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1、离散型随机变量,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1,x2,.,为了描述随机变量 X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,一、离散型随机变量概率分布的定义,一般地，我们给出如下定义:,其中(k=1,2,)满足：,（2）,用这两条性质判断一个函数是否是概率函数,解:依据概率函数的性质:,a0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,二、表示方法,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,X,三、举例,例3
2、.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解：X可取0、1、2为值,P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,常常表示为：,这就是X的概率分布.,例4.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.,解:显然，X 可能取的值是1,2,，,P(X=1)=P(A1)=p,为计算 P(X=k)，k=1,2,，,Ak=第k发命中，k=1,2,，,设,于是,可见,这就是求所需射
3、击发数X的概率函数.,P(X=1)=P(A1)=p,Ak=第k发命中，k=1,2,，,设,于是,若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.,不难验证:,例5.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.,解:依题意,X可取值0,1,2,3.,P(X=0)=P(A1)=1/2,路口1,路口2,路口3,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,即,不难看到,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,解：每个分子的运动是相互独立的
4、，在左边还是右边是等可能的,概率都是0.5.,例6.N个可以辨认的分子，在一容器内自由运动，如今从中隔开，观察左边分子的个数，试求其概率分布.,设左边分子的个数为X，,我们来求X取每个值的概率.,X可取0,1,N为值，,设左边分子的个数为X，,P(X=k)=,k=0,1,N,X可取0,1,N为值，,共N个分子,某固定k个分子在左端，其余N-k个分子在右端的概率是,(0.5)k(0.5)N-k,左端有k个分子的所有情况数为从N个不同元素中取k个的组合，即 种.,于是,只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率.,可以验证：,例7.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每
5、出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元.设每天出租汽车数 X是一个随机变量，它的概率分布如下：,求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.,分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元.,每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入为3 X元.,每天加油站要多付给职工服务费60元，即当天的额外支出费用.,因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：,P3X60,即 PX20,注意到,也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.,PX20=PX=30+PX=40=0.6,二 常见离散型随机变量 的分布律,设随机变量
6、 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为,则称 X 服从(01)分布或两点分布.,1.两点分布,例：从全国的新生儿中随机抽取一个，记录其性别值Y(0表示男，1表示女)，则Y服从01分布。PY=0表示男孩的概率。,将试验 E 重复进行 n 次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这 n 次试验是相互独立的,或称为 n 次重复独立试验.,(1)重复独立试验,2.二项分布,(2)n 重伯努利试验,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.,(3
7、)二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布的图形,例8 已知一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率。解：不放回抽样，因元件数量大，抽取数目小，可以作放回抽样处理。设20只元件的一级品数为X,则X b(20,0.2),图示概率分布,3 泊松分布(PoissonDistribution),泊松分布的图形,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数
8、X 服从泊松分布.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,小结,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说,这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.,离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.,下一讲，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量-连续型随机变量的描述方法.,有趣的幻方,幻方
9、起源于我国，相传，远古时有神龟浮现于洛水，背上有按规律排布的花点，谓之洛书，后世人称九宫图，杨辉称九宫图以及由此而演生的类似数表为纵横图。此后，我国陆续有一些数学家，编制出了行列更多的纵横图。传至欧洲后，也引起了人们极大的兴趣，进而又不局限于方阵排列，出现了排列于圆、三角形等图形上的数字排布图。但这些都是作为一种益智游戏而进行研究的。近代，一些学者深入研究了幻方的编造原理和其中蕴涵的数学关系，当在电子计算机、图论等方面有了一些应用之后，更引起了人们的注意，成为组合数学的研究内容。,有趣的幻方,发现我的奇妙了吗?6174,练习：为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,练习题答案,12,3 设三边长x,y,l-x-y,则能构成三角形的充要条件为,-x-y，,
