分）,设,在,有定义，如果对给定的,，有,其中A与,无关，则称,在x点可微,，并称,为函数,在点x的微分，记为：,或,上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微分的概念。注意：dy 既与 x 有关又与 有关.,定义4.2,从定义可知，微分具有两大特性：,(1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算；,(2)微分与函数的改变量,之差
7、是比,高阶的无穷小量,思路（讨论）：先看在可微的条件下：可推得什么结果？再看：反过来是否成立？（当然希望成立）,在,点可微,在,点可导且,反之：设,在,点可导。则,从而有,于是,若,，则,于是,即自变量的微分等于自变量的改变量。从而,微商就是微分之商,二 微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,由定理4.5知,从微商公式表可得微分公式表，,从微商公法则可得微分法则。,当u为自变量时，函数,的微分为,当 不是自变量时，而是x的函数,时，如何？,三微分公式与运算法则：,重点指出：,由微分与微商的关系：,而,，故,因此：无论u是自变量还是中间
8、变量，,微分形式,保持不变，这一性质称为一价微分形式的不变性。,，当,很小时,特别,常用：1）,2）,3）,四微分在近似计算中的应用,3隐函数与参数方程微分法,前面讲过的函数关系都是用,有时自变量与因变量的对应法则由一个方程确立，即函数关系,隐藏在一个方程中，,例.,一般地：,，确定了隐函数：,例1,方程,可以确定隐函数,和,它们都是连续函数。,但也可以确定隐函数,它在,点不连续。,1、隐函数微分法,形式给出的称为显函数，,而有些隐函数却不能简单地解出，,假定在一定条件下，,方程,可以确定隐函数,并且是可导的：求,例2：,由方程,确定隐函数,，求,解：,将,代入方程，,则方程为恒等式，即有,将
9、,视为复合函数，在恒等式两边对x求导，,得恒等式,解得,例：,也可以利用微分运算求隐函数的导数，,在方程,两边求微分得,解得,例3已知,，求,解：在方程两边对x求导，并注意y是x的函数，得,解得,例4,已知,，求,解：在方程两边取对数,在方程两边对x求导，并注意y是x的函数，得,解得,2参数方程微分法,设曲线的参数方程为：,若,有反函数,，则可得复合函数,所以,也可以用微分推导：,所以,例5,已知椭圆参数方程为,求,解：,例6,一轮子沿一直线滚动，轮子上一定点的轨迹曲线,称为旋轮线，其参数方程为,求出曲线上斜率为1的切线。,解：旋轮线上任一点切线的斜率为,令,，解得,，它对应旋轮线上的点,故斜
10、率为1的切线为,化简得：,4高阶微商与高阶微分 1高阶微商的概念,一般地函数,的导数,仍然是x的函数。,可以考虑,的微商,称为,的二阶微商,(二阶导数)。记为:,二阶及二阶以上的微商统称为高阶微商。,例1,（n是正整数），,求y的各阶导数。,，求,解得：,，求,解得：,强调两点,方程两边再对,求导：,例3,例2,2、高阶微商的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz)公式,与二项式展开对比记忆。函数的零阶导数理解为函数本身。,4.商：,设,，求,解：,例4,例6设,，求,解得：,易证：,，故,注意：,用莱布尼茨公式当然可以。但显然是自找麻烦。,对,3.高阶微分,函
11、数,的一阶微分是,把它看成是,的函数，再求一次微分得,称为,的二阶微分,记为,记为,，即,注意：,的意义不同。,把,类似地定义：,的,阶微分为,于是,这正是,阶导数（微商）符号的由来。,一般地：若,，,由一阶微分形式不变性,这时,是中间变量，故,和,不再独立，它们都是,的函数，故,高阶微分是否也具有形式不变性呢？,即当,是否成立？,公式,是中间变量时，,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,内容小结,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法,利用已知的高阶导数公式,(4)利用莱布尼兹公式,4.高阶导数的求法,如,习题,1.设,存在,求,解:,原式=,2.,若,且,存在,求,解:,原式=,且,联想到凑导数的定义式,3.设,其中,可微,解:,4.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,补充题,设,解:,又,1.,处的连续性及可导性.,2.,且,存在,问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数.,解:由题设,存在,因此,1)利用,在,连续,即,得,2)利用,而,得,作业,
