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1、虚位移原理,目录,概述约束和约束方程虚位移自由度虚功理想约束 虚位移原理广义坐标广义坐标形式的虚位移原理,概 述,虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并不是充分的（参阅刚化原理）。,概 述,非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用在于：,一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束反力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。,当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动力与约束所许可位移之间，都存在着
2、一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。,概 述,而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点系的平衡条件。,刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力之间的关系表出刚体的平衡条件。,因此，在虚位移原理中，首先要研究加在质点系上的各种约束，以及约束所许可的位移的普遍性质。,概 述,约束和约束方程,约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方程称为约束方程。,对非自由质点系的位置、速度之间预先加入的限制条件，称为约束。,约束和约束方程,点M被限制在以固定点O为球心、l为半径的球面上运动。
3、,这就是加于球面摆的约束方程。,如取固定参考系Oxyz，则点M的坐标x，y，z满足方程,球面摆,约束实例,曲柄连杆机构,式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，这一坐标完全确定了此质点系的位置。,以后我们改称系统的位置为位形。,这个质点系的约束方程可表示成,约束实例,曲 面,图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面的曲面方程：,A（x,y,z),x,y,z,x,y,z,约束实例,其约束方程的一般形式为,按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：,1.完整约束和非完整约束,式中n为系
4、统中质点的个数，s为约束方程的数目。,约束的类型,约束的类型,显含坐标对时间的导数的约束方程是微分方程，如果这方程不可积分成有限形式，则相应的约束称为非完整约束（或非全定约束）只要质点系中存在一个非完整约束，这个系统便称为非完整系统。,如果约束方程可以积分成有限形式，则这样的约束称为完整约束。方程中不显含坐标对时间的导数的约束为几何约束。当然，几何约束也属于完整约束。几何约束的一般形式为：,1.完整约束和非完整约束,完整约束,y,x,A,约束方程：,约束的类型,非完整约束,约束方程：,x，y、z 为球心坐标。,、为欧拉角。,1.完整约束和非完整约束,约束的类型,非完整约束,1.完整约束和非完整
5、约束,导弹追踪敌机的可控系统，要求导弹A的速度vA始终指向敌机B，即vA/AB，约束方程为：,这个微分方程不可积分成有限形式，因此，导弹所受的约束为非完整约束。,约束的类型,如果约束方程中不含时间t，这种约束称为定常约束或稳定约束。,2.定常约束和非定常约束,如果约束方程中含时间t，这种约束称为非定常约束或不稳定约束。,定常约束一般形式为,约束的类型,定常约束,非定常约束,2.定常约束和非定常约束,约束的类型,3双面约束和单面约束,由不等式表示的约束称为单面约束（或可离约束）。,由等式表示出的约束称为双面约束（或不可离约束）。,约束的类型,双面约束,3双面约束和单面约束,约束的类型,单面约束,
6、3双面约束和单面约束,约束的类型,虚位移自由度,质点或质点系在给定瞬时不破坏约束而为约束所许可的任何微小位移，称为质点或质点系的虚位移。,真实位移 实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。,可能位移 约束允许的位移，用r表示，它只需满足约束条件。,定常约束情况下的可能位移，非定常情况下假想约束“冻结”时的可能位移，用r表示。,虚位移也可表述为：,虚位移,虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关。,虚位移与实位移的区别：,与实际发生的微
7、小位移（简称实位移）不同，虚位移是纯粹几何概念，是假想位移，只是用来反映约束在给定瞬时的性质。它与质点系是否实际发生运动无关，不涉及运动时间、主动力和运动初始条件。,虚位移,例如，一个被约束固定曲面上的质点，它的实际位移只是一个，而虚位移在它的约束面上则有任意多个。,虚位移与实位移的区别：,虚位移,在定常约束的情况下，约束性质不随时间而变，因此，实位移只是所有虚位移中的一个。但对非定常约束，实位移不会和某个虚位移相重合。,约束方程,虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关(t 0)。,虚位移与实位移的区别：,虚位移,设有质点M被约束在斜面上运动，同时此斜面本身以匀
8、速v 作水平直线运动，这里，斜面构成了非定常约束。,v,M,t,虚位移与实位移的区别：,虚位移,虚位移与实位移的区别：,虚位移与实位移,虚位移,虚位移必须是约束所允许的。如何理解？,图1中机构，如果先给A点图示虚位移，那么B 点的虚位移就是错的，是约束不允许的。,图2中机构，如果先给A点图示虚位移，那么B 点的虚位移就是错的，是约束不允许的。,图1,O,A,B,r,rA,rB,图2,O,A,B,r,rA,rB,虚位移,实位移用dr 表示，其投影用dx，dy，dz 表示。,虚位移用r 表示，其投影用 x，y，z 表示。,以上r 和 x，y，z 表示等时变分。,虚位移,等时变分,等时变分运算与微分
9、运算类似，但t=0。,将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。,虚位移,在应用虚位移原理过程中，求出系统各虚位移间的关系是关键，常用方法有：,1.几何法 在定常约束的情况下，实位移是虚位移的一个，可用求实位移的方法求虚位移间的关系，特别是实位移正比于速度，所以可通过各点速度间的关系来确定对应点的虚位移关系。,如平动刚体上各点的虚位移相等，定轴转动刚体上各点虚位移与其到转轴的距离成正比；平面运动刚体则一般可用速度投影定理和速度瞬心法求两点虚位移间关系等。,虚位移,以图曲柄连杆机构为例，由于连杆AB可作平面运动，其速度瞬心为点P。,虚位移rA与rB方向如
10、图所示。,P,y,x,O,l,A,B,r,rA,rB,所以虚位移rA与rB大小间关系为,虚位移,2.解析法 对于较复杂的系统，各点的虚位移间关系比较复杂，这时可建立一固定直角坐标系，将系统放在一般位置，写出各点的直角坐标（表示为某些独立参变量的函数），然后进行变分运算，求及各点虚位移的投影。这种确定虚位移间关系的方法称为解析法。,或选取适当的固定坐标系，写出约束方程并进行变分，即可求得各点的虚位移间的关系。,虚位移,求变分，有,考虑到有关系，所以有,上面式子给出了A，B 两点虚位移的投影xA，yA、xB与虚位移的关系。,例如在图中，设曲柄长OA=r，连杆长AB=l。,则点A和B的坐标为,虚位移
11、,刚性杆,例如图示单摆，约束方程为,虚位移,一般情况，一个由n个质点的质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要3n个坐标，即xi，yi，zi（i=1，2,n）。如果系统受到有s个完整约束，其约束方程为,则系统的3n各坐标并不完全独立，只有k=3n-s个坐标是独立的，故确定该质点系的位形只需3n-s个坐标，我们说该质点系有3n-s个自由度。因此，确定受完整约束的质点系位形的独立坐标数目称为系统的自由度。,自由度,例如曲柄连杆机构：,式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，这一坐标完全确定了此质点系的位置。
12、因此该质点系有1个自由度。,这个质点系的约束方程可表示成,自由度,点M被限制在以固定点O为球心、l为半径的球面上运动。,如取固定参考系Oxyz,则球面摆的约束方程为,例如球面摆:,质点M的自由度,？,自由度,虚功理想约束,力在虚位移上所做的功称为虚功，记为W。因为虚位移是假想位移，所以虚功也是假想的概念。,一般来说，主动力和约束力都可以做虚功。,因为虚位移是微小量，所以虚功计算与元功计算类似。例如力F 在虚位移r上所做的虚功为,虚功,如果质点系所受的约束力在任意虚位移上所做虚功之和恒等于零，则这样的约束称为理想约束。,式中FNi 是作用在第i个质点上的约束力。,故理想约束条件可表示成,理想约束
13、,这些约束包括固定的或运动着的光滑支撑面、铰链、始终拉紧而不可伸长的软绳、刚性连接，以及作纯滚动刚体所在的支撑面等等。理想约束是大量实际情况的理论模型。,动能定理里曾列举了约束力在质点系实位移上元功之和恒等于零的各种情况。由于在定常约束情况下，实位移可以从虚功转化而来，彼此具有相同的几何性质，所以，那里所讲的各种情况也属于理想约束。,理想约束,虚位移原理,具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等于零。,表达式为,在实际应用时，常将式写成解析式，得相应的平衡条件,上式称为静力学普遍方程或虚功方程。,虚位移原理,必要性证明:由刚体静力学知
14、，此时作用在系统内任一质点Ai上的主动力Fi和约束反力FNi之矢量和必等于零，即满足条件,对每个质点选取虚位移ri，则对应的虚功之和等于零，即,证明:,对全体i求和，得,由于理想约束的假设，所以原式成立。,虚位移原理,充分性证明：采用反证法。设在题示条件下质点系并不平衡，则必有些质点（至少一个）上作用有非零的合力FRi=Fi+FNi，由于运动是从静止开始的，故它的实位移dri必与FRi同向，所以FRi将做正功，即,对全系统求虚功和，并考虑到理想约束条件，将得到,但是，在定常约束条件下，可取实位移dri相重合虚位移ri，于是有,它和原设条件式矛盾，可见，质点系中没有任可质点能在此条件下进入运动，
15、故充分性得证。,虚位移原理,确定研究对象：常选定整体为研究对象；,5.列出虚功方程并求解。,2.约束分析：是否理想约束？,3.受力分析：求主动力之间的关系或平衡位置时：只画主动力，求约束反力时：解除约束，视约束反力作为主动力。,4.给出系统一组虚位移，找出它们之间的关系；,应用虚位移原理解题的步骤,曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度和。不计机构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。,O,A,B,r,FA,FB,例题6-1,以rA和rB分别代表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位移，如图所示。,解：,可见 A，B 两点的虚位移大小之比等于,根据虚位移原理的平衡方程
16、，有,从而解得,O,A,B,r,FA,FB,因 AB 是刚杆，两端位移在 AB 上的投影应相等，即,例题6-1,连杆AB长为l，杆重和滑道、铰链上的摩擦均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力F1和F2之间的关系。,y,l,A,B,x,F1,F2,O,例题6-2,系统为理想约束系统。,由速度投影定理：,由虚功原理：,l,A,B,x,F1,F2,O,应用几何法,解:,例题6-2,约束方程：,变分得：,由虚功原理：,l,A,B,x,F1,F2,O,应用解析法,例题6-2,在图示台秤结构中，杠杆COA取水平位置时，力F与G之间的关系与物体在秤台DI上的位置无关。设JE:JH=3，求OC:OB 及F:G
17、。,思考题,解:,机构要求COA水平时,秤台DI亦水平。,给A点虚位移rA，由虚位移原理得到：,找虚位移之间的关系：,rH=rD=rB,由 JE:JH=3，可得rE=3rD,(重物与砝码之间的关系就可由秤杆上的刻度数值联系起来。),rE=rC,C,D,A,J,F,G,H,I,O,rA,rC,rB,rH,rE,E,rD,思考题,B,已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点G作用一铅直方向的力F，求支座B的水平约束反力FBx。,A,B,C,D,E,G,F,例题6-3,例题6-3,此题可用虚位移原理来求解。用约束力FBx代替水平约束，并将FBx当作主动力
18、。,其变分为,因坐标,设B，G二点沿x，y的虚位移为xB和yG，根据虚位移原理，有,(b),解：,代入式（a），得,(a),消去，解得,例题6-3,如果此题在G，C二点之间再连上一根弹簧，弹簧刚度为k，且在图示瞬时弹簧已有伸长量0。此弹簧对G，C二点的拉力FG，FC为系统内力，如图所示。,其变分为,令 s=GC，由图有,(c),讨论,例题6-3,消去，解得有弹簧时，B处的水平约束反力为,图示位置，弹簧有伸长量0，则弹簧拉力为FC=FG=FCG=k 0。当G，C二点间有相对伸长的虚位移s时，弹簧力所作虚功为负。根据虚位移原理，,将式（b），（c）代入上式，注意FCG=k 0，得,例题6-3,装在
19、汽车上的升降台由四根长2b的均质杆AC,BD,DE,CG及平台GE组成,除B，E两处可沿光滑水平面滑动外,其它地方均为光滑铰链连接，升降台靠液压缸的伸缩控制升降。已知各杆重量均为W,平台重量F，DJ=CH=b/2,在图示位置处于平衡,试求作用在液压缸上的力。,讨论1,1.解除液压缸对升降台的约束，代之以相应的约束力F1、F2，并视为主动力。,2.以整体为研究对象，用解析法确定虚位移关系。,取坐标轴 x、y,则,3.建立虚功方程。,解：,解得,讨论1,如图所示三铰拱，拱重不计。试求在力F及力偶矩M作用下铰B的约束力。,A,B,M,F,C,D,例题6-4,例题6-4,例题6-4,解：,1.求铰B的
20、水平约束力。解除铰B的水平约束，换成水平辊轴再加上水平约束力FBx，系统具有一个自由度。,三铰拱是一个受完全约束的结构，使用虚位移原理时，必须首先解除约束，赋予运动自由度。,虚位移原理给出：,给曲杆AC一微小转角，曲杆BC的转动中心在C*，可得各力作用点的虚位移分别为,FBx,D,A,M,F,C,a,a,a,a,B,例题6-4,2.求铰B的垂直约束力。解除铰B的垂直约束，换成垂直辊轴再加上垂直约束力FBy。给杆AC一微小转角，杆BC的转动中心在A，可得有关虚位移为,表示 在x轴的投影。虚位移原理给出,B,M,F,C,A,FBy,D,例题6-4,某厂房结构受载荷如图所示，求支座C的约束反力。,讨
21、论2,解:,1.解除支座C的约束，代之以约束反力FNC,并视之为主动力。,2.机构运动分析。当机构有虚位移时，BGC刚架绕B点定轴转动,而AF刚架作瞬时平动,HD刚架作平面运动。,3.分析各虚位移之间关系。,给C点虚位移rC。设BG刚架绕B点转过微小角度，HD刚架绕速度瞬心CHD转过微小角度。,讨论2,分析H点虚位移。,rH=BH1=CHDH2,再分析各力作用点E、K、G、C点虚位移。,讨论2,4.建立虚功方程。,解得,讨论2,如图所示为连续梁。载荷 F1=800 N，F2=600 N，F3=1000 N，尺寸a=2 m，b=3 m，求固定端A的约束力。,a,a,a,a,a,a,b,A,B,C
22、,D,E,F,G,H,F1,F2,F3,例题6-5,例题6-5,用几何法求各点的虚位移。由图可知：,1.为了求出固定端A的约束力偶MA，可将固定端换成铰链，而把固定端的约束力偶视作为主动力。,(a),解：,设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分表示，有,例题6-5,因广义坐标的独立变分为任意微量,代入式(a)得,故,例题6-5,例题6-5,用几何法求各点的虚位移。因杆AB只能平动，故：,2.为了求出固定端A的约束力FA，应将A端约束换成铅直滚轮，而把固定端的铅直约束力FA视作为主动力。,(b),设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分yA表示,y,例题6-5,代入式（b）得,因，故,例题6-5,杠杆式压
23、力机简图如图所示。手柄O1A通过拉杆BC带动连杆机构OCD，推动压板D进行挤压。试求在图示位置平衡时，垂直于手柄的主动力F与FN压力间的关系。,例题6-6,例题6-6,根据刚体不变形的性质，刚体上任意两点的虚位移在两点连线上的投影必定相等。对于杆CD，有,选取机构为研究对象，图上仅画出作用在质点系上的主动力F和FN。rA，rB，rC和rD分别表示A，B，C和D点的虚位移，均画在图上。,主动力在虚位移的元功之和为零，有,F rA FN rD=0(a),O,O1,B,A,C,D,l,rA,rB,rC,rD,FN,F,解：,例题6-6,或,对于杆BC，有,(b),或,(c),O,O1,B,A,C,D
24、,l,rA,rB,rC,rD,FN,F,例题6-6,其中n为长度O1A与O1B的比值。由（b），（c），（d）三式可得rA与rD的关系为,对于杆AB，有,(d),(e),例题6-6,O,O1,B,A,C,D,l,rA,rB,rC,rD,FN,F,由此可知。为了用较小的推力F产生较大的压力FN，应当使和尽量小。,将式（e）代入（a），可得F，FN两力的比为,例题6-6,O,O1,B,A,C,D,l,rA,rB,rC,rD,FN,F,图中两根匀质刚杆各长 2l，质量为 m，在 B 端用铰链连接，A 端用铰链固定，而自由端 C 有水平力 F 作用，求系统在铅直面内的平衡位置。,例题6-7,本例的系统
25、具有两个自由度，它的位置可以用角 1 和 2(以顺时针为正)来表示。各主动力的作用点有关坐标是,解：,这就是约束方程。,当角 1 和 2 获得变分 1 和 2 时，各点的有关虚位移是,例题6-7,根据虚位移原理的平衡方程，有,即,例题6-7,因为 1 和 2 是彼此独立的，所以上式可以分解成两个独立方程,从而求得平衡时的角度1 和 2,例题6-7,广义坐标广义坐标形式的虚位移原理,例如在图中，选为广义坐标，则有,1.定 义,2.注 意,在具体问题中，广义坐标的选取要视问题的性质和方便而定。,3.例 子,用以确定质点系位形的一组独立参变数称为广义坐标。,广义坐标,例如在图中球面摆。,o,l,y,
26、z,x,M,可以选任意合适的变量作为广义坐标。,选为，为广义坐标，则有,广义坐标,一般情况下，由n个质点A1，A2，,An组成的系统，受到s个约束（即有s个独立的约束方程）时，总可以选取k=3n-s个广义坐标q1,q2,qk来确定它的位形。于是，质点系内任一点Ai的矢径可表示成广义坐标的函数，即,取变分，可得虚位移间的广义坐标变换式,广义坐标的等时变分称为广义虚位移，记为qj。,1.定 义,2.虚位移间的广义坐标变换式,广义虚位移,求变分，有,例子：设曲柄长OA=r，连杆长AB=l，则点A和B的坐标为,矢径可表示成广义坐标的函数,取变分，可得虚位移间的广义坐标变换式,广义虚位移,对于完整系统，
27、独立的广义坐标变分数目（即广义虚位移数）等于系统的独立的虚位移的个数，因而也等于系统的自由度数目。,3.一个结论,广义虚位移,令,式中的,将前面所得虚位移间的广义坐标变换式,1.定义,代入虚位移原理,有,则上式为,称为对应广义坐标 qj 的广义力。,广义力,2.广义力的量纲,广义力的量纲由它对应的广义虚位移qj 而定。,广义力,当qi的量纲是长度时，Qj的量纲就是力量纲；当qj量纲是角度时，Qj的量纲就是力矩的量纲。,广义力,因,故,如果用直角坐标，将Ai的坐标xi，yi，zi用广义坐标表示成,3.广义力 Qj 的解析表达式,广义力,因而广义力Qj的表达式可写成解析式,又,广义力,对于完整系统
28、，各个广义系统的变分qi都是独立的，故得,即受双面、定常、理想、完整约束的质点系，其平衡的必要和充分的条件是，系统的所有广义力都等于零。,上式表示一组方程，是彼此独立的，其数目等于广义坐标的数目，也恰好等于系统的自由度。,广义坐标形式的虚位移原理,应用广义力定义,求广义力的方法,特别指出，求广义力时并不一定要从定义即出发。在解决具体问题是时，从元功出发直接求广义力往往更为方便。注意到各广义坐标q1,q2,qk是彼此独立的，因此为求某个广义力Qt可以取一组特殊的虚位移，只令，而其余的，从而写成,式中 表示仅虚位移qt非零时系统上主动力的虚功之和。于是，求得对应广义坐标qt的广义力,应用虚功,求广
29、义力的方法,主动力在坐标轴上的投影分别为,于是广义力表达式可写成,在主动力均为有势力的情形下，广义力Qj有更简明的表达形式。,由,系统有势能函数,主动力均为有势力的情形下的广义力,亦即，当主动力有势时，对应于每个广义坐标的广义力等于势能函数对该坐标的偏导数冠以负号。,故当主动力有势时，质点系的平衡条件可写成,或简写为,即，在势力场中，具有理想约束的质点系平衡条件为：质点系势能对于每个广义坐标之偏导数分别为零。,主动力均为有势力的情形下的广义力,即，在势力场中，具有理想约束的质点系平衡条件为：质点系势能在平衡位置处一阶变分为零。亦即平衡位置上保守系统的势能取极值。,故当主动力有势时，质点系主动力
30、的虚功和为,故质点系的平衡条件亦可写成,主动力均为有势力的情形下的广义力,杆OA和AB以铰链连接，O端悬挂于圆柱铰链上，如图所示。杆长OA=a，AB=b,杆重和铰链的摩擦都忽略不计。今在点A和B分别作用向下的铅垂力FA和FB，又在点B作用一水平力F。试求图示位置时广义力，及平衡时1，2与FA，FB，F之间的关系。,O,A,B,1,2,x,y,例题6-8,杆OA和AB的位置可由点A和B的四个坐标xA，yA和xB，yB完全确定，由于OA和AB杆的长度一定，可列出两个约束方程,因此系统有两个自由度。现选择1和2为系统的两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。,1.用第一种方法计算。,解：,(a)
31、,O,A,B,1,2,x,y,FA,FB,F,例题6-8,代入式（a），系统平衡时应有,因,故,(c),(b),O,A,B,1,2,x,y,FA,FB,F,解出,(d),例题6-8,保持2不变，只有1时，由式（b）的变分可得一组虚位移,2.用第二种方法计算。,O,A,B,1,x,y,1,例题6-8,保持2不变，只有1时，由式（b）的变分可得一组虚位移,2.用第二种方法计算。,将式（e）代入上式，得,则对应于1的广义力为,(e),O,A,B,1,x,y,1,例题6-8,代入对应于2的广义力表达式，得,保持1不变，只有2时，由式（b）的变分可得一组虚位移,两种方法所得的广义力是相同的，显然应得到与式(d)相同的结果。,O,A,B,1,2,x,y,2,例题6-8,求图中所示平面铰链缓冲机构的平衡位置。已知机构上部的载荷是 F，各杆的长度和弹簧的原长都是 l。弹簧的刚度系数是 k，不计机构的自重和摩擦。,例题6-9,例题6-9,解:,以底线作为重力势能的零点位置，以弹簧原长作为弹簧势能的零点位置。取 为广义坐标，则系统的势能函数,而系统的平衡位置的势能应取极值，即有,例题6-9,由此方程求得平衡位置的三个解,但从实际构造看，可能的平衡位置只有两个，即,例题6-9,Thank You,
