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1、,山东金榜苑文化传媒集团,曲 线 与 方 程,步步高大一轮复习讲义,圆锥曲线,直线与圆锥曲线的位置关系,曲线与方程,求曲线的方程,画方程的曲线,求两曲线的交点,双曲线,轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法,抛物线,椭圆,定义及标准方程,几何性质,相交,相切,相离,范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴（虚轴）渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径,中心对称,轴对称,弦长公式,对称问题,1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是_.(2)以这个方程的解为坐标的点都是_.那么这
2、个方程叫做_，这条曲线叫做_.,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,忆 一 忆 知 识 要 点,(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式列出动点P所满足的关系式.(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式,并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点 轨迹方程.,2.求动点的轨迹方程的一般步骤,忆 一 忆 知 识 要 点,(2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.,(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是
3、两个曲线方程的_，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组_，两条曲线就没有交点.,公共解,无 解,充 要,3.两曲线的交点,忆 一 忆 知 识 要 点,4.求轨迹方程的常用方法,(1)直接法(列等式)(2)定义法(利用圆锥曲线的定义)(3)代入法(又称相关点法或坐标转移法)(4)消参法(5)几何法(6)交轨法,忆 一 忆 知 识 要 点,圆的方程,学习目标（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一
4、般方程之间的互化（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题,圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径,问题1什么是圆？,问题2 确定圆需要 哪几个要素？,圆心确定圆的位置半径确定圆的大小,问题3 圆心为(a,b)，半经为r的方程是什么呢？,探索：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程是什么？,解：,设M(x,y)是圆上任意一点，,P=M|MC|=r,圆的标准方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,特点：,1、明确给出了圆心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个独立条件,
5、即a、b、r 3、是关于x、y的二元二次方程。,问题：观察圆的标准方程的特点有哪些？,注:当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：x2+y2=r2,例1:试写出下列圆(x-1)2+（y-3)2=9的圆心及半径,1、(x-1)2+（y-3)2=-5,2、(x-1)2+（y-3)2=k,变式：下列方程是圆的方程吗？,例2:写出圆心在C(1,3),半径是3的圆的方程,变4：求圆心仍在(1,3)，且和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程,变3：直线x+y=4和x-y=-2均过圆心，半径为3的圆的方程,变1：求圆心在(1,3)又过点(1,6)的圆的方程,变2：已知两点A(1,9)、B(1,-3),求
6、以AB为直径的圆的方程,变5：与坐标轴都相切，且圆心在直线2x-3y+5=0上的圆的方程,点 与圆 的位置关系：,点 与圆心(a,b)的距离为d=,圆的半径为r，,点在圆上:,d=r,点在圆内:,点在圆外:,0dr,dr,(x-a)2+(y-b)2=r2,例3:(1)判断下列点与圆(x-3)2+(y4)2=25的位置关系(1)P(1,-4)(2)Q(0,0)(3)M(1,2),即,分析：,在圆C:,的内部，,的取值范围是,则,(2)如果,变1:若点(1,)在圆(x-m)2+(y-m)2=4 m2的外部，求实数m的取值范围,变2:若经过点P(5a+1,12a)可以作出圆 的两条切线,求实数a的取
7、值范围,当D2+E24F=0时，方程表示一个点（）,当D2+E24F0时，方程不表示任何曲线.,当D2+E24F0时，方程表示以（）为圆心、为半径的圆.,x2+y2+Dx+Ey+F=0,(1),问题1:形如(1)的方程都表示圆吗?,圆的一般方程:,x2+y2+Dx+Ey+F=0,例4:下列方程表示圆吗？若表示圆，求圆心、半径,求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程,【思路点拨】解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解,变式训练1求圆心在x轴上,且过点A(5,2)和B(3，2)的圆的标准方程,若已知条件与圆心、半径无直接
8、关系，一般用圆的一般方程，再用待定系数法求出系数D、E、F.,已知ABC的三个顶点为A(10,13)、B(2，3)、C(2,1),若AB、BC、AC的中点分别为P、Q、R，求过P、Q、R三点的圆的方程,变式训练2已知ABC的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)求其外接圆的一般方程式,已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(1,0),B(1,0)，点P在圆上运动，求dPA2PB2的最值及相应的点P的坐标,灵活选择圆的两种方程，同时结合数形结合的思想能有效找到解题的捷径,椭圆的方程、性质,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,
9、|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0),定 义,1.椭圆的定义,一、基础知识,|x|a,|y|b,|x|b,|y|a,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。,（a,0）,(0,b),（b,0）,(0,a),(c,0),(0,c),长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c;,a2=b2+c2,2、椭圆的简单几何性质,3.椭圆的参数方程:,焦点在y轴：,焦点在x轴：,1.椭圆的标准方程:,2.椭圆的普通方程:,考点一、椭圆的定义与方程求法,二、考点剖析,（3）定量:解方程得系数,（1）定位:确定焦点的位置,椭圆的方程求法：待定系数法,（2）定型:选择适当的方程:,例题选讲,牛刀小试,A,
10、A,(0,4),(1,2),椭圆的离心率和焦半径公式,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,（1）离心率的取值范围：0e 1,（2）e 越接近 1椭圆就越扁，e 越接近 0，椭圆就越圆,（3）焦半径公式,牛刀小试,A,C,9/4,考点三、直线与椭圆的位置关系,判别式法与交点个数,判断方法,这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。,0，,=0，,0,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）看,A（x1,y1）,判别式法与弦长公式,（1）联立方程组,（2）消去一个未知数,（3）利用弦长公式:,|AB|=,k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求
11、得|x1-x2|与|y1-y2|,通法,B（x2,y2）,=,设而不求,A（x1,y1）,点差法与斜率公式,B（x2,y2）,解：联立方程组,消去y,0,因为,所以，方程（）有两个根，,则原方程组有两组解.,-(1),例题讲解,例3、求直线y=x-被椭圆x2+4y2=2 所截的弦长|AB|.,解：联立方程组,消去y,-(1),由韦达定理得,利用弦长公式求解：,双曲线的性质(一),|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）,F(c,0)F(0,c),2、对称性,一、研究双曲线 的简单几何性质,1、范围,关于x轴、y轴和原点都是对称。,x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线
12、的中心。,(-x,-y),(-x,y),(x,y),(x,-y),课堂新授,3、顶点,（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点,M(x,y),4、渐近线,N(x,y),慢慢靠近,动画演示,5、离心率,离心率。,ca0,e 1,e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大,（1）定义：,（2）e的范围：,（3）e的含义：,（4）等轴双曲线的离心率e=?,(5),（1）范围:,（4）渐近线:,（5）离心率:,小 结,或,或,关于坐标轴和原点都对称,法二：巧设方程,运用待定系数法.设双曲线方程为,法二：设双曲线方程为,双曲线方程为,解之得k=4,1、“共渐近线”的双曲线的应用,0表示焦点在x轴
13、上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线。,双曲线的渐近线方程为,解出,椭圆与双曲线的比较,小 结,|x|a,|y|b,|x|a，yR,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点,（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a 短轴：2b,(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2b,无,抛物线 及其标准方程,椭圆、双曲线的第二定义：,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2)当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,复 习,平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一、定义,定点F叫做抛物线的焦点。定直线
14、l 叫做抛物线的准线。,课堂新授,二、标准方程的推导,步骤：（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明,想一想？,课堂新授,课堂新授,回忆一下，看看上面的方程哪一种简单，为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？,1、标准方程的推导,K,设KF=p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线 为y轴,课堂新授,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,2、抛物线的标准方程,课堂新授,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,课堂新授,准线方程,焦点坐标,标准方程
15、,焦点位置,图 形,三.四种抛物线及其它们的标准方程,x轴的正半轴上,x轴的负半轴上,y轴的正半轴上,y轴的负半轴上,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,想一想:,课堂新授,第一：一次项的变量如为X（或Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。第二：一次的系数的正负决定了开口方向,如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？,思 考 题,二次函数的图象是抛物线.反过来,抛物 线的方程是否都可以化成二次函数?,否。如：y 2=x,3、我们以前学习的抛物线和现在学习的抛物线的标准方程有什么联系？,例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦
16、点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是y=6x2,求它的焦点坐标和准线方程；,（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。,例题讲解,解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为,2、已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x、(2)y12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；,（2）先化为标准方程，焦点坐标是（0，），准线方程是y.,课堂练习1,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20 x（2）x2=y（3）x2+8y=0,（5，0）,x=-5,y=2,(0,-2),1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是 x=；,（
17、3）焦点到准线的距离是2。,y2=12x,y2=x,y2=4x、y2=-4x、x2=4y 或 x2=-4y,课堂练习1,变式训练,(A)y2=-4x,1.选择题:(1)准线方程为x=2的抛物线的标准方程是(),(B)y2=-8x,(D)y2=8x,(C)y2=4x,(2)抛物线x2+y=0 的焦点位于(),(A)x轴的负半轴上,(B)x轴的正半轴上,(D)y轴的正半轴上,(C)y轴的负半轴上,B,C,例题讲解,例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=,当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2p
18、x，得p=,抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。,已知抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。,课堂练习2,提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py,例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程,如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y216x,分析：,例题讲解,3、抛物线方程 x 2=2 p y 中字母 p 的几何意义是“焦点F到准线L的距离”抛物线的焦准距。4、求抛物线方程，或者
19、求其焦点坐标和准线方程，关键要从 p 入手。5、会灵活运用抛物线定义解题。,小 结,课本定义的一个致命的漏洞不知大家是否察觉？,L,.,F,.,点F在直线L外,点F在直线L上,.,F,一、抛物线y2=2px(p0)的几何性质,1.范围,因为 p 0 y2=2px 0,所以,即抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸,2.对称性,图像沿x轴折叠，两部分重合或用-y 代 y，方程不变,所以，抛物线关于x轴对称,轴：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,3.顶点：,抛物线和它的轴的交点,在方程中，令x=0,则,所以，抛物线的顶点为原点（一个）,4.离心率：,抛物线上的点到焦点与准线距离的比,由定义
20、，e=1,5.渐近线：,抛物线虽然向右上方和右下方无限延伸，但不能象双曲线一样无限接近某一直线,所以，抛物线无渐近线,y=0,思考：抛物线的形状与何有关？,例4、M是抛物线y2=2px（P0）上一点，若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是,课堂练习3,1.抛物线 y2=2px(p0)上一点M到焦点的距离是 a(a),则点M到准线的距离是,点 M的横坐标是.,a,a,2.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是.,课堂练习3,(一)、复习题组训练,（1）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P=。,（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。
21、,4,2,（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两点，那么线段AB的中点 坐标是。,C,题后反思：刚才我们知道线段AB垂直X轴，那么当一条直线 过焦点F并且垂直x轴，那么得到的线段CD有多长呢？,D,。,F,连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2P.,设抛物线的标准方程是:,易知C(P/2,P),D(P/2,-P),抛物线与过焦点的弦,（一）弦长与焦点坐标之间的关系,由数形结合和抛物线定义可知,如图：抛物线的焦点在,轴上：,？,想一想：,例1.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.,例题讲解,例题讲解,分析1：直线与抛物线相交问题，可
22、联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。,.,将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式,分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的.,例题讲解,同理,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.,于是|AB|=6+2=8,解法二：在图822中，由抛物线的定义可知，|AF|=,说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.,例1：长为10的弦经过抛物线,的焦点弦交抛物线,于,如果,则抛物线的方程是,练习1 过抛物线,的焦点作直线交,抛物线于,则,A、4
23、,B、6,C、8,D、12,练习2（思考题）将上题中的抛物线改为,答案如何？,C,（二）弦长与弦的中点到准线距离之间的关系,如图，由梯形中位线定理和抛物线定义可知,？,此关系式与抛物线焦点位置有关吗,无关,例6.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆 与 抛物线的准线相切.,A1,B1,例题讲解,例3：定长为6的弦经过抛物线,的焦点,一直线,：方程为,，记弦的中点为,则,到直线,的距离是,例7.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小.,例题讲解,直线和抛物线的位置关系,三、巩固练习,2.抛物线的一条弦所在直线是,且弦的中点的横坐标为-3,则此抛物线的方程为.3.过
24、抛物线 的焦点,作互相垂直的两条焦点弦 则 的最小值为.,二、典型例题,例1.,.,例2.,例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。,A,B,解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),则，,又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22,即：x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,A,B,X10，X20，2p0,X1=x2.,由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且，所以,
