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1、虚位移的英文名词是 virtual displacement.意思是 可能的位移.并不是虚无的意思.它的准确含义是:为约束条件所允许的位移.,第十五章,虚位移原理,质点被约束在某一平面上,其上有力的作用.显然,在此平面上有无限多为约束所允许的 位移.,怎样判断质点是平衡的?如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不为零,则质点必有动能的增加,因而不是平衡的.如果沿任何为约束所允许的可能的位移作功之和为零,则我们说质点是平衡的 这正是我们判别平衡的另一个准则 虚位移原理.,引 言,15 1 约束.虚位移.虚功,约束及分类 约束:限制物体运动的条件,约束的分类:(1)几何约束 约束方程 表示为空间坐标
2、的函数.运动约束 约束方程中含有空间坐标对时间的导数,B、C 点的约束方程:,A点的约束方程:,(2)定常约束 约束方程不显含时间t.非定常约束 约束方程显含时间t.,A点的约束方程:,(3)双面约束 约束条件用方程给出.单面约束 约束 条件用不等式给出.,A点的约束方程:,(4)完整约束 几何约束和可积分的运动约束.非完整约束 不可积分的运动约束.,冰刀在冰面上的运动.,圆轮的直线纯滚动.,可积分的运动约束,2.虚位移 定义:在给定瞬时,质点系在约束所允许的条件下的任意 的无限小的位移.:(1)虚位移是 等时变分 的概念.不论约束是否定常,必须把时 间 冻结,在此前提下才有虚位移的概念.(2
3、)虚位移仅为约束条件所允许即可,而实位移除此之外还须由动力学方程和初始条件等而定.同一点的实位移只能有一个,而虚位移可以有无穷多.(3)稳定约束(定常约束)下,实位移是众多虚位移中的一个.而在 非 定常约束下则不然.,实位移,虚位移,:理想约束:定义:若其约束反力的功或约束反力的功之和为零,这种约束称为 理想约束.,:虚位移的求法:1.几何法-用几何学或运动学的条件直接求得.例一.试用OA杆的转角的变分 表示A、B、C、D各点的虚位移,已知OA=r.,解:,由瞬时平动的概念:,由虚速度投影:,建立坐标系如图:,3.混合法:,2.解析法:借助于坐标系来表示虚位移.例二.图示双摆杆,试用变量、的变
4、分表示A、B两点的虚位移.,15 2 虚位移原理,虚位移原理:在完整,定常,理想约束下的质点系静止平衡 的充分必要条件是:作用于质点系上的主动 力在任何虚位移中的元功之和为零.,即是:质点系的静止平衡,解:取系统分析,设手柄顺力偶的方向 转了 角(力学语言称:给螺杆以虚位移),则压板的虚位移为s.由虚位移原理:,:两种常 用的形式:,例二.(参见书上例15 2)图示结构,已知力F 作用于G点.各杆都以光滑铰链连接.AC=CE=BC=CD=DG=GE=l.在G、C 间有一刚度为k 的弹簧,在 图示夹角为时弹簧的伸长量为0.求支座 B处的水平约束反力.,解:解除B 处相应的约束,代之以相应的水平力
5、和活动铰支座,去掉弹簧,代之以相应的弹簧力.,式中 F1=F1=k0,在图示坐标下,例三.求图示组合梁的支座B 处的约束反力.,已知:q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,解:为便于计算,将均布载荷 等效简化成集中力.,q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,去掉B 支座代之以FB,原结构变成一个自由度的系统.设CE杆绕E点有一个虚角位移,则各处有关的虚位移如图.,由,若求A 处支座反力则系统的虚位移分析如图示:(注意:整体分析可知A 处的水平力为零.故A 处只有竖直反力),q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,设A 处给一
6、向上的虚位移rA.,显然有:,若求 处E支座反力,则系统的虚位移分析如图示.,q=400N/m,P=200N.M=200 m.N.l=8m,设E 处有一向上的虚位移rE,例五.(例15 4)图示机构,不计各构件自重和各处摩擦,求机构在图示位置平衡 时,主动力偶 矩M 与主动力F之间的关系.图中 和h为已知.,解:设B 点有一虚位移rB,而AB 杆绕O 点的虚角位移,则B 点的牵连虚位移为,由虚位移原理:,如图示,杆件AB 与CD 用光滑铰链连接,如果已知B 点的作用力F 和CD 杆上的力 偶 M,不计杆重,求支座D 处的约束反力.,A,解:将D 处的固定铰支座代之以活动铰支座及水平力FDX.,
7、给D 处以水平虚位移xD.,相应各处的虚位移如图示,O 点为DC 杆的虚速度瞬心,M,将D 处的固定铰支座代之以活动铰支座及铅垂力FDY.,给D 处以铅垂虚位移yD,相应各处的虚位移如图示,DC 杆呈 瞬时平动.,由虚位移原理:,自由度与广义坐标,自由度:独立的虚位移的个数.广义坐标:确定质点系空间位置的独立变量.:在完整约束下,自由度的个数与广义坐标的个数相等.完整约束下,若系统有n 个质点,s 个约束方程,则自由度N=3n s,用直角坐标系下的投影表达为:,习15 10 图示机构在力F1与F2 作用下在图示的位置平衡,不计各构件的自重与各 处的摩擦,OD=BD=l1,AD=l2.求 F1/F2 的值.,解:此题宜用解析法,建立坐标系如图示.,选角为广义坐标,由虚位移原理:,由虚位移原理:,整理后可得:,建立坐标系如图:,图示双摆杆,试用广义坐标、的变分表示A、B两点的虚位移.,解:系统有两个自由度,选广义坐标 x1 和x2.,习题:图示系统中,重物P3,倾角,皆为已知.不计摩 擦,忽略滑轮和绳子的质量.求平衡时,重物P1 和P2 的大小.,
