生活中的优化问题举例.ppt

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1、1.4生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,通过前面的学习,知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题。,例1:海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?,图3.4-1,因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。,解法二:由解法(一)

2、得,问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,例2:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们的价格如下表所示,则(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?(2)对制造商而言,哪一种的利润更大?,例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm,()瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大?(

3、)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?,-,+,减函数,增函数,-1.07p,每瓶饮料的利润:,解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是,当半径r时,f(r)0它表示 f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r时,f(r)0 它表示 f(r)单调递减,即半径越大,利润越低,1.半径为cm 时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值,半径为cm时,利润最大,-,+,减函数,增函数,-1.07p,1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时,利润最大。,从图中可以看出:,从图中,你还能看出什么吗?,由上述例子,我们不难发现,解决优化

4、问题的基本思路是:,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).,令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为h,底面半径

5、为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.,答 罐高与底的直径相等时,所用材料最省.,解:设B(x,0)(0 x2),则 A(x,4x-x2).,从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).,令,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,问题3、磁盘的最大存储量问题,(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗?(2)你知道磁盘的结构吗?,(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息?,例3:现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R的环行区域。,是不是r越小,磁盘的存 储量越大?,(2)r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?,解:存储量=磁道数每磁道的比特数,设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储人何信息,所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达到 所以,磁道总存储量,(1)它是一个关于r的二次函数,从函数的解析式上可以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.,(2)为求 的最大值,计算,令,解得,因此,当 时,磁道具有最大的存储量,最大存储量为,

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