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1、1.离散型随机变量的分布律,2.三种重要的离散型随机变量的概率分布,3.小结,2.2 离散型随机变量及其分布律,1.离散型随机变量的分布律,定义,1.,2.,则称,为随机变量X的,概率分布律，简称分布律.,X的分布律也可用如下的表格形式来表示：,解,例1,X 所有可能取的值为0，1，2.,于是分布律为,以A记事件第一次罚球时罚中,以B记事件第二次罚球时罚中,则有,或将分布律写成,线条图,概率直方图,另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.,P,X,2.三种重要的离散型随机变量的概率分布,(1)两点分布,设随机变量 X 只可能取a与b两个值,它的分布律为,则称 X 服从 两点分布,(其中
2、 0p1),当a=0，b=1时两点分布称为(01)分布,即：设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为,则称 X 服从(01)分布或伯努利分布.,(其中 0p1),实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从(01)分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.,说明,（2）二项分布,1)重复独立试验,将试验 E 重复进行 n 次,若各次试验的结
3、果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这 n 次试验是相互独立的,或称为 n 次重复独立试验.,2)n 重伯努利试验,伯努利资料,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.,3)二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,注意:贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，,且P(A)=p，；,（3）各
4、次试验相互独立.,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次数 X 服从 B(5,0.6)的二项分布.,解,因此,例2,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例3,解,图示概率分布,例4 经验表明人们患了某种疾病，有30%的人不治自愈.医药公司推出一种新药，随机选10 个患此病的病人服用新药，已知其中9人很快就痊愈了.设各人自行痊愈与否相互独立.试推断这些病人是自愈的，还是新药起了作用.,解 假设新药毫无作用，则一个病人痊愈的概率为p=0.3.,以X
5、记10个病人中自愈的病人数，则XB(10,0.3),（3）泊松分布,泊松资料,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,（4）泊松定理 设随机变量X服从二项分布，其分布律为，k=0,1,2,n.又设np=,(
6、是常数)，则有,二项分布与泊松分布有以下的关系.,该定理于1837年由法国数学家泊松引入！,单击图形播放/暂停ESC键退出,可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,例 某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.01，设各人患病与否相互独立.现随机抽取200人，求其中至少4人患这种病的概率.,解以X记200人中患此病的人数，,所求概率为,查泊松分布表（附表）,则XB(200，0.01).,利用泊松定理，,例6 为了保证设备
7、正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,例8（课堂讨论）设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概
8、率的大小.,发生故障时不能及时维修”,故有,即有,按第二种方法,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,泊松分布,二项分布,泊松分布,小结,解：分析,思考 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱,故报童赔钱 X 666,解,例1,3.例题讲解,Jacob Bernoulli,Born:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),France,Simon Poisson,
