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1、数学物理方程与特殊函数,课程的内容,三种方程、四种求解方法、二个特殊函数,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,波动方程、热传导、拉普拉斯方程,贝赛尔函数、勒让德函数,数学物理方程定义,描述某种物理现象的数学微分方程。,一、基本方程的建立,第一章 一些典型方程和定解条件的推导,二、定解条件的推导,三、定解问题的概念,一、基本方程的建立,条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。,例1、弦的振动,简化假设：,(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。,(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,牛顿运动定律：,横向：,纵向：,其中：,其中：,其中
2、：,一维波动方程,令：,-非齐次方程,自由项,-齐次方程,忽略重力作用：,从麦克斯韦方程出发：,在自由空间：,例2、时变电磁场,对第一方程两边取旋度，,根据矢量运算：,由此得：,得：,拉普拉斯算子：,同理可得：,电场的三维波动方程,磁场的三维波动方程,例3、静电场,电势u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程(无源场),泊松方程,例4、热传导,所要研究的物理量：,温度,根据热学中的傅里叶实验定律,在dt时间内从dS流入V的热量为：,从时刻t1到t2通过S流入V的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）,热传导现象：当导热介
3、质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。,流入的热量导致V内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,热传导方程,稳恒温度场：,有热源：,有界杆上的热传导（杆的两端绝热）,同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。,初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。,边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。,二、定解条件的推导,其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,描述稳恒状态，
4、与初始状态无关，不含初始条件,A、波动方程的初始条件,1、初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移系统各点的初速度,(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、边界条件描述系统在边界上的状况,A、波动方程的边界条件,(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：,或：,(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。,或,B、热传导方程的边界条件,(1)给定温度在边界上的值,S给定区域 v 的边界,(2)绝热状态,(3)热交换状态,牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。,热交换系数；周围介质的温度,第一
5、类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,1、定解问题,三、定解问题的概念,(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。,把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。,定解问题的检验,解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。,3、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程,2、微分方程
6、一般分类,(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。,线性方程的解具有叠加特性,4、叠加原理,几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上),判断下列方程的类型,思考,5、微分方程的解,古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。,形式解：未经过验证的解为形式解。,6、求解方法,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有
7、限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,令,带入方程：,令,带入边界条件,1 求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题,特征（固有）值：
8、使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3）令，为非零实数,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2 解的性质,x=x0时：,其中：,驻波法,t=t0时：,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,弦的振动,振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。,解：,例2求下列定解问题,初始条件,若l=1,a=10时的震动。,例3 求下列定解问题,解：,例4 求下列定解问题,令,带入方程：,解：,
9、二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,令,令,带入方程：,令,例5 求下列定解问题,解：,例6 求下列定解问题,解：,若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？,思考,若,有界杆上的热传导（杆的两端绝热）,分离变量流程图,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,例7 求下列定解问题,解：,例8 求下列定解问题,解：,2 圆域内的拉普拉斯问题,欧拉方程,例9 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,例10 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,其它为零,例12 求下列定解问题,解：,欧拉方程,其他为零,例13 求下列定解问题,解：,例13 求下列定解问题,解：,例14
10、求下列定解问题,解法一：令,解法二：令,常用本征方程 齐次边界条件,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解叠加成非齐次解,思考,令：,令：,为什么？,例15 求下列定解问题,解：先解对应的齐次问题,例16 求下列定解问题,解：令,当,当,当,时,时,时,例17 求定解问题,解：将原问题变换到极坐标系下：,例18 求定解问题,五 非齐次边界条件的处理,解：令,设：,f 和W与t无关,例19 求下列定解问题,解：令,例20 求定解问题,解：令,例21 求定解问题,解：令,例22 求
11、定解问题,解：令,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法,非齐次方程，齐次定解条件固有函数法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,1.存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。,2.所有特征值均不为负。,3.任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。,4.特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。,第三章 行波法与积分变换法,一 行波法,适用范围：无界域内波动方
12、程，等,1 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。,关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,一维波动方程的达朗贝尔公式,行波法,结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。,a.只有初始位移时，代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波,4 解的物理意义,b.只有初始速度时：假使初始速度在区间 上是常数，而在此区间外恒等于0,解：将初始条件代入达朗贝尔公式,5 达朗贝尔公式的应用,特征线,特征变换,行波法又叫特征线法,6 相关概念,7 非齐次问题的
13、处理,利用叠加原理将问题进行分解：,利用齐次化原理，若 满足：,则：,令：,从而原问题的解为,双曲型方程,椭圆型方程,抛物型方程,特征方程,例1 解定解问题,解,例2 求解,解：特征方程为,令：,例3 求解Goursat问题,解：令,补充作业：,解定解问题,二 积分变换法,1 傅立叶变换法,傅立叶变换的性质,微分性,位移性,积分性,相似性,傅立叶变换的定义,偏微分方程变常微分方程,例1 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,例2 解定解问题,解：利用傅立叶变换的性质,2 拉氏变换法,拉普拉斯变换的性质,微分性,相似性,拉普拉斯变换的定义,偏微分方程变常微分方程,例3 解定解问题,解：对t求拉氏
14、变换,例4 解定解问题,解：对x求傅氏变换,对t求拉氏变换,例5 解定解问题,解：对t求拉氏变换,对x求傅氏变换,例6 求方程,解法一：,解法二：对y求拉氏变换,例7 解定解问题,解：对t取拉氏变换,x取傅立叶变换,其中,3 积分变换法求解问题的步骤,对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程,对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件,对常微分方程，求原定解条件解的变换式,对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解,4 积分变换法求解问题的注意事项,如何选取适当的积分变换,定解条件中那些需要积分变换，那些不需取,如何取逆变换,思考,利用积分变换方法求解问题的好处是什么？,
15、第四章 拉普拉斯方程的格林函数法,一 拉普拉斯方程边值问题的提法,1 第一边值问题（狄氏问题）,2 第二边值问题（牛曼问题）,3 内问题与外问题,4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。,二 格林公式及其结论,格林公式的结论：,1 调和函数的积分表达式,拉普拉斯方程的基本解,2 牛曼内问题有解的必要条件,3 平均值公式,4 拉普拉斯方程解的唯一性问题,调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。,取,狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。,三 格林函数,原点处点电荷电量，,点电荷密度,处点电位,
16、即 处点电荷电量,点电荷密度,处点电位,纯点源产生的场（不计初始条件和边界条件的影响）,自由空间的格林函数,1 格林函数定义,对泊松问题,对拉普拉斯问题,2 拉普拉斯方程的格林函,u，v均为调和函数,v为调和函数，且满足,3 区域的格林函数和狄氏问题的解,电象法求格林函数,在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。,半空间的格林函数,v为调和函数，且满足,例1 求解下列定解问题,解：,例2 求解下列定解问题,解：,四分之一空间的格林函数,球内的格林函数,M0点处点电荷电量，,M1点
17、处点电荷电量,第五章 贝塞尔函数,一 贝塞尔函数的引出,令：,令：,n阶贝塞尔方程,n阶贝塞尔方程,令：,二 贝塞尔方程的求解,n任意实数或复数,当p为正整数时,当p为负整数或零时,n阶第一类贝塞尔函数,令：,当n为正整数时,时,n阶第一类贝塞尔函数,1 n不为整数时，贝塞尔方程的通解,n阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）,n为整数时,2 n为整数时，贝塞尔方程的通解,A、B为任意常数，n为任意实数,性质1 有界性,性质2 奇偶性,三 贝塞尔函数的性质,当n为正整数时,性质3 递推性,例1 求下列微积分,性质4 初值,性质5 零点,有无穷多个对称分布的零点,的零点趋于周期分布，,性质6 半奇数阶的
18、贝塞尔函数,性质7 大宗量近似,性质8 正交性,贝塞尔函数 的模,例5:解下列定解问题,例6:解下列定解问题,第六章 勒让德多项式,一 勒让德方程引出,n为实数或复数,连带的勒让德方程,n次的勒让德方程,n次的勒让德方程,二 勒让德方程求解,令：,通解,y1为偶函数y2为奇函数,n为正偶数或负奇数y1为多项式，n为负偶数或正奇数y2为多项式。n为非整数y1，y2均为无穷级数，在 内其收敛半径为1。,当n为偶数时,当n为奇数时,三 勒让德多项式,性质1 正交性,先证明：,性质2 递推公式,性质3奇偶性,例1:将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式,例2:将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数
19、形式,方法二,解：方法一,例3：将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式,例4:将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式,n为奇数时,n为偶数时,例5:将 在-2,2内展成勒让德多项式的级数形式,在-1,1内,如何将 在-a,b内展成勒让德多项式的级数形式？,思考,例6 求定解问题,解：,例7：在电场强度为E0的均匀电场中放一个接地导体球，直径为a，求球外电场,解：均匀电场产生的电势,球面上的感应电荷产生的电势,习题,习题2 第1题,设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。,习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为,习题2第17题：在扇形区域内求下列定解问题,
