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1、第十章,空间解析几何与向量代数,.向量代数,.空间解析几何,向量及其线性运算,二、向量的概念与线性运算,一、空间直角坐标系,三、向量的坐标,第一节,第十章,一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的基本概念,定点,由三条互相垂直的数轴,按右手规则组成一个空间直角坐标系.,过空间一定点 o,空间直角坐标系,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),坐标面(三个),卦限(八个),zox面,z 轴(竖轴),在直角坐标系下,点 M,有序数组,有序数 x、y、z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为 M(x,y,z).,特殊点的坐标:,原点 O(0,0,0);,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐
2、标面上的点 A,B,C.,o,坐标面:,称为三维欧氏空间.,坐标轴:,二、向量的概念与线性运算 1.向量的概念,向量表示法:,向量的模:,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,起点为原点的向量.,自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量.,零向量:,模为 0 的向量,相等向量：,负向量：,大小相等但方向相反的向量,规定:零向量与任何向量平行;,记作,若 n(3)个向量经平移可移到,则称此 n,个向量共面.,平行向量：,向量共面：,同一平面上,(1)向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,2.向量的线性运算,向量的加法符合下列
3、运算规律：,交换律：,结合律：,(2)向量的减法,三角形法则可推广到多个向量相加.,设 是一个数,3.向量与数的乘法,(1)定义,新向量,记作,结合律,分配律,(2)运算规律,例1,试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,依题设，有,例2,A,B,解,三、向量的坐标 1.向量的坐标表示,设 为任一向量，,将 平行移动，,其终点,称为基本单位向量，则,向量 的 坐标分解式,2.向量线性运算的坐标表达式,设,(1),则,(2),(3),平行向量对应坐标成比例:,对应坐标成比例,注.,理解为：,例3,解,例4,求解以向量为未知元的线性方程组,解,2 3,得,代入得,
4、例5,已知两点,在AB直线上求一点 M,使,解 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,而,解得,定比分点公式,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,3.向量的模与方向余弦的坐标表达式,(1)向量的模与两点间的距离公式,则有,因为,对两点,与,得两点间的距离公式:,例6,求点 M(4,3,-2)到 y 轴的距离.,解,过点 M作 y 轴的垂面，则垂足点为P(0,3,0).,故点M 到 y 轴的距离为：,例7,设,求以向量,行四边形的对角线的长度.,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解,为边的平,(2)方向角与方向余弦,设有两非零向量,=AOB(0),记作,两非零向量的夹角：,称
5、为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,方向角：,与三坐标轴正向的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,向量方向余弦的坐标表示式：,方向余弦的性质:,方向余弦通常用来表示向量的方向.,例8,已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解,计算向量,例9,设点 A 位于第一卦限,解 已知,夹角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的,内容小结,3.向量的概念,4.向量的加减法,5.向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,1.空间直角坐标系,2.空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,6.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,7.向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,8.,解,思考题,例1-2,解,设P点坐标为,所求点为,例1-3,解,原结论成立.,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,例9-1,
