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1、数学文化与数学教育,1,杨庆生,数学文化与数学教育,数学文化与数学教育,2,文化,广义地讲：是指人类在历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和按照这样的理解就应把一切非自然的、也即由人类所创造的事物或对象都看成文化物，“文化性”即是明确肯定了相应事物或对象对于人类创造活动的直接依赖性。,数学文化与数学教育,3,数学文化,由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维事物的产物，因此，数学就是一种文化。在亚里士多德：数学对象就只是一种抽象的存在也即是人类抽象思维的产物。争论：数学对象看成一种不依赖于人类思维的独立存在（发现活动）还是人类抽象思维的产物（数学的发明创造）。数学家哈代：
2、我认为数学的实在存在于我们之外，我们的职责是发现它和遵循它，那些被我们所证明并被我们夸大为是我们发明的定理，其实仅仅是我们观察的记录而已。,数学文化与数学教育,4,数学文化,诺比尔奖活动者物理学家布里奇曼认为：只要稍微观察一下就能明白，数学是人类的创造物这一最纯粹的自明之理。卡纳斯与纽曼指出：非欧几何证明数学.是人亲手创造的，他仅仅服从思想法则所设定的限制。任何一种文化成分都是人类思维的产物，其相对于个个体来说却是由具有相当大的独立性，以致对各个个体来说，文化就像自然界一样构成了一种生存环境。,数学文化与数学教育,5,数学文化,文化的独立性与群体性：数学实在独立于个体意识而存在，却完全依赖于人
3、类意识；怀特：数学概念存在于文化之中，即存在于人类的行为和传统思想的主体之中。,数学文化与数学教育,6,数学文化,对数学文化的认识归根到底对数学本质的认识。对数学本质的认识是一个动态的认识过程,既随着数学的发展阶段而发展,也随着各个阶段人们的认识提高而深入。作为数学观的“过去时态”,我们先回顾一下历史上几位数学家、哲学家的见解。,数学文化与数学教育,7,阿尔布斯纳特约翰,阿尔布斯纳特约翰(Arbuthnot John)说:“数学是宗教的朋友,因为数学能唤起热情而抑制急躁,净化灵魂而使之杜绝偏见与错误。而且一个人如果要想超脱凡俗而与世隔绝,那么通过研究数学而去实现这一目的,显然是一条易获成效而又
4、理想之途径。”1(P31)数学是人们求真、求善、求美的殿堂。柏拉图有句名言:“几何把我们的灵魂引导到真理面前。”2(P187),数学文化与数学教育,8,大哲学家亚里士多德,大哲学家亚里士多德说:“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数学,但他们却把数学和哲学看作是相同的。”数学和辩证法一样,都是人类高级理性的体现。,数学文化与数学教育,9,波尔达斯德莫林斯,波尔达斯德莫林斯(BordasDemoulins)说:“没有数学,我们无法看透哲学的深度,没有哲学,人们也无法看透数学的深度,而若没有两者,人们就什么也看不透视。”1(P80)哲学在某种意义上说是望远镜,数学是显微镜,二者相得益彰。“哲学从一
5、门学科中退出,那就意味着这门科学的建立,而数学进入一门学科就意味着这门学科的成熟。”3(P27),数学文化与数学教育,10,数学即逻辑,罗素说:“逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑的壮年时代。”4(P30)数学的概念都可以借助逻辑概念给出,而数学定理都可以由逻辑公理原则推出,数学和逻辑是精密科学的两只眼睛。用两只眼睛去看世界,它比用一只看得更远、更清楚。数学无穷无尽的诱人之处在于它的最棘手的悖论能够开出美丽的理论之花。3(P9),数学文化与数学教育,11,A波雷尔说,A波雷尔说:“数学是一门艺术,因为它主要是思维的创造,靠才智取得进展,很多进展出自人类脑海深处,只有美学标准才是最后的鉴定者。”3
6、(P15)数学与艺术只是人类思维的不同框架,数学的抽象与艺术的抽象是从不同侧面观察事物,数学强调定量分析,艺术则偏重于定性感知,可见,数学是智慧与创造的艺术。,数学文化与数学教育,12,流派,美学派认为数学是静谧、深奥和典雅的音乐,数学语言和符号是理性的音符,数学追求美,也创造美,数学与艺术结合使美更加灿烂绚丽。创新说认为数学是不断创新的、无止境的,每一步创新都是对前人的否定,例如发现无理数,建立分数积分,创立非欧几何,无一不是如此。,数学文化与数学教育,13,数学的若干观点,过程说认为,数学是实验思维过程+归纳抽象思维过程+逻辑论证思维过程。除此而外,还可列举若干种观点:数学是最精密的科学,
7、数学是模式的科学;数学是一门高级语言;数学是一种活动;数学是一种关系;数学是人类的一种理性精神等等。,数学文化与数学教育,14,数学的认识,数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。恩格斯数学是研究数量关系和空间形式的科学 前苏联“数学的内容、方法、意义”数学是研究模式与秩序的科学。“2061”计划,数学文化与数学教育,15,数学的认识,数学是科学，数学是理论，数学是语言，数学是工具，数学是技术，数学是文化，数学是伙伴，,数学文化与数学教育,16,数学文化的若干观点,从数学哲学史上对数学本质的争论看,可归纳出三种观点:“数学是一门演绎科学”;“数学是一门拟经验科学”;数学是一门演算科学”5。以
8、上对数学的种种认识,都未显偏颇,各自从不同侧面揭示了数学形式的丰富多彩和数学内容的博大精深。,数学文化与数学教育,17,数学文化,数学是一种文化的观点,可以说是数学观的“现在时态”。美国数学家怀尔德(RLwilder)1981年从数学人类学的角度明确提出了“数学-一种文化体系”的数学哲学观,他的代表作是作为一种文化体系的数学。6(P247-248)怀尔德学说,导致了数学家甚至数学哲学家对数学文化的关注超过了对数学哲学研究的趋势。,数学文化与数学教育,18,数学与文化曾有过三次结合紧密的鼎盛时期,考察人类文明史,数学与文化曾有过三次结合紧密的鼎盛时期,第一次是毕达哥拉斯(Pythagoras)学
9、派为代表的古希腊时期;第二次是以达芬奇(Da Vinci)为代表的欧洲文艺复兴时期;第三次是20 世纪中叶以来,随着科学一体化,系统化即大科学时代的到来和全球文化讨论热,数学与文化的关系受到人们相当的关注。7,数学文化与数学教育,19,数学文化,如果据此把数学说成是一种文化,还未免有点牵强,我们必须从文化学和数学哲学等方面阐释论证。下面列举中国当前对数学文化研究有代表性的几种认识:,数学文化与数学教育,20,数学家齐民友先生,数学家齐民友先生从非欧几何产生的历史阐述了数学文化价值,指出了数学思维的文化意义。他说:“数学作为文化的一部分,其最根本的特征是它表达了一种探索精神。”8“数学作为文化的
10、一部分,其永恒的主题是认识宇宙,也认识人类自己,在这个探索过程中,数学把理性思维的力量发挥的淋漓尽致。它提供了一种思维的方法与模式,提供了一种最有力的工具,提供了一种思维合理性的标准,给人类思想解放打开了道路。”8 他深刻指出:“没有现代的数学就不会有现代的文化。没有现代数学的文化是注定要衰落的。”8“一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”8,数学文化与数学教育,21,张楚廷先生,张楚廷先生从广义文化学的角度阐释数学文化。一般地讲,“文化即人类创造的物质文明和精神文明。数学则既是人类精神文明又是物质文明的产物,尤其要关注到,数学是人类精神文明的硕果,数学不仅闪耀着人类智慧的光芒,
11、而且数学也最充分地体现了人类为真理而孜孜以求乃至奋不顾身的精神,以及对美和善的追求。”9 他指出把数学作为一种文化的数学教育功能是多方面的,它“不仅可以使人变得更富有(知识)、更聪明、而且还可以使人更高大、更高尚、变善、变美”。9,数学文化与数学教育,22,郑毓信先生,文化的概念即是与群体、传统等概念密切相关的。”10 郑毓信先生在他的论著数学文化学中阐述说:“由于在现代社会中数学家显然构成了一个特殊的群体(可称为数学共同体),并有着相对稳定的数学传统。”10 因此,我们也就可以在所论意义上说,数学是一种文化。也即是指数学家的“行为方式”,或者说,即是指特定的数学传统。他还指出:“数学作为文化
12、的特殊性在于数学对象的形式建构性与数学世界的无限丰富性和秩序性”。10 概括地说,历史性与整体性是文化体系的两个重要方面。,数学文化与数学教育,23,郑毓信先生,数学家的工作只是整个数学的一个部分，而且数学各部分之间的联系是十分重要的，数学的生命力就在于其各个部分的内在联系；在数学定理的发现过程中，逻辑与直觉构成了数学研究的双翼；数学家感受到数学的美，这其中数学美对其研究活动有着十分重要的影响；,数学文化与数学教育,24,数学文化,以上关于数学文化的三种解释,前两种倾向于强调数学文化发展的历史性,最后一种则强调了数学活动的整体性,数学共同体和数学传统正是表现了数学文化的整体性。他们都从不同层面
13、揭示了数学的文化本质。,数学文化与数学教育,25,数学文化,提出数学文化的概念,向人们昭示数学的文化本质,其意义在于数学具有广泛的社会意义和价值,诚如王梓坤先生所言:“数学的贡献对整个科学技术(尤其是高新技术)水平的推动和提高,对于科技人才的培养和滋润,对于经济建设的繁荣,对于全体人民的科学思维与文化素质的哺育这四个方面的作用是极为巨大的,也是其他科学所不能比拟的。”3,数学文化与数学教育,26,数学发展的内在力量,符号化抽象化一般化一体化多样化,数学文化与数学教育,27,各种辩证关系,抽象化与具体化一般化与特殊化多样化与一体化证明与反驳连续与间断,数学文化与数学教育,28,数学文化,“认识和
14、褒扬作为人类文化最重要部分的数学,以其在科学和社会中的运用,以其观念和推理方法所富有的力和美,以其对人类精神的丰富”。11,数学文化与数学教育,29,由以上论述看出,人们对数学本质的认识,从作为一种科学的数学,到作为一种哲学的数学,再到作为一种文化的数学,是随着数学特点,价值、作用、意义理解的逐步广泛而深入,数学文化理念对于探讨新时期数学素质教育提供了新的视角。数学教育理应作为文化教育一个专业受到社会和人们的高度重视。数学教育目标应是理性思维训练、实用知识技能、文化素养三维结构。数学素质教育应是个体具有数学文化各个层次的整体素养。,数学文化与数学教育,30,欧氏几何解析几何微积分非欧几何,过程
15、与意义,数学文化与数学教育,31,欧几里得的“几何原本”,欧几里得的“几何原本”(Euclid,约公元前330-前275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.从它刚问世起就受到人们的高度重视.在西方世界除了“圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比.自1482 年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本.在我国,明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6 卷,于1607 年出版.中译本书名为“几何原本”.,数学文化与数学教育,32,欧几里得的“几何原本”,徐光启曾对这部著作给以高度评价.他说:“此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改.有四不可得:欲脱之不
16、可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.有三至三能:似至晦,实至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而已.”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大.,数学文化与数学教育,33,欧几里得的“几何原本”的贡献,欧几里得的“几何原本”被称为数学家的圣经,在数学史,乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位.它在数学上的主要贡献是什么呢?1)成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构.2)对命题作了公理化演绎.从定义,公理,公设出发建立了几何学的逻辑体系,成为其后所有数学
17、的范本.3)几个世纪以来,已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段.4)演绎的思考首先出现在几何学中,而不是在代数学中,使几何具有更加重要的地位.,数学文化与数学教育,34,欧几里得的“几何原本”的贡献,这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生.我们还应当注意到,它的影响远远地超出了数学以外,而对整个人类文明都带来了巨大影响.它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理,更重要的是它孕育了一种理性精神.人类的任何其它创造都不可能像欧几里德的几百条证明那样,显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来的.这些大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量,从而增强了他们利用这种才能获
18、得成功的信心.受到这一成就的鼓舞,人们把理性运用于其它领域.神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里德的模式,来建立他们自己的理论.,数学文化与数学教育,35,希腊文化,古希腊的文化大约从公元前600 年延续到公元前300 年.古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论.他们所关心的并不是这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象推理,激发人们对理想与美的追求.因此,这个时代产生了后世很难超越的优美文学,极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕刻.那位断臂美人米洛的维纳斯(公元前4 世纪)是那个时代最好的代表,是至善至美象征.正是由于数学文化的发展,使得希腊社会具有现
19、代社会的一切胚胎.,数学文化与数学教育,36,希腊文化的贡献,古希腊对数学的主要贡献是,第一,对自然哲学的贡献.它留给我们一个坚强的信念:自然数是万物之母,即宇宙规律的核心是数学.这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来,并将它数量化.第二,对数学科学的贡献.他们将数和形抽象化,并坚持演绎证明.这样,数学科学诞生了.并由此它孕育了一种理性精神,这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域.第三,对数学内容的贡献.主要表现在以下三个方面:1)无理数的诞生引出了第一次数学危机,数学由此走上了公理化的道路.对数学的长远发展产生了深刻的影响.2)它给出一个样板欧几里得几何.这个样板的光辉照亮了人类
20、文化的每个角落;3)它研究了圆锥曲线,为日后天文学的研究和抛射体的研究奠定了基础.,数学文化与数学教育,37,欧几里得几何的影响,欧几里得几何是推理的典范,其特点是,以简驭繁,以少胜多.这本书成为后人模仿的样板.我们来举几个典型的例子.阿基米德不是通过用重物作实验,而是按欧几里得的方式,从“相等的生物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律.牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”.从三定律和万有引力定律出发,建立了他的力学体系.他的“自然哲学的数学原理”具有欧几里得式的结构.,数学文化与数学教育,38,欧几里得几何的影响,在马尔萨斯1789 年的“人口论”中,我们可以找到另一个例
21、子.马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型.他把下面两个公设作为他的人口学的出发点:人需要食品;人需要繁衍后代.他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型.这个模型简洁,有说服力,对各国的人口政策有巨大影响.,数学文化与数学教育,39,欧几里得几何的影响,令人惊奇的是,欧几里得的模式还推广到了政治学.美国的“独立宣言”是一个著名的例子.独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的.美国第三任总统杰斐逊(1743-1826)是这个宣言的主要起草人.他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑.”我们认为这些真理是不证自明的”不仅所有的直角都相等,而且“所有的人生来
22、都平等”.这些自明的真理包括,如果任何一届政府不服从这些先决条件,那么“人民就有权更换或废除它”.宣言主要部分的开头讲,英国国王乔治的政府没有满足上述条件.”因此,我们宣布,这些联合起来的殖民地是,而且按正当权力应该是,自由的和独立的国家.”顺便指出,杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术.,数学文化与数学教育,40,欧几里得几何的影响,相对论的诞生是另一个光辉的例子.相对论的公理只有两条:1)相对性原理,任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式;2)光速不变原理,对于一切惯性系,光在真空中都以确定的速度传播.爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论.,数学文化与数学教育
23、,41,欧几里得几何的影响,关于建立一个理论体系,爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步.第一步是发现公理,第二步是从公理推出结论.哪一步更难呢?他认为,如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练,那么他在第二步时,只要“相当勤奋和聪明,就一定能成功”.至于第一步,即找出所需要的公理,则具有完全不同的性质,这里没有一般的方法.爱因斯坦说:“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性,由此探求自然界的普遍原理.”实际上即是发现公理。,数学文化与数学教育,42,解析几何,解析几何的诞生是数学史上的另一个伟大的里程碑.他的创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何
24、的局限性表示不满:古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形.他们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和公式的约束,成为一种阻碍思想的技艺,而不是有益于发展思想的艺术.同时,他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未知量进行推理,代数学是一门潜在的方法科学.因此,把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来,可以取长补短.这样一来,一门新的科学诞生了.笛卡儿的理论以两个概念为基础:坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念.因此,解析几何是这样一个数学学科,它在采用坐标法的同时,运用代数方法来研究几何对象.,数学文化与数学教育,43,解析
25、几何的伟大意义,1)数学的研究方向发生了一次重大转折:古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学.2)以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学,为微积分的诞生奠定了基础.3)使代数和几何融合为一体,实现了几何图形的数字化,是数字化时代的先声.4)代数的几何化和几何的代数化,使人们摆脱了现实的束缚.它带来了认识新空间的需要.帮助人们从现实空间进入虚拟空间:从三维空间进入更高维的空间.,数学文化与数学教育,44,解析几何的伟大意义,解析几何中的代数语言具有意想不到的作用,因为它不需要从几何考虑也行.考虑方程x 2+y2=25我们知道,它是一个圆.圆的完美形状,对称性,无终点等都存在在哪
26、里呢?在方程之中!例如,(x,y)与(x,-y)对称,等等.代数取代了几何,思想取代了眼睛!在这个代数方程的性质中,我们能够找出几何中圆的所有性质.这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示,能够探索出更深层次的概念.那就是四维几何.,数学文化与数学教育,45,解析几何的伟大意义,我们为什么不能考虑下述方程呢?x2+y2+z 2+w2=25,以及形如x21+x22+x2n=25的方程呢?这是一个伟大的进步.仅仅靠类比,就从三维空间进入高维空间,从有形进入无形,从现实世界走向虚拟世界.这是何等奇妙的事情啊!用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程:道通天地有形外,思入风云变态中.,数学文
27、化与数学教育,46,解析几何的伟大意义,解析几何的诞生是新时代到来的序曲,但还不是新时代的开端.它对旧数学作了总结,使代数和几何融为一体,并引出变量的概念.变量,这是一个全新的概念,它为研究运动提供了基础.恩格斯说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了”.推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来,准备好这方面的思想,产生像牛顿、莱布尼兹、拉普拉斯这样一批能够开创未来,为科学活动提供方法,指出方向的领袖.,数学文化与数学教育,47,微积分,但也必须等待创立一个必不可少的工具微积分,没有微积分,推导宇宙定
28、律是不可能的.在17 世纪的天才们开发的所有知识宝库中,这一领域是最丰富的,微积分为创立许多新的学科提供了源泉.微积分是人类智力的伟大结晶.它给出一整套的科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强与加深了数学的作用.,数学文化与数学教育,48,微积分,恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里.”有了微积分,人类才有能力把握运动和过程.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会.航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果.数学一下子走到
29、了前台.数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了.,数学文化与数学教育,49,微积分的作用,1642 年1 月8 日,伽利略在宗教的迫害下,默默辞世.同年12 月25 日,一个孱弱的没有了父亲的早产儿诞生了,他就是牛顿.牛顿接过伽利略的事业继续前进.当初伽利略用数学化的语言描述自然界时,总是将运动限制在地球表面或附近.他的同时代人开卜勒得到了关于天体运动的三个数学定律.但是,科学的这两个分支似乎是独立的.找出它们之间的联系是对当时最伟大的科学家的挑战.,数学文化与数学教育,50,微积分的作用,在微积分的帮助下,万有引力定律发现了,牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用,以及地球
30、对它附近物体的作用.这就是说,伽利略和牛顿建立的这些定律描述了从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为.宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内.这是人类认识史上的一次空前飞跃,不仅具有伟大的科学意义,而且具有深远的社会影响.它强有力地证明了宇宙的数学设计,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学.,数学文化与数学教育,51,微积分的作用,在伽利略规划的指导下,借助微积分的工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出了天文学的领域.人们把声音当作空气分子的运动而进行研究,获得了著名的数学定律.胡克研究了物体的振动.波意耳、马略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压力和密度.范海尔蒙特
31、利用天平测量物质,迈出了近代化学中重要的一步.黑尔斯开始用定量的方法研究生理学.哈维利用定量的方法证明了流出心脏的血液在回到心脏前将在全身周流.定量研究也推广到了植物学.所有这些仅仅是一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动的开端.,数学文化与数学教育,52,微积分的作用,到18 世纪中叶,伽利略和牛顿研究自然的定量方法的无限优越性,已经完全确立了.著名哲学家康德说,自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结合的程度,数学成为打开知识大门的金钥匙,成为科学的皇后.1)理性精神是获取真理的最高源泉;2)数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段;3)每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律.特
32、别是哲学、宗教、政治经济、伦理和美学中的概念和结论都要重新定义,否则它们将与那个领域里的规律不相符合.,数学文化与数学教育,53,非欧几何,众所周知,欧几里得几何以五条公设为基础,(1)连接任何两点可以作一直线段.(2)一直线段可以沿两个方向无限延长而成为直线.(3)以任意点为中心,通过任意给定的另一点可以作一圆.(4)凡直角都相等.(5)如果在同一平面内,任一直线与另两直线相交,同一侧的两内角之和小于两直角,则这两直线无限延长必在这一侧相交.(5)等价于“过一直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线”.,数学文化与数学教育,54,非欧几何,这些公设的真理性不证自明,没有一位“神智健全”的人
33、胆敢对此表示怀疑,从如此坚实的基础出发,经过完美、严密的逻辑推理,产生出更多的定理,并为大家所接受.笛卡儿、牛顿的成功使这些定理的地位愈加巩固,在两千多年的应用中达到了光辉的顶点.人们毫不迟疑地得到这样的结论:欧氏几何是真理;真理就是欧氏几何.,数学文化与数学教育,55,非欧几何,但是,从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安,其中包括欧几里得本人.他们主要怀疑的是第五公设.因为只有第五公设涉及到无限,这是人们经验之外的东西.第五公设的研究在19 世纪导致对数学发展极其重要的一些结果.19 世纪上半叶,数学史上有两个很重要的转折,一个是1829年左右发现的双曲几何,一个是1843 年发现的非交换
34、代数.非欧几何的发现是人类思想史上的一个重大事件.著名数学家凯塞说.欧几里得的第五公设,“也许是科学史上最重要的一句话”.,数学文化与数学教育,56,非欧几何,由于平行公设的不同而带来了欧氐几何与非欧几何的一些本质不同.都有哪些不同呢,我们稍作介绍.例如,在罗巴切夫斯基的几何中三角形的内角和总小于180,半径无限大的圆周的极限不是直线,而是一种曲线,叫作极限圆.通过不在一条非欧直线上的三点,并不总能作一个非欧圆,而能做的或者是非欧圆,或者是极限圆,或者是等距线(即与一条非欧直线等距离的点组成的线).不存在面积任意大的非欧三角形.两个非欧三角形相似就全同.毕达哥拉斯定理不成立,等等.,数学文化与
35、数学教育,57,非欧几何,在黎曼的几何中,三角形的内角和总大于180.两个三角形,面积较大者具有较大的内角和,一条直线的所有垂线相交于一点,两条直线围成一个封闭区域.黎曼几何具有真实的意义吗?在这里答案是肯定的.如果将公理中的直线解释为球面上的大圆,黎曼几何的公理恰恰适用于球面上.球面上没有平行线,因为任何两个大圆都相交.事实上,它们不是相交一次,而是相交两次.另一个定理也容易推导出来:一条直线的所有垂线相交于一点.我们指出,黎曼几何的每一条定理都能在球面上得到令人满意的解释和意义.换言之,自然界的几何或实用的几何,在一般经验意义上来说,就是黎曼几何.,数学文化与数学教育,58,非欧几何,几千
36、年来,这种几何一直就在我们的脚下.但是,连最伟大的数学家也没有想过通过检验球的几何性质来攻击平行线公理.我们生活在非欧平面上,却把它当成一个怪物,真是咄咄怪事!非欧几何诞生的重要性与哥白尼的日心说,牛顿的引力定律,达尔文的进化论一样,对科学、哲学、宗教都产生了革命性的影响.,数学文化与数学教育,59,非欧几何的重要影响,1)非欧几何的创立使人们开始认识到,数学空间与物理空间之间有着本质的区别.但最初人们认为这两者是相同的.这种区别对理解1880 年以来的数学和科学的发展至关重要.2)非欧几何的创立扫荡了整个真理王国.在古代社会,像宗教一样,数学在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位.数学殿堂中汇集
37、了所有真理,欧几里得是殿堂中最高的神父.但是通过鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工作,这种信仰彻底被摧毁了.非欧几何诞生之前,每个时代都坚信存在着绝对真理,数学就是一个典范.现在希望破灭了!欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结.,数学文化与数学教育,60,非欧几何的重要影响,3)真理性的丧失,解决了关于数学自身本质这一古老问题.数学是像高山、大海一样独立于人而存在,还是完全人的创造物呢?答案是,数学确实是人的思想产物,而不是独立于人的永恒世界的东西.4)非欧几何的创立使数学丧失了真理性,但却使数学获得了自由.数学家能够而且应该探索任何可能的问题,探索任何可能的公理体系,只要这种研究具有一定的
38、意义.,数学文化与数学教育,61,非欧几何的重要影响,非欧几何在思想史上具有无可比拟的重要性.它使逻辑思维发展到了顶峰.为数学提供了一个不受实用性左右,只受抽象思想和逻辑思维支配的范例,提供了一个理性的智慧拚弃感觉经验的范例.最后,需要指出,数学与人类文明的联系是多方面、多层次的.数学与哲学、文学、建筑、音乐、绘画也都有深刻的联系,这里不再叙述.计算机诞生后,数学与其它文化的联系更加深入和广泛.可以毫无愧言地说,信息时代就是数学时代.联合国科教文组织在1992年发表了里约热内卢宣言,将2000 年定为数学年,并指出,“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”.,数学文化与数学教育,
39、62,理性的力量,数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量.数学不仅在科学推理中具有重要的价值,在科学研究中起着核心的作用,在工程设计中必不可少.而且,在西方,数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构造了诸多宗教教义,为政治学和经济学提供了依据,塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格,创立了逻辑学.作为理性的化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域,并成为其思想和行动的指南.,数学文化与数学教育,63,理性的力量,人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影:哥白尼的日心说,牛顿的万有引力定律,无线电波的发现,三权分立的政治结构,一夫一妻的婚姻制度,爱因斯坦的相对
40、论,孟德尔的遗传学,巴贝奇的计算机,马尔萨斯的人口论,达尔文的进化论,达芬奇的绘画,巴赫的12 平均率,晶体结构的确定,双螺旋疑结的打开等都与数学思想有密切联系.,数学文化与数学教育,64,数学有三个层面,作为理论思维的数学;作为技术应用的数学;作为文化修养的数学.这三个层次对不同的人有不同的含义和不同的用场.从事数学研究的人,以理论层面为主,强调归纳与演绎.从事工程的人以技术层面为主,强调应用与计算.从事人文科学的人以文化层面为主,强调数学与其他学科的联系,强调数学在人类文明中的作用.,数学文化与数学教育,65,数学教育的价值,教育的本质是培养学生运用知识的艺术,教育的中心问题是如何使知识保
41、持活力,使学生在知识增加的同时,智力获得同步增长.这就是古人讲的“积学以储宝,酌理以富才”.教师应当是思想活跃的“活人”,而不是被书本牵着走的机器.传授知识是课程的目标之一,但课程还有更重要的目标开发智力,增加智慧.没有知识作基础,人不可能聪明;但有很多知识也可以不聪明,智慧是掌握知识的方法.教育与工厂不同,工厂处理死的物质,教育是开发人的心智.怀特海说:“把人当作工具是教育理论中最致命、最危险、最错误的概念之一.”,数学文化与数学教育,66,科学、应用和艺术真善美,一个完整的素质教育统选课应包含三个方面:科学、应用和艺术.科学在于求真,培养学生追求真理的勇气,求实的精神和严密的逻辑思维能力和
42、创新的能力.应用在于培养学生活用知识的能力,使他们能在自己的专业中使用数学的思想和方法,掌握量的思维方式.艺术的作用在于培养学生的想象力、审美力和创造力,并使学生拥有丰富的个性.,数学文化与数学教育,67,数学的教育价值,首先,数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质.例如,建立数学模型的过程就是一个科学抽象的过程.它要求人们善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边,抽出主要因素、主要关系和主要过程,而后化为一个数学问题.这种方法可以用于数学以外.此外,数学的抽象性使得数学问题的解决伴随着困难.在解决数学问题的过程中,使学生体验到挫折和失败,而这正是砥砺意志打磨心理品质的绝好时机.
43、愈挫愈奋,百折不挠的良好心理素质不会在温室中形成.如果学生在学校里没有尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐,那么数学教育就在一个重要的地方失败了.,数学文化与数学教育,68,数学的教育价值,其次,数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性.爱因斯坦说:“为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重?一个理由是,它的命题是绝对可靠的和无可争辩的,而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的,并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.数学之所以有高声誉,还有一个理由,那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性,没有数学,这些科学是达不到这种可靠性的.”,数学文化与数学教育,69,数学的教育价值,数学的严密性和精
44、确性可以使学生在将来的工作中减少随意性.英国律师至今要在大学中学习许多数学知识,并不是律师工作要多少数学,而是出于这样一种考虑:经过严格的数学训练可以使人养成一种独立思考而又客观公正的办事风格和严谨的学术品格.数学教育是培养学生诚信观念的重要渠道之一.在数学课上形成的诚信观是持久的,根深蒂固的.前苏联的数学家辛钦说:“数学教学一定会慢慢地培养青年人树立起一系列具有道德色彩的特性,这种特性中包括正直和诚实.”,数学文化与数学教育,70,数学的教育价值,再次,数学是思想的体操.进行数学推导和演算是锻炼思维的智力操.这种锻炼能够增强思维本领,提高抽象能力、逻辑推理能力和辨证思维能力,培养思维的灵活性
45、和批判性.思维的灵活性表现在不受思维定式的束缚,能迅速地调整思维方向,善于从旧的或传统的思维轨道上跳出来,另辟蹊径.数学中的一题多解是培养思维灵活性的有效途径.思维的批判性指,对论证和解答提出自己的看法.数学中常用的反证法和构造反例是思维批判性的具体表现.数学不仅仅是一种工具,它更是一个人必备的素养.它会影响一个人的言行、思维方式等各个方面.,数学文化与数学教育,71,数学的教育价值,一个人,如果他不是以数学为终生职业,那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题,解题有多快,数学能考多少分,关键在于他是否真正领会了数学的思想,数学的精神,是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中去.日本的米山国
46、藏说:“我搞了多年的数学教育,发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入了社会后,几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学,所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了.然而,不管他们从事什么业务工作,惟有深深铭刻于头脑中的数学精神,数学的思维方法、研究方法和着眼点等,都随时随地发生作用,使他们受益终生.”,数学文化与数学教育,72,数学的教育价值,自然科学作为“关于自然现象的有条理的知识”,作为“对于表达自然现象的各种概念之间的关系的理性研究”,数学为此提供了不可或缺的方法、语言、基础;同样地,社会科学的数学化至少包括以下几个方面:“一是在研究方法和手段上,能够成功地应用数学理论和数学方法;二
47、是在认识和思维方式上,更多的采用数学的观点和数学的态度去审视各种社会现象,考察社会问题,揭示社会科学研究对象的本质;三是社会科学研究应从数学及其相关研究,特别是从数学哲学、数学文化中吸取有益的养料,这主要是社会科学思想的数学化;四是社会科学的数学化并不排斥、拒绝或替代必要的定性研究,而是与之有机的结合起来”1.,数学文化与数学教育,73,数学文化的教育价值,这里仅举一例:美国专家道恩斯教授从浩瀚的书海中,选择了从文艺复兴到20 世纪中期出版的16 本自然科学和社会科学方面的专著,并被定名为“改变世界的书”,其中就有10 本直接应用了数学,它们是:天体运行(哥白尼)、血液循环(哈维)、自然哲学的
48、数学原理(牛顿)、物种起源(达尔文)、相对论原理(爱因斯坦)、常识(潘恩)、国富论(亚当、斯密)、人口论(马尔萨斯)、资本论(马克思)、论制海船(马汉);如果从间接应用数学来讲,这16 本书无一例外.,数学文化与数学教育,74,数学文化的教育价值,能够教会育种学家如何最有效地进行试验”,还“能够因地、因人、因季节安排好最佳的程序,使得土地得到最有效的利用,产出最大的收获”2;欧洲为加强数学与工业的联系,成立了“欧洲工业数学联合会”,曾在一篇报告中列举了欧洲工业中提出的20 个数学问题,其中包括:齿轮设计、冷扎钢板的焊接、海堤安全高度的计算、密码问题、自动生产线的设计、化工中定常态的决定、连续铸
49、造的控制、霜冻起伏的预测、发动机中汽轮机构件的排列、电化学绘图等等;,数学文化与数学教育,75,数学文化的教育价值,数学在军事中的应用更加显著,正如人们所说:第一次世界大战是化学战(火药),第二次是物理战(原子弹),海湾战争是数学战.可见,无数事实都在表明,无论在以锄头为代表的农耕文明社会里,还是在以大机器流水作业为代表的工业文明时期,尤其是以计算机为代表的信息文明时代,数学都是深层次的动力,其作用一次比一次明显与强大.,数学文化与数学教育,76,数学文化的教育价值,持有不同的数学价值观,将在数学内容的选择和数学水平的要求上是不同的 强调数学的思维训练价值,就可能更加强调本质的(相对于现象的)
50、、科学的(相对于日常的)、抽象的(相对于具体的)系统的(相对于零散的)、理论的(相对于经验的)、理性的(相对于感性的)、学术性的(相对于实用性的)知识;强调数学的思想方法,尤其是结构化、公理化以及数学计算、概括、抽象、推理证明,而且要有一定的难度;重视知识的智力价值,以及迁移功能,等等.显然,如果强调数学的应用价值,数学课程(教材)就会使用大量的实际问题,减少证明、削弱推理等.,数学文化与数学教育,77,数学文化的教育价值,新的数学课程改革似乎更加强调:(1)数学在人们社会生活和社会生产中的实用价值;(2)数学(课程)教育对人的情感与态度发展的重大意义.我们并不否认数学对人的非理性的培养价值,
