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1、第二章 随机变量及其分布,Random Variable and Distribution,2.1离散型随机变量及其分布,1、随机变量概念的产生,一、随机变量的概念,在许多实际问题中，人们发现以一个变量的取值代表随机事件在解题时更方便。由此就产生了随机变量的概念.,例：掷一枚骰子一次，向上的点数.,出现1点,出现2点,出现3点,出现4点,出现5点,1,2,3,4,5,出现6点,6,1.有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数),例：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.,命中0环,命中1环,命中2环,命中10环,0,1,2,10,.,.,2.在有些试验中，试验结果与数值无关，但我们可以引进
2、一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,例：掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？,正面向上,反面向上,1,0,例：从装有黑色，白色，黄色，红色四个球的箱子中摸出一个球，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？,黑色,白色,黄色,红色,1,2,3,4,思考：从上述四个问题中你发现它们有无共同的特征？,每一个试验结果都可以用一个确定的数字来表示,每一个试验的结果可以用一个确定的数字来表示；每一个确定的数字都表示一种试验结果.,同一个随机试验的结果,可以赋不同的数字;,观 察 总结：,数字随着试验结果的变化而变化，是一个变量；
3、,随机变量定义,在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化，像这样随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,随机变量常用字母，、.等表示.,2、引入随机变量的意义,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以 通过随机变量的关系式表达出来.,单位时间内某电话交换台收到的呼叫 次数用 X 表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,事件没有收到呼叫 X=0,例如：,解：分析,例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的
4、报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱,故报童赔钱 X 666,3、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,取值为有限个或可数无穷个,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1,x2,.,为了描述随机变量 X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,引例,如图中所示，从中任取 3 个球,取到的白球数 X 是一个
5、随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为：,且：,二、离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,的概率为:,则 称,注:分布律可以列表给出,1.定义:,2.性 质,用这两条性质判断一个函数是否是概率函数,注,例2 将一枚硬币连掷两次,X表示正面出现的次数,求X的分布律.,解:,分布律为:,X的所有可能取值为0,1,2,列表为：,（P33,例5）,例3 一批产品共R+N件,其中正品N件,次品R件,从中任取K件(KR,KN)，用X表示K件中的次品数，求X的分布律。,解：,X的所有可能取值为0,1,2,k,列表为：,x=0,1,2,k,（P33,例6）,例4 某射手
6、连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.,解:显然，X 可能取的值是1,2,计算 P(X=k)，k=1,2,这就是求所需射击发数X的概率函数.,若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.,（P33,例7）,三、常用的三种离散型随机变量的分布律,1、01分布（两点分布）,设随机变量X只取1，0两个值，,列表：,且对应的概率,则称X服从01分布（也叫两点分布）。,分别为p，q(0p1,q=1-p),其分布律可写为：,凡试验只有两个结果,常用0 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,设X表示n重贝努利试
7、验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0，1，2，n。,n次试验中事件A发生k次的概率为：,2、二项分布,称X服从参数为n，p的二项分布，记为,其中p为每次试验中事件A发生的概率，,它满足：,当n1时二项分布就是01分布，可见二项分布是01分布的推广。,例5 一大批产品，次品率为0.1。现从中任取10件，写出此10件产品中次品数X的分布律,解,次品数 从而X的分布律为：,（P35,例8）,例6 某人射击，命中率为0.02，独立射击400次，求击中次数不小于2的概率。,解,设X为击中次数，则 所求概率为,其中,很明显，这里的计算是很麻烦的，一般当，而参数n很大，p很小的情形下，我们有下面的泊松定
8、理,（P35,例9）,泊松定理说明若X b(n,p),则当n 较大，p 较小(n 10,p 0.1),而 np=适中,则可以用近似公式,由此，上例6中，n400，p0.02，,用泊松定理可求得,这个概率近似于1，说明尽管每次射击击中的概率很小，只要射击次数足够多，击中两次以上几乎是必然的。因此，我们日常生活的小概率事件是不可忽视的。,3、泊松分布,的泊松分布.,设随机变量X的可能取值为0,1,n,在实际中，许多随机现象服从或近似 服从泊松分布。若把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。,由泊松分布的定义及泊松定理可知：当 泊松分布是二项分布的近似。,（这是1837 年由法国数学家泊松引入
9、的）,比如：,由泊松定理，n 重贝努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,地震、火山爆发、特大洪水、意外事故 等等,比如：,例7 电话局每分钟接到用户呼唤的次数X服从参数 的泊松分布。求：,（1）每分钟恰好接到3次呼唤的概率。,（2）每分钟接到呼唤次数不超过4次的概率。,解,（P37,例10）,例8 已知随机变量 且 求,解,由,由,可知,（P37,例11）,例9 设有80台同类型的设备，各台工作相互独立。每台设备发生故障的概率均为0.01，且一台设备的故障只需一人维修即可。考虑下列两种配备维修工人的方案，问哪种方案较好。,（1）由4人维修，每人负责20台；,（2）由3人维修，共同维修80台；,解,设X表示同一时刻某人负责的20台中发生故障设备的台数，,即,方案1：,（P38,例12）,以Ai（i1，2，3，4）表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”,则设备发生故障不能得到及时维修的概率为,则,或者,（教材38页）,设Y表示同一时刻80台设备中发生故障的设备的台数，则,则设备发生故障不能得到及时维修的概率为,可见用第二方案不但可以少用一人，而且设备发生故障不能得到及时维修的概率又小，因此第二方案优于第一方案,方案2：,
