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1、三.几何运算,1.概念,2.几何运算类型,图像的几何变换（Geometric Transformation）是指图像处理中对图像平移、旋转、放大和缩小，这些简单变换以及变换中灰度内插处理等。几何变换可能改变图像中各物体之间的空间位置关系。几何变换不改变像素值，而可能改变像素所在的位置。,1.概念,空间变换 灰度插值,2.几何运算类型,空间变换,（1）齐次坐标 几何变换一般形式,根据几何学知识，上述变换可以实现图像各像素点以坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换，但是上述22变换矩阵T不能实现图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等变换。,为了能够用统一的矩阵线性变换形式，表
2、示和实现这些常见的图像几何变换，就需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。采用齐次坐标可以实现上述各种几何变换的统一表示。,如图所示，旧位置为A0(x1，y1)则位置A1(x1，y1)的坐标为：,表示为如下形式 即不能表示为如下形式：,由于矩阵T中没有引入平移常量，无论a、b、c、d取什么值，都不能实现式平移功能。不能实现平移变换功能，怎么办?需要进行改进。,将T矩阵扩展为如下23变换矩阵，其形式为：,根据矩阵相乘的规律，在坐标列矩阵x y T中引入第三个元素，扩展为31的列矩阵x y 1T,就可以实现点的平移变换。变换形式如下：,上述变换虽然可以实现图像各像素点的平移变换，但为变换运算时更方便，一
3、般将23阶变换矩阵T进一步扩充为33方阵，即采用如下变换矩阵：,这样一来,平移变换可以用如下形式表示：,这种以n+1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。齐次坐标的几何意义相当于点(x，y)投影在xyz三维立体空间的z=1的平面上。,空间变换,（2）图像的平移,注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。,（3）图像的缩小 图像的缩小一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。,空间变换,1.图像按比例缩小：最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。,2.图像不按比例缩小：这
4、种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。,（4）图像的放大 图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选 所需要的有用信息。图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩小要复杂一些。,空间变换,1.按比例放大图像 如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素值添在新图像的k*k的子块中。,放大5倍,2.图像的任意不成比例放大：这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。放大的方法是：将原图像的一个像素添到新图像的一个k1*k2的子块中去。,返回,图像的减半缩小效果,返回,图像的按比例缩小效果,返回,图
5、像的不按比例任意缩小,返回,图像的成倍放大效果,返回,图像的不按比例放大,返回,（5）图像的镜像,水平镜像,垂直镜像,空间变换,0,0,x,y,0,0,x,y,水平镜像的变换结果,图像的垂直镜像,（6）图像的旋转,空间变换,0,0,x,y,图 旋转前的图像,图 旋转15并进行插值处理的图像,图像的旋转注意点：图像旋转之后，会出现许多的空白点，对这些空白点必须进行填充处理，否则画面效果不好。称这种操作为插值处理。,最简单的方法是行插值或是列插值方法：1.插值的方法是：空点的像素值等于前一点的像素值。2.同样的操作重复到所有行。,经过插值处理之后，图像效果就变得自然。,图像的旋转效果,返回,图像旋
6、转中的插值处理效果,返回,如图所示，图像经过了两次45和135旋转变换，旋转360之后，图像(b)的字迹发生了较明显的变化，特别是字体的边缘更为明显。,灰度插值,图像的比例缩放、旋转变换时等，变换过程需要两个独立的算法:一个算法完成几何变换；一个算法用于灰度级插值.,灰度插值,最邻近插值法双线性插值（一阶插值）高阶插值,数字图像处理只能对坐标网格点（离散点）的值进行变换。而坐标变换后产生的新坐标值同网格点值往往不重合，因此需要通过内插的方法将非网格点的灰度值变换成网格点的灰度值，这种算法称为灰度内插。,最邻近插值法,计算与点P(x0，y0)临近的四个点;将与点P(x0，y0)最近的整数坐标点(
7、x，y)的灰度值取为P(x0，y0)点灰度近似值。,双线性插值,根据点P(x0，y0)的四个相邻点的灰度值，通过两次插值计算出灰度值f(x0，y0),双线性插值公式,最邻近插值法,最邻近插值法就是最临近点重复,双线性插值（一阶插值）：采用在（x,y）周围四个网格点的灰度值进行内插,双线性插值的特点,计算量大，但缩放后图像质量高，不会出 现图像不连续的情况。具有低通滤波器的性质，使高频分量减弱，所以使图像的轮廓在一定程度上受损。,三阶插值：三次内插法是指用（x,y）周围的16个网格点灰度按三次多项式进行内插的高精度算法,本章重点,线性点运算中斜率和截距的取值对图像的影响代数运算的特点及应用几何运算的特点及应用常用的灰度内插法图像的三种运算类型及应用,
