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1、第三章 离散时间系统的时域分析,要点：离散时间信号的时域分析离散时间系统的时域分析离散系统的数学模型与差分方程求解、单位序列响应卷积和与去卷积（解卷积）,3.1.离散时间信号的时域分析,1.离散时间信号的时域描述定义：在某些离散瞬时有确定函数值的信号表示：序列，x(nT),x(n),n=0，1，2，。n 取整数双边序列：-n，偶对称序列:x(n)=x(-n);奇对称序列:x(n)=-x(-n);周期序列：x(n)=x(n+N);,单边序列：N1 nN2右边序列：nN1,x(n)有值,nN2,x(n)=0因果序列：N10的单边序列反因果序列：N2 0的单边序列离散序列所描述的事物：离散事件模拟抽
2、样,2.序列的变换和运算,序列的位移与翻转x(nm)：表示序列左右位移x(-n)：表示x(n)相对于纵轴翻转x(-nm)：表示x(n)相对于纵轴翻转后位移序列的相加与相乘：同序号的数值相加或相乘序列的时间尺度变换x(an)表示x(n)的时间尺度被缩放，注意变量应为整数,例 已知序列 x(n)如图示，求x(2n)和x(n/2)的波形,x(n),n,2,1,0,2,4,-2,-4,x(2n),0,n,2,-2,2,1,x(n/2),2,1,0,2,4,-2,-4,-6,-6,序列的差分与累加：差分微分，累加积分，前向(左移)差分:x(n)=x(n+1)-x(n)2 x(n)=x(n)=x(n+1)
3、-x(n)=x(n+2)-2x(n+1)+x(n)后向(右移)差分:x(n)=x(n)-x(n-1)2x(n)=x(n)=x(n)-x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2),序列x(n)累加：,序列x(n)的能量：,-2,-3,3,2,1,-3,-2,3,2,序列的分解,分解为偶序列和奇序列 x(n)=xe(n)+xo(n)其中 xe(n)=(1/2)x(n)+x(-n)xo(n)=(1/2)x(n)-x(-n)分解为实序列和虚序列 x(n)=xR(n)+jxI(n),分解为延迟的单位脉冲信号加权和,3.常用典型序列及其特性,单位脉冲序列：,(n),(n-m),m,取样特性移位特性
4、,单位阶跃序列,u(n),n,1,0,2,4,截取特性：,累加特性：,典型序列的求和,与(n)的关系,指数序列,x(n)=anu(n):|a|1时，序列发散，|a|0,序列取正值，a0,序列在正、负摆动,anu(n),anu(n),anu(n),anu(n),a1,0a1,-1a0,a-1,4.正弦序列,x(n)=sin(n0),包络是周期正弦，序列本身未必周期,判断周期性：,sin(n0)=sin(0(n+N),只有当 0N=2m时或者N=(2/0)m为整数(即2/0为整数)时，sin(n0)才是周期序列。选择m使N取最小整数即为基波周期,5.离散时间系统的数学模型,离散时间系 统,x(n)
5、,y(n),线性,时不变性,例 设x(n)为激励,y(n)为响应,判断下面的激励与响应是否为线性和时不变?,(1)y(n)=2x(n)+3 在y(n)中，yzi(n)=3,yzs(n)=2x(n)，只有零状态响应yzs(n)与输入有关。当激励为ax1(n)+bx2(n)时，响应为2ax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n);当激励为x(n-n0)时，响应为2 x(n-n0)+3=y(n-n0).故是线性时不变的。,连续与离散时间系统的比较,连续时间系统微分方程描述；微分(积分)、乘系数、相加；R，L，C 元件连,离散时间系统差分方程描述；延时(移位)、乘系数、相加；部件,D,例1
6、已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。,常系数线性差分方程(递归关系式)后向(或右移)差分方程;前向(或左移)差分方程,x(n),y(n),a,例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。,一阶前向差分方程；可利用迭代方法求解,x(n),y(n),a,例3 已知梯形网络电阻为R，结点电压为v(n),n=0,1,，N，试写出第n个结点电压v(n)的差分方程。,v(0),E,V(N-1),R,R,R,v(N),例4.某人从当月起每月初存款f(n)元(n=0,1,2,),月息0.5%,设第n+1月初总存x(n+1)元，写出总存与月存数关系的方程,第n月初之前的总存数 x(n)；第n+
7、1月初存入的款数 f(n+1)；第n月的利息 r x(n)；所以 x(n+1)=(1+r)x(n)+f(n+1)或 x(n+1)-1.005x(n)=f(n+1),例5 每对兔子每月生一对，新生小兔隔一个月才有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对数,已知y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3y(5)=5 在第n个月，有 y(n-2)对有生育能力，因此这批变为2 y(n-2)对，无生育能力的有y(n-1)-y(n-2)，于是有y(n)=2 y(n-2)+y(n-1)-y(n-2)：或y(n)=y(n-1)+y(n-2)此数列可写为0,1,1,2,3
8、,5,8,13,6.差分方程的求解,1.差分方程：常系数线性差分方程式中：a,b常系数，M,N移位与方程阶次,2.求解差分方程的方法,迭代法：概念清楚，计算简便，但无 闭式解答；时域经典法：先求齐次解和特解，再代入求系数，物理概念清楚，但烦琐；零输入与零状态法：由求齐次解零输入响应，卷积和零状态响应；z 变换法：简便而有效；,3.举例,例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0,用迭代法解方程：解：y(0)=ay(-1)+1=1 y(1)=ay(0)+0=a y(2)=ay(1)+0=a2 y(n)=ay(n-1)+0=an y(n)=ay(n-1)+0=anu(n),例2 已知y(1)=1
9、,y(2)=1,求解方程 y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 解:对于一般 齐次方程其齐次解为其中 特征方程的根；待定系数,特征方程：,特征方程：,齐次解：,用边界条件求系数,最终解,例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n)的齐次解,解：(有重根)，设1为k重根，则在齐次解中相应1的有k项，即对本题，特征方程：3+6 2+12+8=0；即(+2)3=0,于是齐次解为(C1n2+C2n+C3)(-2)n,例4 已知 y(1)=1,y(2)=0,y(3)=1,y(5)=1,求解 y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)-2y(n-3)+y(n-4)=0,
10、解(复共轭根)特征方程和特性根为 4-2 3+2 2-2+1=0 1=2=1,3=j,4=-j,于是 y(n)=(C1n+C2)(1)n+C3(j)n+C4(-j)n=C1n+C2+C3ejn/2+C4e-jn/2=C1n+C2+Pcos(n/2)+Qsin(n/2)利用边界条件和P=C3+C4,Q=j(C3-C4),得C1=0,C2=1,P=1,Q=0;解:y(n)=1+cos(n/2),差分方程特解的形式,激励 x(n)特解 yp(n)的形式 A(常数)C(常数)An C1n+C2 nk C1 nk+C2 nk-1+Ck+1 nkan an(C1 nk+C2 nk-1+Ck+1)sin(b
11、n)或 C1sin(bn)+C2cos(bn)con(bn)an sin(bn)或 anC1sin(bn)+C2cos(bn)cos(bn),例5 已知x(n)=n2,y(-1)=-1,求方程的完全解 y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1),求得齐次解：C(-2)n;由激励得自由项n2-(n-1)2=2n-1,根据函数形式,特解D1n+D2代入方程：3D1n+3D2-2D1+D2=2n-1,解得D1=2/3,D2=1/9,y(n)=C(-2)n+(2/3)n+1/9代入边界条件求C，完全响应为：y(n)=(8/9)(-2)n+(2/3)n+1/9,例 6 已知方程 y(n)-0.9y
12、(n-1)=0.05u(n),若(1)y(-1)=0,(2)y(-1)=1,分别 求其完全响应,利用迭代法：y(0)=0.05齐次解：C(0.9)n,特解：D，完全解:y(n)=C(0.9)n+D将D代入方程D=0.5,由y(0),y(n)C=-0.45完全响应：,(2)完全响应 y(n)=yzi(n)+yzs(n)零状态响应yzs(n):令y(-1)=0,则 yzs(n)=0.5-0.45(0.9)n 零输入响应yzi(n):y(n)-0.9y(n-1)=0 yzi(n)=Czi(0.9)n将 y(-1)=1代入yzi(n)，求得 Czi=0.9 于是有 yzi(n)=0.9(0.9)n,最
13、后得完全响应为,其中,例7 等额均还贷款的月还额公式为 R=PI(1+I)N/(1+I)N-1,P:总贷款额,I:月利率,R:月还额,N:付还月,(1)设 第n个月末欠款y(n),其差分方程为 y(n)=y(n-1)-R+Iy(n-1),n1 或 y(n)-(1+I)y(n-1)=-R,n1,而y(0)=P(2)齐次解:C(1+I)n,特解:D;并求得D=R/I(3)由完全解y(n)=C(1+I)n+R/I 求得C=P-R/I,(4)完全解:y(n)=(P-R/I)(1+I)n+R/I,n0利用y(N)=0,可得(P-R/I)(1+I)n+R/I=0最后得月还额公式为 若P=10万,N=120
14、月,I=5.13%,则R=1067元,离散时间系统的单位样植响应,一、定义,单位脉冲序列 作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号hn表示。,对N阶LTI离散时间系统，hn满足方程,求解方法:,2)等效初始条件法,将dn-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。,等效初始条件由差分方程和h-1=h-2=h-n=0递推求出。,1)迭代法,二、系统单位样值响应 的求解,3)利用阶跃响应求解,激励为 时，系统在零状态,求系统 的单位样值响应,1).迭代法：,例8：,解：,将激励 等效为起始条件，从而将问题转化为求解齐次方程。,例9：,求系统的单位样值响应。,解：,2)等
15、效初始条件法,当 时，差分方程为所以 为差分方程的齐次解。特征根为将，代入求得,只考虑 激励,例10：,求系统,的单位样值响应。,解：,只考虑 激励,利用LTI,1)迭代法,单位阶跃响应,单位阶跃序列un作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号gn表示。,求解方法：,2)经典法,3)利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系,hn=gn-gn-1,3）利用阶跃响应求解,已知因果系统是一个二阶常系数差分方程，并已知当x(n)=u(n)时的响应为：（1）求系统单位样值响应（2）若系统为零状态，求此二阶差分方程,例11：,所以可设此二阶系统的差分方程的一般表达式为：,特征根：,由
16、 g(n)求h(n),特征方程：,解：,由,得,例12 方程：y(n)-3y(n-1)+3y(n-2)-y(n-3)=x(n)求系统的单位脉冲响应。,解(1)齐次解：特征方程 3-3 2+3-1=0;特征根 1=2=3=1;齐次解 C1n2+C2n+C3(2)求系数：以 h(-2)=h(-1)=0,h(0)=1 求得C1=1/2;C2=3/2;C3=1;(3)系统的单位脉冲响应:h(n)=(1/2)(n2+3n+2)u(n),3.3 卷积和,1.卷积和：由离散序列分解可知 x(n)=x(m)(n-m)x(m)(n-m)=x(n),m=n 激励 响应(n)h(n)(n-m)h(n-m)x(m)(
17、n-m)x(m)h(n-m)x(n)=x(m)(n-m)y(n)=x(m)h(n-m),2.卷积和的性质,(1)代数运算性质如交换律：y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n);(2)时移特性：若f(n)*h(n)=y(n),则 f(n)*h(nm)=y(nm)(3)差分与求和：若f(n)*h(n)=y(n),则 f(n)*h(n)=f(n)*h(n)=y(n);f(n)*h(n)=f(n)*h(n)=y(n);f(n)*h(i)=(f(i)*h(n)=y(i),例1 已知单位脉冲响应 h(n)=anu(n),若激励为x(n)=u(n)-u(n-N),求响应y(n),其中0a1。,解：y
18、(n)=x(m)h(n-m)=u(m)-u(m-N)an-mu(n-m),3.卷积和的计算,计算方法：反褶平移相乘求和例 已知 x1(n)=2(n)+(n-1)+4(n-2)+(n-3)x2(n)=3(n)+(n-1)+5(n-2),求x1(n)*x(n)解：x1(n):2 1 4 1 x2(-n):5 1 3结果 y(n):6 5 23 12 21 5 y(n)=6 5 23 12 21 5,对位相乘求和法：,x1(n):2 1 4 1 x2(n):3 1 5 10 5 20 5 2 1 4 1 6 3 12 3 y(n):6 5 23 12 21 5y(n)=6 5 23 12 21 5,4.去(解，反)卷积,计算卷积和:y(n)=h(n)*x(n)=x(m)h(n-m)计算去卷积：已知 h(n),y(n),求x(n):用n-1位前的全部x已知 x(n),y(n),求h(n):用n-1位前的全部h系统辨识,已知系统输入输出,求系统模型,
