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1、第一章分析力学基础,18世纪提出了处理多个约束的刚体系统动力学问题。利用矢量力学分析出现以下问题：,对于复杂约束系统约束力的性质和分布是未知的；表述形式复杂。如球坐标系下的运动方程。质点系问题为大量方程的微分方程组。,1788年拉格朗日发表了分析力学一书，提出了解决动力学问题的新观点和新方法：采用功和能量来描述物体的运动和相互作用力之间的关系。,与矢量力学相比，分析力学的特点：,（3）追求一般理论和一般模型，对于具体问题，只要代入和展开 的工作，处理问题规范化。,（1）把约束看成对系统位置（速度）的限定，而不是看成一种力。,（2）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学 分析方法，
2、得到标量方程。,（4）不仅研究获得运动微分方程的方法，也研究其求解的一般方 法。,在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目，称为质点系的自由度数，简称自由度。,11 自由度和广义坐标,例：确定一个质点在空间的位置需3个独立的参量,自由质点为3个自由度。,例：质点M 被限定只能在球面,的上半部分运动,由此解出,这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定,它的自由度数为2。,n个质点组成的质点系，,若受到s个完整约束作用,自由度数为 N=3n-s,描述质点系在空间中的位置的独立参数称为广义坐标。,对于完整约束,广义坐标的数目系统的自由度数,思考：非完整约束，广义坐标数目和系统
3、的自由度数目的关系？,拉格朗日广义坐标,约束方程为,系统N个独立的坐标参量表示为,系统的n个坐标参量,设由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束,例：一单摆在空间摆动，摆长为l。,约束方程为,自由度数为2。,（单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。,思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度数目的关系如何？,描述导弹的位置：,质心的位置,导弹的纵轴和x 轴的夹角,独立的广义坐标数目为3,约束方程,导弹的速度方向要对准飞机的质心,非完整约束,独立的虚位移数目自由度数目2,设作用在第i个质点上的主动力的合力,在三个坐标轴上的投影分别为,虚功方程,12 以广义坐标表示的质点系平衡条件,
4、1.以广义坐标表示的质点系平衡条件,由于广义坐标的独立性,可以为任一值,如令,质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。,用广义坐标表示的质点系的平衡条件,求广义力的两种方法,1.直接计算法（解析法）,2.几何法,令某一个 不等于零,而其他N-1个广义虚位移都等于零,利用广义虚位移的任意性，,例11,试求：平衡时 与，之间的关系。,系统有两个自由度。,现选择 和 为系统的两个广义坐标,计算其对应的广义力 和,用第一种方法计算广义力：,解：,故,系统平衡时应有,用第二种方法计算：,则对应于 的广义力为,可得一组虚位移,保持 不变，,只有 时,可得另一组虚位移,对应于 的广义力,例 12,系统具
5、有两个自由度。,广义坐标：,首先令 向右，,主动力所做虚功的和为,对应广义坐标 的广义力为,解：,因为系统平衡时应有,再令 向下，,2.以广义坐标表示的保守系统的平衡条件及系统的稳定性,如果作用在质点系上的主动力都是有势力，势能为,各力的投影为,虚功为,虚位移原理的表达式成为,在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点 系的势能在平衡位置处一阶变分为零。,如果用广义坐标 表示质点系的位置。,则质点系的势能可以写成广义坐标的函数,由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式,在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能 对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。,不稳定平衡：在平衡位置上系统势能具有
6、极大值。,随遇平衡：系统在某位置附近其势能是不变的。,稳定平衡：在平衡位置处系统势能具有极小值。,对于一个自由度系统，,系统具有一个广义坐标q，,因此系统势能可以表示为q的一元函数,即,当系统平衡时，,在平衡位置处有,如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能具有极小值。,即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零,一个自由度系统平衡的稳定性判据,例 13,试求：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。,解：,由,有,对于稳定平衡,要求,即,13 动力学普遍方程,n个质点组成的系统,第i个质点,，。,惯性力为,理想约束作用,在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在
7、虚位移上所作的功的和等于零。,写成解析表达式,动力学普遍方程,特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。,例 14,已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 的 重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩 擦都忽略不计。,求：质量为 的物体下降的加速度。,解：,取整个滑轮系统为研究对象。,由动力学普遍方程,例 15,已知：两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为m。,求：当细绳直线部分为铅垂时，轮II中心C 的加速度。,解：,研究整个系统。,此系统具有两个自由度,取转角 为广义坐标,令,则点C 下降,动力学普遍方程,（a）,令,则,代入动力学普遍方程,或,（b）,运动学关系
8、,（c）,联立式（a）（b）（c）解出,14 第二类拉格朗日方程,设由n质点组成的系统受s个完整约束作用，系统具有N=3n-s个自由度。,设 为系统的一组广义坐标,对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立的。,广义惯性力,（1）,证明：,注意 和 只是广义坐标和时间的函数,（2）,证明：,对时间求微分,而,若函数 的一阶和二阶偏导数连续,得到,第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程,方程式的数目等于质点系的自由度数。,如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力）,于是拉格朗日方程可以写成,引入拉格朗日函数（又称为动势）,则拉格朗日方程又可以写成,例 16,试求：当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，此系统的运动微分方程。,解：,其中 为平衡位置处弹簧的伸长量,此系统的动能为,系统的动势为,代入拉格朗日方程,得,注意到,则系统的运动微分方程为,例 17,试求：此系统的运动微分方程。,解：,选 和 为广义坐标,（a）,将式（a）两端对时间求导数,（b）,系统的动能,则系统的势能为,选质点 在最低处时的位置为系统的零势能位置,由此得,把以上结果代入拉格朗日方程中,（e）,固有角频率为,质点 的摆动周期将趋于普通单摆的周期,
