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1、第四节 等可能概型(古典概型),一、排列组合公式,二、古典概型（等可能概型）,一、排列组合公式,1)加法原理:完成某件事有两类方法,第一类有n 种,第二类有m 种,则完成这件事共有 n+m 种方法。,(1)有重复排列:在有放回选取中,从n个不同元素中取r个元素进行排列,称为有重复排列,其总数为 nr.,2)乘法原理:完成某件事有两个步骤,第一步有 n 种方法,第二步有m 种方法,则完成这件事共有 nm 种方法。,3)排列:,(1)从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组,不考虑其顺序,称为组合,其总数为,(2)选排列:在无放回选取中,从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列,称为选排列,其
2、总数为,说明:如果把 n 个不同元素分成两组,一组r个,另一组 n r个,组内元素不考虑顺序,那么不同分法有 种。,4)组合:,(2)多组组合：把 n 个不同元素分成 k 组(1 k n),使第 i 组有 ni 个元素,n1+n2+nk=n 元,若组内元素不考虑顺序,那么不同分法共有 种。,(3)常用组合公式：,二、古典概型（等可能概型）,生活中有这样一类试验(E1,E4),它们的共同特点是:(1)样本空间的元素只有有限个;(2)每个基本事件发生的可能性相同.,把这类实验称为等可能概型,考虑到它在概率论早期发展中的重要地位,又把它叫做古典概型.,设 S=e1,e2,en,由古典概型的等可能性,
3、得,又由于基本事件两两互不相容;所以,P(e1)=P(e2)=P(en).,=nP(ei),若事件 A 包含 k 个基本事件,即 A=e1,e2,ek,则有：,古典概型中事件概率的计算公式,例1 将一枚硬币抛掷3次.(1)设事件 A1 为“恰有一 次出现正面”,求 P(A1);(2)设事件 A2 为“至少 有一次出现正面”,求P(A2).,解:,S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT.,A1=HTT,THT,TTH,P(A1)=3/8,P(A2)=7/8.,例2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球,从袋中取球两次,每次随机取一只.考虑两种方式:(a)第一次取一
4、只球,观察其颜色后放回,搅匀后再取一球.此方式称为放回抽样.(b)第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球.此方式称为不放回抽样.,分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.,解:(a)放回抽样情形.,以A,B,C 分别表示事件“取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都是红球”,“取到的两只球中至少有一只是白球”.,则“取到两只颜色相同的球”为 A B,由于 AB=,得,P(AB)=P(A)+P(B)=5/9.,练习:计算不放回抽样的情形.,P(AB)=P(A)+P(B)=7/15.,课堂练习,
5、1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.,2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.,例3 将 n 只球随机的放入 N(N n)个盒子中去,求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）.,解:将 n 只球放入 N 个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,思考:指定的n 个盒子中各有一球的概率.,说明:本例是一种重要的古典概率模型.,例如,设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,则随机取 n(365)个人,他们的生日各不相同的概率为,于是,n 个人中至少有两人生日相同的概率为,经计算可得下述结果：
6、,从上表可以看出：,“在一个有64人的班级里,至少有两人生日相同”的概率为 99.7%.,例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k(k D)件次品的概率是多少?,又在 D 件次品中取 k 件,所有可能的取法有,在 N D 件正品中取 n k 件,所有可能的取法有,解:在 N 件产品中抽取 n 件,取法有,不放回抽样,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式.,由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,解:1)放回抽样,显然有,例5 袋中有 a 只白球,b 只红球.k个人依次在袋中取一只球,求第 i(i=1,2,k)人
7、取到白球(记为事件 B)的概率(k a+b).,2)不放回抽样.,共有 种取法,事件 B 发生时,第 i 个人取到的白球是 a 只白球中任一只,有 a 种取法.,于是 B 包含 个基本事件,所以,例6 在12000 的整数中随机的取一个数,问取到的整数即不能被 6 整除又不能被 8 整除的概率是多少?,解:设 A 为“取到的数能被 6 整除”,B 为“取到的数能被 8 整除”,则所求的概率为,=1 P(A B),=1 P(A)+P(B)P(AB),于是,例7 将15名新生随机地平均分配到三个班中,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个 班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生
8、分配在同一班级的概率是多少?,解:15名新生平均分配到3各班中的分法总数为,(1)每一个班各分配到一名优秀生的分法共有,于是,(2)3名优秀生分配到同一班中的分法有,因此,例8 某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次来访接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?,假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,“小概率事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(实际推断原理).,现在“小概率事件”在一次试验中发生了.因此可以推断接待时间是有规定的.,
