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1、理论力学(II),第 三 章 分析力学基础,自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念.虚位移原理的广义坐标描述便是:对应于各广义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件.虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程.动力学普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程.确切地说是第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方程通式.,3 1 自由度与广义坐标,自由度:独立的虚位移的个数.广义坐标:确定质点系空间位置的独立变量.:在完整约束下,自由度的个数与广义坐标的个数相等.完整约束下,若系统有n 个质点,s 个约束方程,则自由度N=3n s,用直角坐标
2、系下的投影表达为:,3.广义力.广义力的定义须用数学式表达.这里要说的是:广义力是质点系中一群力和力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念.它与广义坐标直接相关,不同的的广义坐标对应着不同的广义力.,称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力.(k=1、2、3N),对于完整的理想约束下的力学系统,质点系的虚功表达可作如下的演变:,上式中令,则,3 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件,Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力.(k=1、2、3N),上式中令,所以,由于各广义坐标是互相独立的,而虚位移是不能为零的.因而有:,即是:如果质点系统平衡,则各广义坐标对应的广义力分别为零.,例二.平行四
3、杆机构,尺寸a、b、l 及力P、F 均为已知.求:平衡时=?=?,解:这是一个双自由度的力学系统.选广义坐标、.(、分别为与水平线的夹角).由本题的特点,建立直角坐标系,求出有关的虚位移.(不作功的虚位移不必求出).,由、的独立性及 0、0 必有:,注意前面这两行虚位移原理方程的展开式:,即是:,上式是两个自由度力学系统的虚位移原理用广义坐标的表达式.如果一个有N个自由度的力学系统,则虚位移原理的广义坐标的表达式为:,对比例题的结果,不难理解这样一个结论:对于完整理想约束的力学系统,其静止平衡的充要条件是:对应于每一个广义坐标的广义力分别为零.如果广义力不为零,质点系必然运动.描述其运动,我们
4、可用后面将要讲到的 拉格朗日方程.,解:系统有两个自由度,选广义坐标 x1 和x2.,习题选解:习 17 15(P275)图示系统中,重物P3,倾角,皆为已知.不计摩 擦,忽略滑轮和绳子的质量.求平衡时,重物P1 和P2 的大小.,习 17 17(P276)杆系在铅垂面内平衡,AB=BC=l,CD=DE,且AB,CE 为水 平,CB为铅垂.均质杆CE 与刚度为 k1 的弹簧相连,重为P 的均质杆AB 的左端A 处装有一刚度为 k2 的螺旋弹簧.BC 杆上作用有线性分布载荷,其最大的集度为q.BC 杆的重量不计.求此时水平弹簧的变形量 和 螺旋弹簧的扭转角.,解:两个自由度.选广义坐标(螺旋弹簧
5、的扭转角)和(线弹簧的伸长量),由广义坐标的虚位移原理:,对本题有:,由质点系的达朗伯原理:,由虚位移原理:,在理想约束下:,即是:,(1)式称为动力学普遍方程.若用直角坐标分量来表达则为:,3 3 动力学普遍方程,(2),例一:(书上 例18 2)两个半径为r 的均质轮质量皆为m1,对轮心的转动惯量各为J.连杆的质量为m2,其两端与两轮的轮心以铰链相连.设圆轮在倾角为的斜面上作纯滚动,求轮心的加速度.,解:设轮心的加速度为a.系统的运动分析及达朗伯惯性力简化如图所示.,由动力学普遍方程:,例二(书上例 18 3)图中二均质圆柱轮质量皆为m,半径皆为r.轮I 绕O 轴转动,轮II 上绕有细绳且
6、细绳缠于轮I 上.二轮在同一平面内运动.若细绳的直线部分为铅垂时,求轮II 的中心C 的加速度.,解:运动分析及达朗伯惯性力简化如图.,根据动力学普遍定理,则有:,代入上式中可得:(接后页),3 4 拉格朗日方程(第二类),预备知识:设一个完整约束的力学系统有n个质点(i=1、2、3n)每一个质点在空间的位置由N 个广义坐标和时间唯一确定.即:,于是,每一个质点的虚位移是:,两个经典公式：,证明:,又:,对比可得:,根据上式,下面有一个关系式在推证过程中要用到:,在 一章里,有一个关系式也要用到.下面便是讲义里的一段:,称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力.(k=1、2、3N),对于完整
7、的理想约束下的力学系统,质点系的虚功表达可作如下的演变:,上式中令,则,推证过程如下:,由qk 的独立性,则分别有:,这就是著名的第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统或刚体系统的运动微分方程的通式.系统有几个自由度,就有几个独立的微分方程式.,例一.均质圆环的半径为R,质量为m,可在水平面上只滚不滑.有一质点A固结在轮缘上,质量也是m.初始平衡静止.求:受初干扰后系统的运动微分方程.,解:受干扰后,圆环在水平面上往复滚动.一个自由度,选 角为广义坐标.,例二.(习 18 6)三个齿轮的质量分别为m1、m2、m3，相互啮合.各轮可视为均质圆盘,其半径分别为r1、r2、r3.三个齿轮上分别
8、作用力偶M1、M2、M3,其转向如图示.求齿轮1的角加速度.,解:系统为一个自由度选1轮的转角1 为广义坐标.,由定轴轮系的传动比可知:,解答后的提示:此题求的是1轮的角加速度,似乎不是微分方程.其实,最简单的微分方程就是相关坐标对时间的二阶导数与力、力偶的关系.(力、力偶或为常量或为相关坐标及时间的函数).可以证明:如果一个系统的动能表达式仅为广义速度的齐次函数,则可通过拉格朗日方程求 得各个物体的加速度.,例三.求图示力学系统的运动微分方程.(参见P162 例 17 6),解:这是两个自由度系统,选广义坐标和求广义力的工作已在上一章完成.,:势力场下的拉格朗日方程 在势力场下,势能是广义坐
9、标的函数.,例四.(习 18 4)解:一个自由度,选广义坐标.,选A处水平面为势能零点.,例五.图示均质圆盘质量为m,半径为r;均质杆质量亦为m,长l.设圆盘在水平面上纯滚动.求:系统的运动微分方程.,解:系统有两个自由度,选广义坐标 x、.,选A处水平面为重力势能零点,例六.(习18 17)解:这是一个双自由度的自由振动系统.以各自静平衡的位置建立广义坐标x1 和x2.,选静平衡的位置为重力和弹力势能零点,习 18 10 均质杆AB 长为l,质量为m,借助于其A 端的辊子沿斜面滑下,斜面的倾角为 角.不计辊子的质量和摩擦,求杆的运动微分方程.又,设杆AB 当=0 时由静止开始运动,求开始运动
10、时斜面所受到的压力.,解:两个自由度,选广义坐标x 和,整理后可得:,如果计算系统的势能,则选系统开始运动时过A 点的水平面为重力的零势面.,B,可得上面所求的结果.,若系统在静止开始运动瞬时=0.即是 当t=0 时=0.且,变成,由(1)(2)联立可得:,为求A 处的约束反力,分析质心C 的加速度如图示:,则系统的运动方程,例七.综 21(P190)解:双自由度,选广义坐标 x1、sr.,选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点,例八.(习 18 21)解:选广义坐标,(设滑轮O 的半径为R).,习 18 13 质量为 m 的质点在一半径为 r 的圆环内运动,圆环对AB 轴的转动惯量为 J.欲使此环在矩为M 的力偶的作用下以等角速度 绕铅直轴 AB 转动.求 力偶矩M 和质点m 的运动微分方程.,解:双自由度,选广义坐标 和.,补充习题:已知均质圆盘 质量为M,半径为r,在水平面上作纯滚动.小球B 质量为m,以细绳系与圆盘的中心C 相连,绳子的长度为l.圆盘中心连一水平弹簧,其弹簧常数为 k.试写出系统的运动微分方程.,解:系统有两个自由度,取广义坐标x 和.(x 坐标的原点宜取在系统静平衡时与 圆盘中心重合的位置),取过圆盘中心的水平位置为系统的重力势能零点;弹簧原长时的A 点处为弹力势能零点.,则 系统的势能表示为:,
