电磁场与电磁波(西电)第4章静态场的解.ppt

《电磁场与电磁波(西电)第4章静态场的解.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波(西电)第4章静态场的解.ppt（125页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第四章 静 态 场 的 解,4.1 边值问题的分类4.2 唯一性定理4.3 镜像法4.4 分离变量法4.5 复变函数法4.6 格林函数法4.7 有限差分法,4.1 边值问题的分类,第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值；第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数；第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。,4.2 唯 一 性 定 理,4.2.1 格林公式,在上式中，令F=,则,即,这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面的外法向。,该式称为格林第二恒等式。,4.2.2 唯一性定理,设在区域V

2、内，1和2满足泊松方程，即,在V的边界S上，1和2满足同样的边界条件，即,令=1-2，则在V内，2=0，在边界面S上，|S=0。在格林第一恒等式中，令=，则,由于 2=0，所以有,在S上=0，因而上式右边为零，因而有,4.3 镜 像 法,4.3.1 平面镜像法,例 4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。,图 4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像,当z0 时，2S=0；当z=0时，=0；当z、|x|、|y|时，0。,解：,由Dn=S可得导体表面的面电荷密度：,导体表面总的感应电荷：,图 4-2 相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像,4.3.2 球面镜像法,例 4

3、-2 如图 4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。,图 4-3 球面镜像(a)球面镜像原问题；(b)等效问题,解：我们先试探用一个镜像电荷q等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q应置于球心与电荷q的连线上，设q离球心距离为b(ba)，这样球外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q产生电位的叠加，即,当计算球面上一点的电位时，有,式中r10、r20分别是从q、q到球面上点P0的距离。在上式中q和b是待求量。取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定q、b的两个方程：,解之得,可以算出球面上总的感应电荷qin=-qa

4、/d=q。如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是q，其位置和大小由式(4-9)确定；另一个是q,q=-q,q位于球心。如果导体球不接地，且带电荷Q，即q位置和大小同上，q的位置也在原点，但q=Q-q,即q=Q+qa/d。,例 4-3 空气中有两个半径相同(均等于a)的导体球相切，试用球面镜像法求该孤立导体系统的电容。,图 4-4 例 4-3 用图,解：,设其位于A1处，则,右侧的q在左面的导体球面也有一个镜像电荷，大小也是q1，位于A1处。由问题本身的对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对称。以下

5、仅分析右面的。左面的q1在右导体球上也要成像，这个镜像电荷记为q2,位于A2处。,依此类推，有,因而，导体系统的总电荷为,导体面的电位为,所以，这个孤立导体系统的电容为,4.3.3 圆柱面镜像法,图 4-5 例 4-3 用图(a)导体平面与线电荷；(b)等位线,例 4-4 线密度为l 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距d,如图 4-5(a)所示，求电位及等位面方程。,解：,同理得镜像电荷-l的电位：,任一点(x,y)的总电位：,用直角坐标表示为,等位线方程为,这个方程表示一簇圆，圆心在(x0,y0)，半径是R0。其中：,每一个给定的m(m0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为,

6、例 4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2d，如图 4-6，求导体单位长的电容。,图 4-6 平行双导体,解：设两个导体圆柱单位长带电分别为l和-l，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷l和-l代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为1和2。,解之得,当ba时，,4.3.4 平面介质镜像法,例 4-6 设两种介电常数分别为1、2的介质充填于x0 的半空间，在介质 2 中点(d,0,0)处有一点电荷q,如图 4-7(a)所示，求空间各点的电位。,图 4-7 例 4-6 用图(a)介质镜像问题；(b)区域 2 等效；(c)区域 1 等效,解：,右半空间任一点

7、的电位为,左半空间任一点的电位为,其中q和q待定。,4.4 分 离 变 量 法,4.4.1 直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为,设可以表示为三个函数的乘积，即,然后用XYZ除上式，得,当2=0时，则,当20 时，令=jkx(kx为正实数)，则,或,当20 时，令=kx，则,或,例 4-7 横截面如图 4-8 所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为ab，槽体的电位为零，盖板的电位为U0，求此区域内的电位。,图 4-8 矩形截面导体槽,解：本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即=(x,y)。在区域 0ya、0yb内，2=0边界条件为 x=0,(0,y)=

8、0 x=a,(a,y)=0 y=0,(x,0)=0 y=b,(x,b)=U0,即kxa=n或kx=n/a(n=1,2,3,)，这样得到X(x)=a1sin(nx/a)。由于2+2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数，即,有c2=0,Y(y)=c1sh(ny/a)，这样我们就得到基本乘积解X(x)Y(y)，记作,取不同的n值对应的n并叠加，即,由边界条件，有(x,b)=U0，即,其中：,左右两边同乘以sin(mx/a)，并在区间(0，a)积分，有,因而，,n=2,4,6,n=1,3,5,所以，当n=1,3,5,时，,当n=2,4,6,时，,这样得到待求区域的电位为,例 4-8 如图

9、4-9 所示，两块半无限大平行导体板的电位为零，与之垂直的底面电位为(x,0)，求此半无限槽中的电位。其中：,图 4-9 无限长槽的电位,解：和前题类似，这是一个二维拉普拉斯方程边值问题，=(x,y)，边界条件为(0,y)=0(a,y)=0(x,)=0,为满足边界条件，取级数,代入边界条件，得,运用正弦函数的正交归一性，得,4.4.2 圆柱坐标系中的分离变量法,当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此时电位(r,)满足二维拉普拉斯方程：,运用分离变量法解之，令,两个常微分方程：,当n0 时，上面两方程的解为,当n=0 时，,例 4-9 将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，

10、柱轴与E0垂直，求任意点的电位。,解：令圆柱的轴线与z轴重合，E0的方向与x方向一致，如图4-10 所示。由于导体柱是一个等位体，不妨令其为零，即在柱内(ra),1=0，柱外电位2满足拉普拉斯方程。2的形式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。以下由边界条件确定待定系数。本例的边界条件是：r，柱外电场E2E0ex,这样2E0 x，即0-E0rcos。r=a，导体柱内、外电位连续，即2=0。,图 4-10 均匀场中导体柱,除此之外，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是，,因这一表达式对任意的成立，所以,于是，,例 4-10 若在电场强度为E0的均匀静电场中放入一个半径为a的电介质圆柱，柱的轴线

11、与电场互相垂直，介质柱的介电常数为，柱外为真空，如图 4-11 所示，求柱内、外的电场。,图 4-11 均匀场中介质柱,解：设柱内电位为1，柱外电位为2，1和2与z无关。取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：r,2=-E0rcos r=0,1=0 r=a,1=2 r=a,于是，柱内、柱外电位的通解为,考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于x轴对称，柱内、柱外电位解只有余弦项，即,于是，,由边界条件和，可得,其中，r=/0，是介质圆柱的相对介电常数。于是柱内、外的电位为,例 4-11 在一个半径为a的圆柱面上，给定其电位分布：,求圆柱内、外的电位分布。,解：,0,-0,由傅里叶级数的有关知识，可得

12、出,即,将这些系数代入上面的通解，得到圆柱内部的电位：,4.4.3 球坐标系中的分离变量法,令=R(r)()，将其代入式(4-54)，并用r2/乘该式的两边，得,上式的第一项只是r的函数，第二项只是的函数。要其对空间任意点成立，必须使每一项为常数。令第一项等于k，于是有,称为勒让德方程，它的解具有幂级数形式，且在-1x1 收敛。如果选择k=n(n+1)，其中n为正整数，则解的收敛域扩展为-1x1。当k=n(n+1)时，勒让德方程的解为n阶勒让德多项式Pn(x)：,勒让德多项式也是正交函数系，正交关系为,将k=n(n+1)代入R(r)的方程式(4-55)，解之得,其中An、Bn是待定系数。取不同

13、的n值对应的基本解进行叠加，得到球坐标系中二维拉普拉斯方程的通解为,例 4-12 假设真空中在半径为a的球面上有面密度为0cos的表面电荷，其中0是常数，求任意点的电位。解：,球面上的边界条件为 r=a,1=2 r=a,使用勒让德多项式的唯一性，即将区间-1,1内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑P1(cos)=cos，得,(ra),(ra),4.5 复 变 函 数 法,4.5.1 复电位 如果复变函数w(z)=u(x,y)+jv(x,y)是解析函数，则它的实部和虚部之间应满足柯希黎曼条件：,利用柯希黎曼条件，可以证明解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程：,我们又知道，对解析函数

14、w(z)=u(x,y)+jv(x,y)，曲线簇u(x,y)=C1和曲线簇v(x,y)=C2处处相互正交。这个性质可以用下面的公式来表示：,4.5.2 用复电位解二维边值问题,图 4-12 电通量函数,图 4-13 电容的计算,同理，也可以用实部表示电位函数。此时其虚部是通量函数的相反值(原因请读者思考)，即,在一般情况下，寻求相应的复电位函数并没有固定的方法，而且往往极为困难。所以通常采取相反的途径，就是先研究一些常用解析函数的实部和虚部的等值线分布。对于实际的边界形状，从以上函数中找出其实部(或虚部)的等值线与边界相重合的函数，再根据已知的边界条件确定该解析函数中的待定常数。对于一些形状较复

15、杂的边界，常常需要进行两次或多次变换。,例 4-13 分析解析函数w=Alnz所表示的场(A为实常数)。解：用极坐标(r，)表示z,则,图 4-14 对数函数,如果用虚部表示电位，它可以表示夹角为的两个半无限大导体板的电场。此时，可以求出图 4-14 所示问题的复电位为,在实际计算时，因u和v都是无量纲的量，故应乘以适当的标度常数，又为了便于确定电位参考点，还要在对数函数中加上另一常数，即,例 4-14 分析解析函数,所表示的场，并用此求半径为a的导体圆柱与无限大导体板(导体圆柱与平板平行，轴线距离导体平面为b)之间单位长的电容(如图 4-15 所示)。,图 4-15 导体板与导体圆柱,解：将

16、z=x+jy代入式(4-74)，将函数w的实部与虚部分别写成x、y的函数，有,导体平面(x=0)的电位为零。,即,于是有,这样就得到带正电的导体电位为,4.5.3 保角变换,图 4-16 保角变换,当f(z0)不等于零时，它们之间的幅角关系为,以上二式相减，得,即,如果变换以前势函数满足拉普拉斯方程，则在变换以后势函数也满足拉普拉斯方程；如果变换以前势函数满足泊松方程,则在变换以后，势函数满足以下的泊松方程,这表明，二维平面场的电荷密度经过变换以后要发生变化，但是电荷总量不变。其理由是：,而,所以,在变换前后，Z平面和W平面对应的电场强度要发生变化，它们之间的关系为,这是因为，从Z平面变换到W

17、平面时，线元的长度要伸长|f(z)|倍，相应的电场强度要减小|f(z)|倍。,变换前后，两导体之间的电容量不变。,则沿轴线方向单位长度的C1上的总电荷为,因为,所以有,Q=Q,例 4-15 两个共焦椭圆柱面导体组成的电容器，其外柱的长、短半轴分别是a2、b2，内柱的长、短半轴分别是a1、b1，如图4-17 所示，求单位长度的电容。,图 4-17 椭圆区域的变换,解：,即,所以,图 4-18 z=cosw的变换,单位长度电容为,4.6 格 林 函 数 法,4.6.1 静电场边值问题的格林函数法表示式,假定已知某给定区域V内的电荷体密度(r)，则待求电位(r)满足泊松方程：,格林函数G(r,r)仅

18、仅是源点与场点间距离的函数，即是|r-r|的函数。我们将源点和场点互换，其间的距离不变，故而有,上式称为格林函数的对称性，也就是电磁场的互易性。,当源点在区域V内时，有,将上式的源点和场点互换，并且利用格林函数的对称性，得,此式就是有限区域V内任意一点电位的格林函数表示式。它表明，一旦体积V中的电荷分布以及有限体积V的边界面S上的边界条件(r)和 为已知，V内任意一点的电位即可以通过积分算出。,1.第一类边值问题的格林函数,即第一类边值问题的格林函数G1在边界面S上满足齐次边界条件。,2.第二类边值问题的格林函数,在此条件下，第二类静电场边值问题的解为,3.第三类边值问题的格林函数,4.6.2

19、 简单边界的格林函数,1.无界空间的格林函数,式中：R=(x-x)2+(y-y)21/2；C是常数，取决于电位参考点的选取。,2.上半空间的格林函数 计算上半空间(z0)的格林函数，就是求位于上半空间r处的单位点电荷，以z=0 平面为电位零点时，在上半空间任意一点r处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而，上半空间的格林函数为,式中：,同理可得出二维半空间(y0)的格林函数。也使用镜像法，可以比较容易地算出位于(x,y)处的单位线电荷，在以y=0 为电位参考点时，在(x,y)处的电位。因而，二维半空间(y0)的格林函数为,式中：,3.球内、外空间的格林函数 可以由球面镜像法，求出球心在坐标

20、原点、半径为a的球外空间的格林函数为,图 4-19 球外格林函数,图 4-20 球内格林函数,4.6.3 格林函数的应用,例4-16 已知无限大导体平板由两个相互绝缘的半无限大导体平板组成(如图 4-21所示)，右半部的电位为U0，左半部的电位为零，求上半空间的电位。,图 4-21 例 4-16 用图,解：,其中：,例 4-17 一个间距为d的平板电容器，极板间的体电荷密度是0(0为常数)，上、下板的电位分别是U0和 0，求格林函数。,图 4-22 例 4-17 用图,解：,(0 xd),对于格林函数G的微分方程，分xx两部分积分后，得,代入上、下极板G的边界条件，得,即,上式中还有两个待定常

21、数要确定。可以使用G在x=x连续，得,即,解:C1和C3的联立方程，得,x x,x x,得到格林函数为,例 4-18 已知一个半径为a的圆柱形区域内体电荷密度为零，界面上的电位为,用格林函数法求圆柱内部的电位(r,)。,解：使用镜像法及格林函数的性质，可以得出，半径为a的圆柱内部静电问题的格林函数为,图 4-23 柱内区域格林函数,例 4-19 如果上题的圆柱面上的电位为(a,)=U0cos，求柱内的电位。解：,首先证明恒等式,(4-100),令k=r/a，我们可以将式(4-100)改写成,4.7 有 限 差 分 法,图 4-24 差分网格,4.7.1 差分表示式,当h很小时，忽略四阶以上的高

22、次项，得,考虑到,可得,上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。,4.7.2 差分方程的数值解法,1.简单迭代法,图 4-25 节点序号,2.塞德尔(Seidel)迭代法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为,此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。,3.超松驰迭代

23、法,式中称为松弛因子，其值介于 1 和 2 之间。当其值为1时，超松弛迭代法就蜕变为塞德尔(Seidel)迭代法。因子的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当M、N都很大时，可以由如下公式计算最佳收敛因子0:,例 4-20 设如图 4-26 所示的矩形截面的长导体槽，宽为 4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为 10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。,图 4-26 例 4-20 用图,解：将待求的区域分为 12 个边长为h的正方形网格，含六个内点，得出差分方程组：,解以上方程组，得,表 4-1 简 单 迭 代 法,表 4-2 超松弛迭代法(=1.2),表 4-3 松弛因子的影响,