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1、,第二章 分析力学(Analytical Mechanics),平衡问题-虚功原理,基本概念-约束.自由度.广义坐标.虚位移,动力学,位形空间,相空间,拉格朗日方程,哈密顿原理,哈密顿正则方程,哈密顿原理,泊松括号,运动积分,L判据.H判据.泊松括号判据,时空对称性.不可观测量和守恒定律,1.基本概念(Basic Concepts),牛顿力学两大困难,约束力未知,坐标不独立,?,一.约束,定义:,物体运动过程中受到限制,约束方程:,约束分类:,几何约束:,微分约束:,完整约束与非完整约束:,几何约束,可积分的微分约束,完整约束,稳定约束与非稳定约束:,可解约束与不可解约束,(2),x,y,(X
2、,y),(1),几何约束:,微分约束:,demonstration,m,m,X2,y2,X1,y1,c,Example:,x,y,(3),(4),.(4),任一微分约束均可表示为,如果:,则微分方程可积,爱因斯坦求和约定,是否可积?,完整约束:,非完整约束:,几何约束和,不可积分的微分约束,可积分的微分约束,可解约束与不可解约束:,用不等号表示约束,可解约束,用等号表示约束,不可解约束,二.自由度和描述度,系统有N个质点,受k个完整约束和m个非完整约束,定义自由度:,f=3N-(k+m),描述度:描述一个力学系统所需独立坐标数目:S,完整约系,f=S,非完整约系,f S,三.广义坐标(Gene
3、ralized coordinates)位形空间(Configurational Space),完整约束系统的自由度为S(f),则可选S个独立参量来描述此系统,广义坐标,q(q1,q2,q3qs),变换方程,Attention:,广义坐标数目由自由度确定,“广义”二字的含义,对给定力学系统,广义坐标选取不唯一,广义坐标正确与否的判断,全部直角坐标能用广义坐标表示则对,如果全部直角坐标不能用广义坐标表示则错,广义坐标克服了牛顿力学中坐标不不独立的困难,位形空间,由S个广义坐标张开成S维抽象空间,qi,qj,四.实位移 可能位移 虚位移(Real displacement,Possible dis
4、placement,Virtual displacement),设系统有N个质点,受k个几何约束,特点:唯一性 代表真实运动,实位移,(i=1 2 3N),唯一性,代表真实运动,既满足运动规律又满足约束方程,dt0,需要时间,实位移特点,不考虑运动规律限制,只考虑约束限制条件下发生的位移,可能位移,t时刻:,t=dt 时刻:,Attention:,不考虑运动规律限制,考虑约束限制条件,d t 0,可能位移不唯一,可能位移的特点,可能位移产生的原因,约束变动引起,在约束面内各质点具有不同可能速度同,共性,个性,虚位移,不考虑运动规律限制,时间被冻结,约束被“凝固”,t=0!,满足约束条件,虚位移
5、特点,不唯一,可能位移,虚位移不唯一,五.理想约束,实例,m1,m2,非稳定约束,在虚位移下的虚功=0,对可能位移所做元功0,m1,m2,T1,T2,y1,y2,五.理想约束,虚功:,力在虚位移下所做的功,理想约束:,若作用在力学系统上所有的约束力在任意虚位移下所做的虚功之和为零,2.虚功原理(Principle of Virtual Work),表述:,完整的理想约束系统处于平衡的充要条件是,证明：,必要性,系统处于平衡时,充分性：,反证法,系统不平衡,系统必平衡,定义:,广义力,虚功原理,保守系,Attention:,广义力的计算,广义力的数目由自由度决定,广义力既可是力又可以是力矩，决定
6、于广义坐标,还可是其它物理量,不要将广义力和力混淆,已知：,求：广义力,解：,用虚功方法求,取广义坐标分别为,虚功原理解题步骤,分析约束,确定自由度,选好广义坐标,写出主动力作用点的坐标并对其变分,代入虚功原理公式中求解,Attention:,静系中的平衡,只有广义坐标方可独立变化,虚功原理中不出现约束力,只有正确写出,例题1,半径为a的光滑半球形碗固定在水平面上。一匀质棒斜靠在碗缘，在碗内长度为c,试用虚功原理求棒全长。,y,x,mg,c,分析,o,A,B,D,坐标数,3,约束数目,2,自由度数目,1,demonstration,y,x,mg,c,A,B,D,x,D,o,解：,取为广义坐标，
7、设杆长为,利用广义力解,例二,o,A,B,x,y,分析,坐标数,4,约 束,2,自由度,2,广义坐标,c,D,demonstration,解：,取如图所示，为广义坐标,利用广义力解,A,B,C,D,E,F,O,x,y,分析,坐标数,6,约 束,6,自由度,0,广义坐标,?!,解除一个约束,一个自由度,W,例三,解:,长为 的匀质杆AB一端靠在光滑墙上,另一端靠在光滑固定曲面上,如果杆在与竖直墙间的夹角 的任意位置均能平衡,试求曲面形状.,解:,取如图所示为广义坐标,例四,由虚功原理有,积分上式,P162,10-3,取广义坐标为,求相应广义力,3.完整系的拉格朗日方程(Lagranges Equ
8、ation for Holonomic System),一.达朗贝尔-拉格朗日方程,平衡方程,牛顿力学,动力学方程,达朗贝尔原理,达朗贝尔-拉格朗日方程,二.完整系的拉格朗日方程,f(q,t),证明:,两个重要公式,q1,q2,qs,t,(=1 2 3s),=?,完整系的拉格朗日方程,对保守系,L=T-V 拉格朗日函数,Summary:,T=,V=V(q),L=T-V,L,L,拉格朗日函数不唯一!,L可以给出力学系统的所有信息,规范不变性,4.运动积分的拉格朗日判据(Constants of the Motion in the Lagranglan Formulation),一.循环坐标,广义
9、动量:,循环坐标:,则称q为循环坐标,p=p 0(conservation),Attention:,循环坐标是否出现及出现的多少 是判断广义坐标是否合适的标志,循环坐标是否出现与广义坐标选取有关,二.动能表达式,数学补充:欧拉齐次函数定理,如果f(x1 x2 x3 xN)是x1 x2 x3 xN 的n次齐次函数,即对任意t,有,则称,n次齐次函数,Example:,二次齐次函数,欧拉齐次函数定理:,两边对t求导,证明,Example:,欧拉齐次函数定理:,二次齐次函数,系统有N个质点,自由度为S,动能表达式,三.广义能量积分,定义广义能量,如果,对完整,保守,稳定,非稳定保守系统,E不守恒?,
10、运动路径,Summary:,循环坐标是否出现与广义坐标选取有关,不要将,在涉及相对运动时,广义能量是否代表体系机械能与参照系有关,一般情况下,例题,一质量为m的小环套在一光滑抛物线金属丝x2=4ay上滑动,金属丝以匀角速绕y轴转动,试写出L,H,E.,解:,在转动坐标系中,坐标数:,2,约束:,自由度:,1,取如图所示,为广义坐标,=?,=0,=?,Conclusion:,在非惯性参照系中:,满足完整,保守,稳定,惯性离心力:,相对动能:,在静系中:,坐标数:,约束:,自由度:,3,1,取如图所示,为广义坐标,静系中的机械能E,Summary:,自由度与参照系无关,约束是否稳定与参照系有关,广
11、义能量是否代表机械能亦与参照系有关,弄清,拉格朗日方程的应用,解题步骤,分析约束,确定自由度,选好广义坐标,写出体系的动能和势能及拉格朗日函数,代入相应方程求解,解题注意点,广义坐标选取至关重要,函数关系:,动能形式柯尼西定理运用,T应是绝对动能,例1,用拉格朗日方程求自由质点在球坐标下广义力的表达式.设其受力在r,三个方向的分量分别为Fr,F,F,解:,广义力,非保守系拉氏方程,必先求动能,x,y,z,例2,质量为m,长为2a 的匀质棒AB,其A端可在光滑的水平导槽上滑动,而棒本身又可在竖直平面内绕A点摆动.C点受一水平恒力F作用,试用拉氏方程求其运动微分方程.,A,B,分析,坐标数:,约束
12、数:,自由度:,取如图所示,为广义坐标,根据柯尼西定理,广义力,此题亦可用保存系拉格朗日方程,重力势能:,恒力势能:,A,B,例3,一半径为r,质量为m的实心圆柱体在一半径为R的大圆柱体内表面作纯滚动,试用拉格朗日方程求其在平衡位置附近作微振动的周期.,分析,坐标数,约束数,oo1,自由度,demonstration,取为广义坐标,质量为m的相同三质点等距离系于长为2 的不可伸长的轻绳上,系统静止在光华水平面上.若中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.,例五:,分析,坐标数,约束数,自由度数,取如图所示,为广义坐标,demonstration
13、,y,解:,?,相遇时,利用守恒定律求解,y是循环坐标,例六,求一质量为m带电为q的带电粒子在电磁场,预备知识,罗仑兹力,矢势,解题思路,麦克斯韦方程组,取直角坐标,为广义坐标,广义速度,广义力,=?,与速度相关势,例七,质量为m的相同二质点用一长为 的轻杆连接初始时直立静止在光滑水平面上,以后任其倒下,试用拉格朗日方程求杆落地时的角速度.,分析,坐标数,约束数,自由度数,取如图所示,为广义坐标,根据柯尼西定理,拉格朗日方程,?,约束稳定,质量为m的质点系在弹性 系数为k的弹簧上,弹簧系在以匀角速转动的水平转台上的光华直槽内.当弹簧处于原长时质点到转台中心距离最短,试用拉格朗日方程求质点作微振
14、动的周期.,解:,坐标数:,约束数:,自由度数:,取如图所示y为广义坐标,例八：,根据余玄定理,5.哈密顿正则方程,一.勒让特变换,f=f(x,y),新变量,旧函数,旧变量,旧方程,(Hamiltons Equation),f,x,y,u,v,u,v,新方程,旧方程,新函数,保留变量,旧变量x,新变量v,f,x,y,x,v,去掉变量,旧变量y,新变量u,f,x,y,x,v,令 F=(-f+y v),新函数,Summary:,二.相空间和正则方程,(q,p),一对正则变量,s个广义坐标(q1,q2,q3.qs),s个广义动量(p1,p2,p3.ps),相空间,新变量,保守系,正则方程,非保守系,
15、正则方程,对保守系,6.运动积分的哈密顿判据(H)(Constants of the motion in Hamiltonial formation),一.循环坐标,H=H(q,p,t)中不显含的坐标,循环坐标,q循环坐标,p循环坐标,二.广义能量积分,广义能量守恒,对完整 保守 稳定系统,H=T+V=E0,7.哈密顿原理(Hamiltional Principal),一.变分法简介,ds,o,A,y,x,y,泛函定义:,Attention:,J与y(x)的函数形式有关,泛函的极值是变分法的核心,二.变分法计算法则,变分法,全变分,等自变量变分x=0,函数和泛函的变分,原函数:y(x),变更后
16、:,与x无关小参数,定义函数变分:,泛函变分:,变分法基本运算法则:,变分法基本对易关系,“”与“d”对易,证明:,由图可知:,三.泛函极值条件,是的函数,将被积函数在y(x)附近展开,与无关,?,欧拉方程,利用变分法运算法则求极值,四.位形空间中的哈密顿原理,x,t,y,q(t),定义哈密顿主函数,位形空间中的哈密顿原理(有势系统),位形空间中的哈密顿原理(非有势系统),五.相空间中的哈密顿原理,x,t,y,q(t),P(t),定义相空间的哈密顿主函数,利用位形空间中的哈密顿原理导出拉格朗日方程,=?,=0,利用相空间中的哈密顿原理导出哈密顿正则方程,8.泊松括号及泊松定理(Poisson
17、Bracket and Poissons Theorem),一.泊松括号的定义,若f=f(q.P.t),=(q.P.t),泊松括号,二.泊松括号的性质,反对易性:f=-f,q P=,1,=,0,若c为常数,则c f=0,q q=P P=0,分配律:i=i,结合律:1 2 3=1 2 3+2 1 3,求导运算,线性:a1+b 2=a1+b 2,雅可比关系:1 2 3+2 3 1+3 1 2=0,三.用泊松括号表示的运动方程,正则方程,四.运动积分的泊松括号判据,五.泊松定理,若1(q.p,t)和2(q.p,t)是正则方程的两个运动积分,则1 2也是一个运动积分,证明:根据雅可比关系有,1 2 H
18、,1 2 H+2 H 1=1 2 H,+,+H 1 2=0,+2 H 1,9.时空对称性和守恒定律(Symmetry and Conservation law),一.时空对称性,不可观测量和守恒定律互为因果关系,时间平移与机械能守恒Time Translation and Energy Conservation,二.经典力学中的对称性和守恒定律,时间平移与机械能守恒,若拉氏函数具有时间平移不变性,t,L,能量守恒,t+t,L+L,空间平移与动量守恒(Spatial Translation and Momentum Conservation),空间平移与动量守恒,空间旋转不变性与角动量守恒(Space rotation Invariance and Conservation of Angular momentum),
