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1、第十一章 无穷级数,从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用,本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：级数的收敛性判定问题，把已知函数表示成级数问题，级数求和问题。,重点,级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；,难点,常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，Fourier 展开，级数求和；,基本要求,掌握级数敛散性概念和性质,
2、掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法,掌握交错级数的Leibniz审敛法,掌握绝对收敛和条件收敛概念,掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数,熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及其收敛半径,掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形式的Fourier 系数,掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数,一、问题的提出,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1.级数的定义:,一般项,(常数项)无穷级数,级数的部分和,部分和数列,2.级数的收敛与发散:,余项,无
3、穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,第 次分叉：,周长为,面积为,于是有,雪花的面积存在极限（收敛）,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,三、基本性质,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,若记,则加括号后级数成为,的部分和记为,则,由数列和子数列的关系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收敛的必要条件,级数收敛的必要条件:,证明,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,2项,2项,4项,8项,项,由性质4推论,调和级数发散.,由定积分的几何意义,这块面积显然大于定积分,就是图中 n 个矩形的面积之和,即,故调和级数发散,调和级数的部分和,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,1,2,3,4,5,练习题,练习题答案,
