概率论与数理统计课件(第3-5章).ppt

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1、二维随机变量及其分布,第三章,二维随机变量及其联合分布,边缘分布与独立性,两个随机变量的函数的分布,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（X，Y）为上的一个二维随机变

2、量。,定义,二维随机变量,二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点,二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.,定义,称为二维随机变量的联合分布函数,性质,(3),P（x1 X x2，y1 Y y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),联合分布函数表示矩形域概率,P（x1 X x2，y1 Y y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),二维离散型随机变量,若二维 随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,如何反映（X，Y）的取值规律呢

3、？,定义,研究问题,联想一维离散型随机变量的分布律。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式（常见形式）,性质,的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).,，(1/3)(2/2)1/3，(2/3)(1/2)1/3，=(2/3)(1/2)1/3，,例,解,见书P69，习题1,的可能取值为,例,解,(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）,（X，Y）的联合分布律为,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,

4、二维连续型随机变量的联合概率密度,定义,联合概率密度函数的性质,非负性,几何解释,.,.,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,设二维随机变量,的概率密度为,(1)确定常数 k；,；,.,(4)求,例,(1),所以,解,(2),当 时，,当 时，,所以，,(3),或解,(4),解,续解.,x+y=3,1,解答,二维均匀分布,思考 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）,解（X,Y）的密度函数为,（1）当 时，,分布函数为,（2）当 时，,（3）当 时，,所以，所求的分布函数为,-1/2,二维正态分布,边缘分布,随

5、机变量的相互独立性,边缘分布 marginal distribution,二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,边缘分布 marginal distribution,设二维随机变量 的分布函数为，,二维离散型R.v.的边缘分布,如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,即,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,第j列之和,第i行之和,二维离散型

6、R.v.的边缘分布,例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,求关于X、Y的边缘分布,关于Y的边缘分布,解 关于X的边缘分布为,（X，Y）的联合分布列,二维连续型随机变量的边缘分布,关于X的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,例2 设（X,Y）的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数,解,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,解,所以，关于X的边缘分布密度为,所以，关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,边缘分布密度和概率的计算,例3,设（X,Y)的联合分布密度为,（1）求k值,(2)求关于X和Y的边缘密度,（3）求概率P(X+Y1/2),(2

7、),均匀分布,解,得,当 时,当 时,所以，关于X的边缘分布密度函数为,续解.,解,当 时,当 时,所以，关于Y的边缘分布密度函数为,解（3）,见课本P59例3,如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布,则两个边缘分布分别服从正态分布,与相关系数 无关,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,解 关于X的分布密度函数为,所以，,同理可得,不同的联合分布，可有相同的边缘分布。,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,随机变量的相互独立性,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别

8、为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.,在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,设（X，Y）的概率分布（律）为,证明：X、Y相互独立。,例1,逐个验证等式,证 X与Y的边缘分布律分别为,X、Y相互独立,例2 设（X，Y)的概率密度为,求(1)P（0X1，0Y1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。,解 设A=（x，y）：0 x1

9、，0y1）,边缘密度函数分别为,当 时,当 时,所以，,同理可得,所以 X 与 Y 相互独立。,例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。,解（X,Y）的密度函数为,当 时，,所以，关于X的边缘分布密度为,关于X的边缘分布密度为,当 或 时,当 时，,所以，关于Y的边缘分布密度为,关于Y的边缘分布密度为,当 或 时,所以,所以，X与Y不独立。,例4,时,解,于是,同理,所以,即 X 与 Y 独立。,时,二维随机变量的函数的分布,二维随机变量的函数的分布,的分布函数,问题：如何确定随机变量Z的分布呢？,二维

10、离散型随机变量的函数的分布,则 是一维的离散型随机变量,其分布列为,例 设 的联合分布列为,分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列,解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列为,二维连续型随机变量的函数的分布,则 是一维的连续型随机变量,其分布函数为,是二元连续函数，,其分布密度函数为,解,解,所求分布函数为,分布密度函数为,两个随机变量的和的分布,见课本P67例1,如果（X，Y）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为,或,特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式,或,记 住 结 论！,两个独立随机变量的和的分布,如果X与Y相互

11、独立,例 证明：如果X与Y相互独立，且XB（n,p），YB（m,p），则X+YB（n+m,p）,证明 X+Y所有可能取值为 0，1，,m+n.,证毕,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,方差,*协方差与相关系数,大数定律与中心极限定理,数学期望的引例,Mathematical Expectation,例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为,以频率为权重的加权平均,数学期望E(X),Mathematical Expectation,定义 设离散型随机变量的概率分布为,离散型随机变量,随机变量X的数学期望，记作E（X），即,数学期望的计算,已知随机变

12、量X的分布律：,例,求数学期望E（X）,解,连续型随机变量的数学期望E(X),连续型随机变量,定义,设连续型随机变量X的概率密度为 f(x),则,即,数学期望的计算,已知随机变量X的密度函数为,例,求数学期望。,解,数学期望的意义,试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 在E(X)附近摆动,数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，均值(Mean),E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相应概率的加权平均。,二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(X,Y)为二维离散型随机变量,(X,Y)为二维连续型随机变量,(1)求k,(2)求X和Y的边缘密度,(3

13、)求E(X),E(Y).,(1)由,解,所以,所以,得,（）,时,（）另解,无需求边缘分布密度函数,随机变量的函数的数学期望,定理 1：一维情形,离散型,连续型,概率密度为,因为,所以,例,解,随机变量的函数的数学期望,定理 2：二维情形,联合概率密度为,连续型,离散型,例 设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为,求E（XY）,解,数学期望的性质,.,.,设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).,练一练,答案：,0-1分布的数学期望,X服从0-1分布，其概率分布为,P(X=1)=p,P(

14、X=0)=1-p,若X 服从参数为 p 的0-1分布，则E(X)=p,分布律,数学期望,If XB(n,p),then E(X)=np,二项分布的数学期望,分布律,X服从二项分布，其概率分布为,数学期望,其中,则,泊松分布的数学期望,If,then,分布律,数学期望,均匀分布的期望,分布密度,数学期望,X N(，2）,正态分布的期望,分布密度,数学期望,指数分布的期望,分布密度,数学期望,数学期望在医学上的一个应用,An application of Expected Value in Medicine,考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合

15、起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？,分析：,设随机抽取的10人组所需的化验次数为X,我们需要计算X的数学期望，然后与10比较,化验次数X的可能取值为1，11,先求出化验次数X的分布律。,(X=1)=“10人都是阴性”,（X=11)=“至少1人阳性”,结论：,分组化验法的次数少于逐一化验法的次数,注意求 X期望值的步骤！,1、概率p对是否分组的影响,问题的进一步讨论,若p=0.2，则,当p0

16、.2057时，E(X)10,2、概率p对每组人数n的影响,当p=0.2时，可得出n10.32，才能保证EX10.,当p=0.1时，为使,例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1+p2,设产生故障的仪器数目为X,则X的所有可能取值为0，1,解,所以,方差大数定律中心极限定理,方 差 的 引 入,E(X1)=5,E(X2)=5,设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：,两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。,方差（Variance）的定义,定义,均方差（标准差）,设 是一随机变量

17、，如果 存在，则称为 的方差，记作 或,即,方差的计算公式,Proof.,一维随机变量的方差,设离散型随机变量X的概率分布为,离散型,连续型,设连续型随机变量X的分布密度为 f(x),其中,方 差 的 计算,E(X1)=5,E(X2)=5,例 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：,求D(X1),D(X2),解,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,二项分布的方差,If X B(n,p),then D(X)=n p(1-p),分布律,方差,X B(n,p),其中,推导？,泊松分布的方差,分布律,方差,推导？,均匀分布的方差,分布密度,方差,正态分布的方差,分布密度,方差,指数分布的方差,分布

18、密度,方差,常见分布及其期望和方差列表P84,分布名称 数学期望E（X）方差D（X）,0-1分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布,方差的计算步骤,Step 1:计算期望 E(X),Step 2:计算 E(X2),Step 3:计算 D(X),离散型,连续型,离散型,连续型,方差的性质,证明,二维随机变量的方差,(X,Y)为二维离散型随机变量,二维随机变量的方差,(X,Y)为二维连续型随机变量,求,.,练一练,解 因为 相互独立，所以,而,所以,例 某地出产的某品种的苹果的总量X服从正态分布。若E(X)=148,D(X)=162.写出X的分布律和概率密度，并用积分表示,解,若随

19、机变量X服从均值为2，方差为2的正态分布，且P2X4=0.3,求PX0。,练一练,所以,解,若随机变量X服从均值为2，方差为2的正态分布，且P2X4=0.3,求PX0。,练一练,所以,得,所以,例 已知一批玉米种子的发芽率是75，播种时每穴种三粒，求每穴发芽种子粒数的数学期望、方差及均方差.,.,设发芽种子数为 X，则 X 服从二项分布，且,解,设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中的概率为0.4，求 X 的数学期望。,练一练,所以,所以这种动物的平均寿命为10年，标准差为10年.,解,练一练,设随机变量X服从参数为1的指数分布，求,解 X的密度函数为,练一练,设随机变量X服从

20、参数为1的指数分布，求,所以,而,所以,解 X的密度函数为,练一练,设随机变量X服从参数为1的指数分布，求,所以,证毕,证明,证毕,证明,大数定律中心极限定理,大 数 定 律,在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性,大量的随机现象的平均结果具有稳定性,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number),切比雪夫（Chebyshev)不等式,设随机变量X具有有限数学期望EX和方差DX，则对于任意正数，如下不等式成立。,切比雪夫不等式,证明 设X为连续型随机变量，其密度函数为,则,证毕,切比雪夫（Chebyshev)不等式的应用,

21、在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。,例 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。,解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则,则,而,所以,练一练,设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率,练习 设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率,解,样本平均数稳定性定理,定理 设随机变量X1，X2，Xn，相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望 及方差，则对于任意正数，恒有,观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时，

22、“观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。,即,依概率收敛于,即n充分大时，,辛钦大数定理,伯努利大数定理（频率的稳定性）,定理 设 是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有,定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率,中心极限定理（Central limit theoem),客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。,概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分

23、布的一系列定理称为中心极限定理。,独立同分布的中心极限定理,设随机变量X1，X2，Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望 和方差，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式,定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和 近似地服从正态分布,例 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。,解 设部件的总长度为X，每部分的长度为 Xi（i=1,2,10)，则,由定理4.5可

24、知：X近似地服从正态分布,即,续解 则产品合格的概率为,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,(De Moivre-Laplace),定理 设随机变量 服从二项分布，则对于任意区间，恒有,二项分布的极限分布是正态分布,例 现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？,解 设取出的种子中的良种粒数为X，则,所求概率为,续例 种子中良种占1/6，我们有99%的把握断定在6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围？,解 设良种数为X，则,设良种所占比例与1/6的差值为，则依题意有,查表得,此时有,

25、即,解 设100根木材中长度不短于3米的根数为X，则,有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中任取100根，试求其中至少有30根短于3米的概率。,练习,所求概率为,作业 习题四 21、29、30预习 第五章之1、2节,数 理 统 计 部分,第五章,样本与统计量,引 言,随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。,概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知是基础上得出来的。,但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。,

26、引 言,例如：,某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；,电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；,产品是否合格服从两点分布，但参数合格率p是未知的；,数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合理的推断。,从第五章开始，我们学习数理统计的基础知识。数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推断.数理统计所包含的内容十分丰富，本书介绍其中的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.第五章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。,学习的基本内容,样本与统

27、计量,总体与样本,在数理统计中，把研究对象的全体称为总体（population)或母体，而把组成总体的每个单元称为个体。,抽样,要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽样。,样本与统计量,子样,子样 是n个随机变量，抽取之后的观测数据 称为样本值或子样观察值。,在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进行一次随机试验，每次抽取的n个个体，称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。,随机抽样方法的基本要求,独立性即每次抽样的结果既不影响其余各次抽样的 结果，也不受其它各次抽样结果的影响。,满

28、足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.,代表性即子样()的每个分量 与总体 具有相同的概率分布。,从简单随机子样的含义可知，样本 是来自总体、与总体 具有相同分布的随机变量.,简单随机抽样,例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则这是一个简单随机抽样。,但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单随机抽样。,统计量,定义 设（）为总体X的一个样本，为不含任何未知参数的连续函数，则称 为样本（）的一个统计量。,则,例如：设 是从正态总体 中抽取的一个样本，其

29、中 为已知参数,为未知参数，,是统计量,不是统计量,几个常用的统计量,样本均值（sample mean),设 是总体 的一个样本，,样本方差(sample variance),样本均方差或标准差,它们的观测值用相应的小写字母表示.反映总体X取值的平均，或反映总体X取值的离散程度。,几个常用的统计量,设 是总体 的一个样本，,子样的K阶（原点）矩,几个常用的统计量,设 是总体 的一个样本，,子样的K阶中心矩,它包括两个方面数据整理 计算样本特征数,数据的简单处理,为了研究随机现象，首要的工作是收集原始数据.一般通过抽样调查或试验得到的数据往往是杂乱无章的，需要通过整理后才能显示出它们的分布状况。

30、,数据的简单处理是以一种直观明了方式加工数据。,计算样本特征数：,数据的简单处理,（1）反映趋势的特征数,样本均值,中位数：数据按大小顺序排列后，位置居中的那个数 或居中的两个数的平均数。,众数：样本中出现最多的那个数。,数据的简单处理,（2）反映分散程度的特征数：极差、四分位差,极差样本数据中最大值与最小值之差，,四分位数将样本数据依概率分为四等份的3个数椐，依次称为第一、第二、第三四分位数。,第一四分位数Q1：,第二四分位数Q2：,第三四分位数Q3：,例1 为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位：厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直

31、方图，求随机变量X的分布状况。87 88111 91 73 70 92 98105 94 99 91 98110 98 97 90 83 92 88 86 94102 99 89104 94 94 92 96 87 94 92 86102 88 75 90 90 80 84 91 82 94 99102 91 96 94 94 85 88 80 83 81 69 95 80 97 92 96109 91 80 80 94102 80 86 91 90 83 84 91 87 95 76 90 91 77103 89 88 85 95 92104 92 95 83 86 81 86 91 89

32、83 96 86 75 92,第一整理原始数据，加工为分组资料，作出频率分布表，画直方图，提取样本分布特征的信息.步骤如下：,1.找出数据中最小值m=69，最大值M=111，极差为 Mm=42,2.数据分组，根据样本容量n的大小，决定分组数k。,一般规律 30n40 5k6 40n60 6k8 60n100 8k10 100n500 10k20,数据分组数参考表,一般采取等距分组（也可以不等距分组），组距等于比极差除以组数略大的测量单位的整数倍。,本例取k=9.,本例测量单位为1厘米，组距为,3确定组限和组中点值。,注意：组的上限与下限应比数据多一位小数。,当取a=67.5，b=112.49（

33、a略小于m，b略大于M，且a和b都比数据多一位小数），分组如下：,一般根据算式：各组中点值 组距=组的上限或下限,67.5,72.5)72.5,77.5)77.5,82.5)82.5,87.5)87.5,92.5)92.5,97.5)97.5,102.5)102.5,107.5)107.5,112.5),组中值分别为：70 75 80 85 90 95 100 105 110,4将数据分组，计算出各组频数，作频数、频率分布表,作频率直方图,5.作出频率直方图,以样本值为横坐标，频率/组距为纵坐标；,以分组区间为底，以 为高,从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比较少，而中间附近的数据比较

34、多，即中间大两头小的分布趋势，随机变量分布状况的最粗略的信息。,在频率直方图中，每个矩形面积恰好等于样本值落在该矩形对应的分组区间内的频率，即,频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的分布状况。,样本方差 样本标准差 Q1 Q3 极差 四分位差 68.6909 8.288 85.25 95 42 4.875,第二计算样本特征数,1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等,样本均值MEAN 中位数MEDIAN 众数,2.反映分散程度的特征数：样本方差、样本标准差、极差、四分位差等,上述差异特征统计量的值越小，表示离散程度越小.,MTB

35、set c1DATA 87 88 111 91 73 70 92 98 105 94 99 91 98 DATA 110 98 97 83 90 83 92 88 86 94 102 99 89 104 DATA 94 94 92 96 87 94 92 86 102 88 75 90 90 80 DATA 84 91 82 94 99 102 91 96 94 94 85 88 80 83 DATA 81 69 95 80 97 92 96 109 91 80 80 94 102 DATA 80 86 91 90 83 84 91 87 95 76 90 91 77 103DATA 89 8

36、8 85 95 92 104 92 95 83 86 81 86 91 89 83 DATA 96 86 75 92MTB endMTB describe c1,例1 DOS状态下的MINITAB操作,显示：N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV C1 100 90.300 91.000 90.322 8.288 SEMEAN MIN MAX Q1 Q3 C1 0.829 69.000 111.000 85.250 95.000,中位数,第一四分位数,第三四分位数,MTBCODE(67.5:72.49)70(72.5:77.49)75(77.5:82.49)80(82.5:87.

37、49)85(87.5:92.49)90(92.5:97.49)95(97.5:102.49)100(102.5:107.49)105(107.5:112.49)110 C1 C2MTBTALLY C2;SUBCALL.,将C1数据列重新编码，并保存到C2数据列,显示各列数据的频数、累计频数、频率、累计频率,C2 COUNTS CUMCNTS PERCENTS CUMPCENTS（频数）（累计频数）（频率）（累计频率）1 2 0.02 0.02 5 7 0.05 0.07 10 17 0.10 0.17 18 35 0.18 0.35 30 65 0.30 0.65 18 83 0.18 0.8

38、3 10 93 0.10 0.93 4 97 0.04 0.97 3 100 0.03 1.00,显示结果,作业 习题五 P111 2；3；4预习 第三节 统计量的分布,统计量的分布,统计量 是样本 的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量,统计量的分布称为抽样分布。,由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布.,由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有关结论，以供应用.,正态总体样本均值的分布,设总体，是 的一个样本,则样本均值服从正态分布,U分布,概率分布的分位数(分位点),如图.,PXx=,双侧 分位数或双侧临界值的特例,当X的分布关于

39、y轴对称时，,则称 为X分布的双侧分位数或双侧临界值.,如图.,若存在 使,U分布的上侧分位数,对标准正态分布变量UN(0,1)和给定的，上侧分位数是由：,PUu=,即,PUu=1-,(u)=1-,确定的点u.,如图.,例如，=0.05，而,PU1.645=0.05,所以，u0.05=1.645.,U分布的双侧分位数,的点u/2为标准正态分布的双侧分位数或双侧临界值.,如图.,u/2可由PUu/2=/2,即(u/2)=1-/2,反查标准正态分布表得到，,PU1.96=0.05/2,例如，求u0.05/2，,得u0.05/2=1.96,标准正态分布的分位数,在实际问题中，常取0.1、0.05、0

40、.01.,常用到下面几个临界值：,u0.05=1.645，u0.01=2.326 u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.575,数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,数理统计的三大分布(都是连续型).,它们都与正态分布有密切的联系.,！,在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面各章的基础.,分布,定义 设总体，是 的一个样本,则称统计量 服从自由度为n的 分布，记作,自由度是指独立随机变量的个数，,分布的密度函数为,其图形随自由度的不同而有所改变.,2分布表(附表3(P254).,分布密度函数的图形,满足,的数

41、 为 2分布的上分位数或上侧临界值，,其几何意义见图5-5所示.,其中f(y)是 2-分布的概率密度.,显然，在自由度n取定以后，的值只与有关.,例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，,32.67,即,2分布的上分位数,2分布的双侧分位数,把满足,的数,称为 2分布的双侧分位数,或双侧临界值.,见图.,显然，,为 2分布的上 分位数.,为 2分布的上 分位数.,如当n=8,=0.05时，,2.18,17.53,2分布的数学期望与方差（补充）,设 2 2(n)，则E(2)=n，D(2)=2n.,2分布的可加性,设,则,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN(，2)的

42、样本，则,证明,由已知，有,XiN(，2)且X1，X2，Xn相互独立，,则,由定义5.3得,(P111第五题要用到此结论.),定理5.1 设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN(，2)的样本，则,(1)样本均值 与样本方差S 2相互独立；,(5.8)式的自由度为什么是n-1？,从表面上看，,但实际上它们不是独立的，,它们之间有一种线性约束关系：,=0,这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.,定理5.1 设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN(，2)的样本，则,(1

43、)样本均值 与样本方差S 2相互独立；,与以下补充性质的结论比较：,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN(，2)的样本，则,三、t分布,定义5.4,设随机变量XN(0，1)，Y 2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n的t分布或学生氏分布，,记作,t分布的概率密度函数为,T t(n).,其图形如图5-6所示(P106)，,其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.,当n较大时，t分布近似于标准正态分布.,当n较大时，t分布近似于标准正态分布.,一般说来，当n30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.,但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.且P|T|

44、t0P|X|t0，其中X N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.,t 分布的数学期望与方差（补充）,设Tt(n)，则E(T)=0，D(T)=,定理5.2,设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN(，2)的样本，则统计量,证,由定义5.4得,定理5.3,设(X1，X2，Xn1)和(Y1，Y2，Yn2)分别是来自正态总体N(1，2)和N(2，2)的样本，且它们相互独立，则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差.,(证略).,t 分布的上分位数,对于给定的(0 1)，称满足条件,的数t(n)为t分布的上分位数或上侧临界值，,其几何意义见图5-7.,t 分布的双侧分位

45、数,由于t分布的对称性，称满足条件,的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，,其几何意义如图5-8所示.,在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表.,例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，,t0.05(15)=t0.05/2(15)=,1.753,2.131,其中t0.05/2(15)由Pt(15)t0.025(15)=0.025查得.,但当n45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.,即,t(n)u，n45.,一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.,四、F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n

46、2的F分布，,概率密度函数,其中,其图形见图5-9.(P108),F 分布的上分位数,对于给定的(0 1)，称满足条件,的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，,其几何意义如图5-7所示.,其中f(y)是F分布的概率密度.,F 分布的上分位数,F(n1,n2)的值可由F 分布表查得.,附表5、6、7(P258P266)分=0.1、=0.05、=0.01给出了F分布的上分位数.,当时n1=2,n2=18时，有,F0.01(2,18)=,6.01,在附表5、6、7中所列的值都比较小，当 较大时，可用下面公式,查表时应先找到相应的值的表.,例如，,0.166,F 分布的双侧分位数,称满足

47、条件,见图.,显然，,为F分布的上 分位数；,为F分布的上 分位数；,定理5.4,为正态总体 的样本容量和样本方差；,设 为正态总体 的样本容量和样本方差；,且两个样本相互独立，则统计量,证明,由已知条件知,且相互独立，,由F分布的定义有,小 结几种常用分布的定义,正态总体样本均值的分布,设总体，是 的一个样本,则样本均值服从正态分布,U分布,分布,定义 设总体，是 的一个样本,则称统计量 服从自由度为n的 分布，记作,自由度是指独立随机变量的个数，,n个相互独立的标准正态分布之平方和服从自由度为n的 分布,t分布,定义5.4,设随机变量XN(0，1)，Y 2(n)，且X与Y相互独立，则称统计

48、量,服从自由度为n的t分布或学生氏分布，,记作,T t(n).,t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密度函数.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.,F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，,例1 设总体XN(0,1)，X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,解,(1),因为XiN(0,1)，i=1,2,n.,所以,X1-X2 N(0,2)，,故,t(2).,例1 设总体XN(0,1)，X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(2),因为X1N(0,1)，,故,t(n-1).,例1 设总体XN(0,1)，X1，X2，

49、Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(3),因为,所以,F(3，n-3).,例2 若Tt(n)，问T2服从什么分布？,解,因为Tt(n)，,可以认为,其中UN(0,1)，V2(n)，,U22(1)，,F(1,n).,例3 设总体XN(,42)，X1，X2，X10是n=10简单随机样本，S2为样本方差，已知PS2=0.1,求.,解,因为n=10，n-1=9，2=42，,所以,2(9).,又,PS2=,=0.1，,所以,14.684.,故,14.684x,26.105,作 业,1.习题五：第5、7、8题.2.复习；3.预习：参数的点估计(样本数字特征法、矩法估计、估计量的评选标准),