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1、9、1 特殊函数的常微分方程,球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况勒让德方程柱坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况亥姆霍兹方程，贝塞尔方程轴对称情况,前面应用分离变量法求解数理问题时，需要求解二阶常微分方程的本征值问题。再进一步的讨论中，如用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性变系数常微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题.不
2、失一般性，我们讨论线性二阶常微分方程,一、球坐标系下拉普拉斯方程,参数为：,代如拉普拉斯方程:得到球坐标系下的方程。,方程转化为：,为欧拉型方程。用代换法求解：设:,代入方程得：,可得：,其中：,方程的解为：,讨论：对于球 内部问题,对于球 外部问题,二、柱坐标系下拉普拉斯方程参数为：,参数为：,其中：,代入拉普拉斯方程:得到柱坐标系下的方程。,第二次分离变量：,讨论分析,的值：,为欧拉型方程。其解为：,关于R的方程作代换：设,（x不是直角坐标）,方程转化为：,代如,的值：,为m阶贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解。,求得：,值由边界条件确定。,解为：,作代换：设,（x不是直角坐标
3、）,方程转化为：,代如,的值：,为m阶虚宗量贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解。求得：,值由边界条件确定。,三、亥姆霍兹方程：,1、波动方程：,设：,代入方程得：,解为：,叫亥姆霍兹方程。,2、输运方程：,设：,代入方程得：,解为：,为亥姆霍兹方程。,3、球坐标系下的亥姆霍兹方程：,第一次分离变量：设：代入方程得：,两边乘以 得：,关于Y的方程为球函数方程可以分解成关于,的方程，,关于,的方程为连带勒让德方程。,叫,阶球贝塞尔方程。,关于R的方程：,本征函数为:,作代换：,整理得：,阶贝塞尔方程。,4、柱坐标系下的亥姆霍兹方程,的方程，本征函数为,叫:,分离变量得：关于,关于Z的方程：,亥姆霍兹方程边界条件可齐次化。（方程为非齐次的）齐次边界排除了,的情况，,关于R的方程:,作代换：,得到：,为m阶贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解。,
