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1、,社会历史背景条件 相对封闭的疆域 大河背景下的农耕文化 集中的王权 中国数学的特点 形成了以计算为核心的算法理论 具有浓郁应用色彩 中国数学的成就 第一部数学著作九章算术（大约公元前二百年左右）公元3世纪至13世纪，创造了许多领先于其它民族的众多数学成果,形成国家数学教育的体制,2.1周易与中国传统数学,周易是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期,在古代中国众多的儒、道典籍中，周易是包含数学内容最丰富的著作。“卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。“筮”是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶,“筮”字由“竹”字和“巫”字构成。后来改用
2、蓍草,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。”周易由易经和易传两部分组成。自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与周易相联系。刘徽在九章算术注的序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”,易经中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“”与“”表示阳爻和阴爻。构成八卦、六十四别卦 研究认为，周易中爻的符号“”、“”是由数字或数表演进而来的。理由是：其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九”和“六”分别表示阳爻和阴爻。其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋
3、势。大约在周初（约公元前1066），就只有一和六这两个数字了。学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一”表示奇数，读数九的音；数“六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“”，这样数“一”与“”就具有爻的形象了。以后“”字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻“”的表示形式。,2.1.1 从数(表)演进为爻,四盘磨卜骨上的字符,太极八卦图,2.1.2 周易揲法大衍演算,周易中占筮确定取爻的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得一卦”。朱熹（11301200）对揲法的解说如下：（1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是49根；（2）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第
4、一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）；（4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）；（5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根，完成了“第一变”。,将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与第二变的计算，操作方法仿上述（2）（5），此时“归奇”的蓍数仍然是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下蓍策的根数或36，或32，
5、或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。,从中国古代的占筮工具和方法中，不难发现中国传统数学的历史渊源,“数学”一词相当于我国古代的“算术”数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。,算筹 中国古人称数学为算学,2.1.3 组合数学的思想洛书与河图,宋代的九宫格,明代的洛书,河图的解释，在历史上有多种说法。其中尚书中解释说：“河图，八卦；伏羲
6、王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”,图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同,“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”,明代邵雍的易图数学结构,儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以周易象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨经的逻辑学为其论说的工具。孔子（前551前479）的“六艺”中的“周官九数”（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要）是九章算术的雏形 墨子（前468前3
7、76）的抽象概念和逻辑知识：三个逻辑方法:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。惠施（约前370前318）对无穷性质的认识：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“镟矢之疾有不行不止之时”。,2.2 先秦显学中的数学思想,公元1世纪至8世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家,2.3.1 刘徽与九章算术注西汉年间，中国有了专门的数学著作：许商算术、
8、杜忠算术、算数书和九章算术，其中前两部著作早已失传。,算数书，1984年从湖北张家山古墓中发掘出土的。据考证，算数书是公元前206年前179年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂。,2.3 中国传统数学理论的研究,九章算术 是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的九章算术注自序中可以知道：他早年系统地学习过九章算术，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了九章算术注。九章算术成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过北汉平侯张苍（约前200年）和大司农中丞耿寿昌（约前50年）的整理。
9、,第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第三章衰分（比例分配）第四章少广（开平方与开立方）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据,九章算术是以应用问题集的形式表述，一共收入246个问题。九章算术把246个问题分为九章：,明代刊印的九章算术注,九章算术标志着中国传统数学的知识体系已初步
10、形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法,九章算术的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则九章是矣”。,九章算术注对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“
11、审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九章算术注丰富了九章算术的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”,设圆面积为S0、半径为 r、圆内接正n边形边长为 ln、周长为 Ln、面积为 Sn。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为 l2n,L2n,S 2n。刘徽首先指出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n,其次知道了圆内接正n 边形的周长 Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式：S2n S0 S2n+(S2nS
12、n).,割圆术的基本原理,从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”,2.3.2 祖率与祖暅原理,祖冲之（429500）与祖率 据随书律历志记载，祖冲之求得的值的取值范围为3.141592 3.1415927.（并称为朒、盈数）如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24576边形,用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为：4，于是由刘徽原理立即得到V球:V牟=：4即 V球=（/4）V牟。,祖暅原理（幂势既同，则积不容异）与球体积公式刘徽原理与“牟合方
13、盖”,“小方盖差”与球体积公式,左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得a2=r2 h2;这正是截平面PQRS的面积 中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 a2=h2，右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是h2,根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。,内插法：已知 f(x)在 xi a,b（i=1,2,n）的值为，那么通过 及适当公式，计算y=f(x)在 a,b内其他一些点的函数值。如果xi+1 xi为定数，这时的内插法称为等间距内插法；反之，称为不等间距内插法。,历法编制中的内
14、插法 最早求影长的一次内插公式（约公元前2世纪）：f(n)=f(a)+n，其中，f(n)是夏至之后的第个节气的影长，,f(a)=160分，f(b)=1350分分别是夏至、冬至的中午八尺杆子的影长，,2.3.3 内插法与天文历法,乾象历（206年），已发现了月亮不均匀运动及其规律。公元570年，北齐朝的天文学家张子信发现：自春分到秋分所需的时间要比秋分到春分的时间长，进而证明了太阳“视运动”的速度是不均匀的隋朝刘焯（544610）的皇极历提出了等间距二次内插法公式：f(nl+s)=f(nl)+(12)(12)张遂(683727)的大衍历创造了不等间距二次内插法公式：f(t+s)=f(t)+s+s
15、 其中，l1、l2分别为不同节气的时间长度，张遂假定它们不相等,“算经十书”记载的中国传统数学成就周髀算经（约公元前240年至公元前156年）与商高（陈子）定理“周髀”是测量日影的工具八尺长竿 全书由三部分组成：第一部分共264个字，记述了周公与大夫商高的问答记录。提到：“勾广三，股修四，径隅五”。说明，周代初期人们已经知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。第二部分是荣方与陈子的对话。对话中包含了勾股定理的一般陈述形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”第三部分是讲计算问题的，有“术”13条，书写形式和内容与九章算术基本一致。,2.3.4 明算学与“算经十书”隋唐时
16、期的数学教育制度 明算学,“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”孙子问题相当于求解一次同余式组 N2（mod3）3（mod5）2（mod7）这个问题源于历法编算中的求上元积年问题 其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。.计算过程为：N=702+213+1522105.显然，这里的70、21、15是求解的关键。其求法：70=2571(mod 3)0(mod 5)0(mod 7),21=370(mod 3)1(mod 5)0(mod 7),15=350(mod 3)0(mod 5)1(mod 7).由题设
17、，用3、5、7分别除以N所得的余数为2、3、2，故用2、3、2分别去乘70、21和15，再相加即得 2332（mod 3）3（mod 5）2（mod 7）求出这个同余组的最小整数解N=23，,孙子算经（约公元4世纪）与“孙子问题”,张邱建算经（约公元五世纪）与“百鸡问题”“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。”给出三组答案：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）张邱建算经的应用领域较九章算术有了新的发展，其主要数学成果包括求最小公倍数，等差数列及不定方程等内容,缉古算经（公元600多年）与“带从开方法”对当时的土木工程
18、中出现的数学问题的研究和总结，在一些体积计算中隐含了求解三次方程的“带从开方法”。虽然由于解法过程空缺，因而没能清楚地呈现这一方法的具体操作过程和原理。该书在理论上的贡献是陈述了筹算的运算方法，这在中国数学史上尚属首次。,2.4.1 杨辉三角与增乘开方法 杨辉（约13世纪后期）在详解九章算法中记载了北宋人贾宪的一张“开方作法本源图”（1050）现今称为杨辉三角的“贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角（1655年）,2.4 中国传统数学发展的顶峰（900年到1368年）创造出许多具有世界 历史意义的成就 数学家辈出 数学著作涌现,若A开平方的首商、次商分别为a,b,则有A=a2+B=a2+2a
19、b+b2 则B=Aa2=2ab+b2=(2a+b)b 继而用2a+b试除B,且若B(2ab+b2)=0,则开方完成；否 则再继续试第三位商，。这个方法用于筹算，就形成了增乘开方法，其过程简述如下:,借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法,a*a a a b*b b,将上图转换适当角度，就变为贾宪三角：左边斜行由1组成，称为“积数”，它们是借算；右斜行也都是1，称为偶算，它们是a的各次幂的系数。贾宪利用贾宪三角得到了开高次方的一般方法,增乘开方法，是一个和高度机械化的和非常有效的算法，与现代通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。增乘开方法，可适用于开任意高次方。但贾宪本人没有认识到
20、这一点。另外直到贾宪时，中国数学家们所处理的方程系数都是正数。12世纪北宋学者刘益首先突破了系数必须为正的限制，并且也不再像以往那样要求首项系数为1。,“大衍求一术”为求得满足条件的乘率ki，秦九韶把奇数gi与定数ai辗转相除，相继得商数qi和余数ri，即 a i=q1 gi+r1,并可得到：c1=q1 g i=q2r1+r2,c2=q2c1+1 r1=q3r2+r3,c3=q3c2+c1 rn-2=qnrn-1+rn 秦九韶指出：当rn=1且n为偶数时，则最后所得cn 就是乘率ki；当rn=1，且n为奇数时，可将rn-1与rn相除后，形式上取qn+1=rn-11，那么余数rn+1仍为1，再做
21、cn+1=qn+1cn+cn-1，这时n+1为偶数，则cn+1就是所求ki，总之，当辗转相除得到余数1时，整个计算结束,2.4.2 秦九韶与中国剩余定理秦九韶（12021261）与数书九章 高次方程数值解法“正负开方术”（开10次方的问题）一次同余组解法“大衍总数术”（“衍”同“演”）,元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算法天元术（李冶）与四元术（朱世杰）高阶等差级数和公式沈括（约10311095）“隙积术”与二阶等差数列求和公式 数列：22，32，42，52，62，（1）该数列相邻项之差依次为 5，7，9，11，（2）显然（2）是一个公差为2的等差数列。今天（1）式被称为
22、一个二阶等差数列,杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”：1（12）（123）（123n）=n（n1）（n2）/6,2.4.3 方程与级数的研究,廉数是斜行上数的和上一斜行各数之和，等于下行短线所指的一个数,左边第二斜行为1，2，3，4，5，6，7，8，是公差为1一阶等差数列，它的前n项和（“茭草垛”公式）左边第三斜行为1，3，6，10，15，21，28，是二阶等差数列，它的前n项和为（“三角垛”公式）左边第四斜行为1，4，10，20，34，56，是三阶等差数列，它的前n项和为（“撤星形垛”公式）,朱世杰得到了p阶等差数列求和的一般公式，=,朱世杰的一般高阶等差级数公式及其应用 贾宪三角与等差级数公
23、式,“设日数为n，每日招兵数为(n+2)3,问第15日招兵多少？”解答中用到了四次内插公式：f(n)=n1+n(n1)2+n(n1)(n2)3+n(n1)(n2)(n3)4 其中f(n)表示第n日总共的招兵数，且其“四次差”分别为1=27，2=37，3=24，4=6。恰好是“古法七乘方图”中的各级数之和。朱世杰的发现表明，借助于高阶等差级数的研究结果，完全可以写出任意高次的招差公式。在欧洲，1670年英国天文学家格烈高里最先对招差法作了说明，牛顿在16761678年的著作中才出现了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。,招差术与等差级数和的关系,2.5.1 算法化特征“算术”与
24、算法化成果 算筹为中国数学发展提供了了技术工具，使中国在世界上最早采用了十进位值制记数法；使计算程序化和自动化 长期坚持走算法化的发展道路，限制了数学方法的流传和改进。影响了逻辑体系的发展，很难达到现代数学的发展水平,2.5.2 实用性思想 数学著作都以社会生产和生活实践中的问题为纲，这些问题基本按社会、生活领域进行分类，过分重实用，不利于抽象概念和命题的形成,2.5.3 政府控制的特征 中国传统数学始终置于政府控制之下，直接受制于统治阶级的意识形态和社会的需求,2.5 中国传统数学的特点,较早的形成国家数学教育体制 明代封建统治者的政策不利于数学发展,2.5.4 连续性特征 主要表现在以下几个方面：历代数学典籍体例的一致性数学的各分支发展的继承性计算工具使用的一贯性 不受外来数学文化的影响 英国现代著名学者李约瑟这样评述外域文化对中国的影响：“中国和它的西方邻国以及南方邻国之间的交往和反映，要比一向所认为的多得多，尽管如此，中国思想和文化模式的基本格调，却保持着明显的、从未间断的自发性。这是中国与世隔绝的真正涵义。过去，中国和外界是有接触的，但是，这种接触从来没有多到足以影响它所特有文化以及科学的格调。”,
