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1、1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积3 平面曲线的长4 定积分在物理学中的应用,第十章 定积分的应用,第十章 定积分的应用,1 平面图形的面积,本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法解决问题的定积分的分析方法。,考虑曲边梯形面积计算问题,一 问题的提出,面积表示为定积分要通过如下步骤：,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让,二 定积分的元素法（Element Method）,元素法的一
2、般步骤,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,复习:定积分的几何意义,三、平面图形的面积:,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形,y=f(x),a,b,0,x,y,怎样求面积呢？,A,-A,A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积,a,b,a,b,y=f(x)0,y=f(x)0,x,x,y,y,0,0,A,A,2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图,结论：,几何意义,a,b,x,y,y=f(x),0,问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。,讲授新课:,直角坐标系,x,y,o,曲边梯形的面积,曲
3、边梯形的面积,1 直角坐标系情形,穿针法或微元素法,被积函数上-下、右-左,结论:一般地,由上,下两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围平面图形的面积计算公式为,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y
4、,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解,两曲线的交点，,面积元素,选 为积分变量,解方程组,注 被积函数为上-下，上为 下为,解,两曲线的交点,选 为积分变量,注 被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,2 极坐标系情形,解
5、,于是,解,利用对称性知,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,元素法的提出、思想、步骤.,（注意微元法的本质）,四 小结,思考题,微元法与定积分的关系是什么？,平面图形面积的计算方法,（注直角坐标、参数方程、极坐标）,第十章 定积分的应用,2 由平行截面面积求体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1 旋转体的体积,一、空间立体的体积,旋转体的体积为,解,直线方程为,过原点 及点,解,利用公式，,可知上例中,2、平行截面面积为已知的立体的体积,从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定
6、轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,建立坐标系，,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,建立坐标系，,底圆方程为,截面面积,立体体积,第十章 定积分的应用,3 平面曲线的弧长,1、平面曲线弧长的概念,平面曲线的弧长,定理 光滑曲线弧是可求长的。,简介 光滑曲线,当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。,就是弧长元素,弧长,2 直角坐标情形,由第三章的弧微分公式知,解,所以弧长为,设曲线弧为,弧长,3 参数方程情形,解,的全长,所以,曲线弧为,弧长,4 极坐标情形,解,1光滑曲线的概念.,四 小结,2平面曲线弧长的概念
7、,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,3 弧长的公式,第十章 定积分的应用,4 定积分在物理学中的应用,一 变力沿直线所作的功,解,即功元素为,所求功为,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),3m,5m,二 水压力,解,在端面建立坐标系如图,解,建立坐标系如图,则斜边所在直线方程,由定义域内驻点唯一知当,时所受压力最大。,三、引力,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,小段与质点的距离为,引力,水平方向的分力元素,由对称性知，引力在铅直方向分力为,利用“元素法”求（1）变力作功（2）水压力（3）引力等物理问题,（注意熟悉相关的物理知识）,四 小结,重点是用微元法建立微元，然后积分,五 思考与判断题,吸水作功的“作功微元”实际上是对“微元”部分克服重力作功。,
