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1、电路,第四章 电路定理4-1-4-4,第四章 电路定理,本章重点,4-1 叠加定理,叠加定理是线性电路重要定理。图4-1a独立电源(激励)，求解电流i2和电压u1(响应)。根据KCL和KVL列方程usR1(i2-is)+R2i2，解得,式4-1中，i2和u1是us和is线性组合。改写为其中：即i2和u1为原电路将is置零时响应，是激励us单独作用时产生响应；i2”和u1”为原电路将电压源置零时响应，是激励is单独作用时产生响应。,4-1 叠加定理,叠加定理,电流源置零时相当于开路；电压源置零时相当于短路。激励us与is分别单独作用时电路如图4-1b和c，称us和is分别作用时的分电路。叠加定理
2、意义：原电路的响应为相应分电路响应的和。,4-1 叠加定理,叠加定理的一般形式-1,对有b条支路，n个结点电路，可用回路电流或结点电压等作变量列电路方程。方程具有以下形式 求解变量以x表示，右方系数b是激励线性组合。回路电流方程，x是回路电流i1，系数a是自阻或互阻，b是电压源电压和电流源变换得电压源的线性组合。结点电压方程，x是结点电压un，系数a是自导或互导，b是注入电流和电压源等效变换得电流源的线性组合。,4-1 叠加定理,叠加定理的一般形式-2,式(4-3)解的一般形式式中，为a系数构成行列式，jk是的第j行第k列余因式。由于b11、b22、是电路中激励线性组合，每个解答x又是b11、
3、b22、线性组合，故任意一个解(电压或电流)都是电路中所有激励的线性组合。当电路中有g个电压源和h个电流源时，任意一处电压uf或电流if都可以写为以下形式,4-1 叠加定理,叠加定理的表述及应用原则,叠加定理表述：线性电阻电路中，某处电压或电流是电路各独立电源单独作用时，在该处产生电压或电流的叠加。叠加定理在线性电路分析中起重要作用，线性电路很多定理与叠加定理有关。直接用叠加定理计算和分析电路时，可将电源分成几组，按组计算以后再叠加，有时可简化计算。电路中有受控源时，叠加定理仍适用。受控源作用反映在回路电流或结点电压方程中自阻和互阻或自导和互导中，任一处电流或电压仍可按各独立电源作用时在该处产
4、生电流或电压的叠加计算。对含受控源电路应用叠加定理，在进行各分电路计算时，仍应把受控源保留在各分电路之中。,4-1 叠加定理,使用叠加定理时注意事项,使用叠加定理时应注意以下几点：(1)叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路；(2)在叠加各分电路中，不作用电压源置零，在电压源处用短路代替；不作用电流源置零，在电流源处用开路代替。电路中所有电阻都不予更动，受控源保留在各分电路中；(3)叠加时各分电路电压和电流参考方向可取为与原电路相同。取和时，应注意各分量前“+”、“-”号；(4)原电路功率不等于按各分电路计算所得功率叠加，因为功率是电压和电流乘积。,4-1 叠加定理,例 4-1-1,用叠加
5、定理计算图4-2a电路中U1和I2。解 画分电路图b和c。图(b)有：,4-1 叠加定理,例 4-1-2,图c：原电路总响应 UU1+U1”=(-2+11)V=9V II2+I2”=(0.5+0.25)A=0.75A,4-1 叠加定理,例 4-2,图4-3a，CCVS电压受流过6电阻电流控制。求u3。解 按叠加定理，作分电路图b和c。受控源保留。图b有：u3-10i1+4i2(-10+4)V-6V图c有：i2”4+i1”2.4 Au3”-10i1”+4i2”25.6V所以 u3=u3+u3”19.6 V,4-1 叠加定理,例 4-3,图4-3a电阻R2处串接6V电压源，图4-4a，重求u3。解
6、 用叠加定理，把10V电压源和4A电流源合为一组，所加6V电压源为另一组，图b与c。利用上例结果，图b解为u3=19.6V图c中：u3”=-10i1”+4i2”+69.6V所以u3u3+u3”29.2V,4-1 叠加定理,齐性定理,齐性定理：线性电路中，当所有激励(电压源和电流源)同时增大或缩小K倍(K为实常数)时，响应(电压和电流)也将同样增大或缩小K倍。从叠加定理推得。注意，激励指独立电源，必须全部激励同时增大或缩小K倍，否则将导致错误的结果。电路中只有一个激励时，响应与激励成正比。如例4-3中电压源由6V增至8V，则根据齐性定理，8V电压源单独作用产生的u3”为 故此时应有 u3u3+u
7、3”(19.6+12.8)V32.4 V用齐性定理分析梯形电路特别有效。,4-1 叠加定理,例 4-4-1,求图4-5梯形电路中各支路电流。解 设i5i51A，则：uBC(R5+R6)i522 V i4uBC/R41.1 Ai3i4+i52.1 A uADR3i3+uBC26.2Vi2=uAD/R21.31 A i1=i2+i33.41 AusR1i1+uAD33.02 V,4-1 叠加定理,例 4-4-2,给定us=120V，相当于将激励us增至120/33.02倍，即K=120/33.023.63，故各支路电流应同时增至3.63倍：i1Ki112.38 A i2Ki24.76 A i3Ki
8、37.62 A i4Ki43.99 A i5Ki53.63 A本例计算先从梯形电路最远离电源一端开始，倒退至激励处。该计算方法称“倒退法”。先对某电压或电流设一便于计算值，如本例设i5=1A，最后再按齐性定理予以修正。,4-1 叠加定理,4-2 替代定理,替代定理具有广泛的应用，可推广到非线性电路。替代定理：如已经求得NA、NB端口up与ip，可用一个电压源或电流源替代其中一个网络，另一网络内部电压、电流维持不变。,替代定理证明,图4-6d，NB的a、c间串反向us，令us=up替b、d间电压ubd=0，短接即可。电流源的证明是a、d间并接反向电流源即可。如NB中有NA中受控源的控制量，替代后
9、该电压或电流不复存在，NB不能被替代。,4-2 替代定理,替代定理示例,图4-7替代定理应用实例。图a，求得u3=8V，i3=1A。将支路3以us=u3=8V电压源或is=i3=1A电流源替代，图b或c，图a、b、c中，其他部分电压和电流均保持不变，即i1=2A，i21A。,4-2 替代定理,也可以用一个RS=us/is=8替代,习 题,P107 题 4-2 4-4,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,根据齐性定理，不含独立电源、仅含电阻和受控源一端口，端口输入电压和输入电流成比例，比值定义为该一端口输入电阻(2-7)或等效电阻。可用一个电阻支路等效置换。对既含独立电源又含电阻和受控源一端口，其等效
10、电路是什么?戴维宁定理（Thevenins Theorem）和诺顿定理（Nortons Theorem）将回答这个问题。为叙述方便，将一端口简称为“含源一端口”，“含源”指含独立电源。,图4-8a为含源一端口，在端口1-1处加电压源U，可解出U、I的函数关系。用结点电压法得：解得，由 得 U=32-8I 或,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁等效电路,诺顿等效电路,等效电路,图4-9含源一端口两种等效电路。b戴维宁等效，c诺顿等效。图b中uoc为图a中1-1开路电压；图c中isc为图a中1-1短路电流。可得重要关系：uoc=ReqiscReq称等效电阻，可直接从图a求，将N中所有电源置零，即
11、电压源用短路代替，电流源用开路代替，用N0表示。N0中uoc=0，isc=0，此等效电阻等于N0在端口1-1输入电阻,图d。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁定理：“一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源的电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口的全部独立电源置零后的输入电阻”。诺顿定理：“一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合等效变换，电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于把该一端口全部独立电源置零后的输入电阻”。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理
12、,*戴维宁定理的证明,图4-10a，设外电路为R0(简化讨论)。用替代定理，用isi电流源替代R0，图b。用叠加定理，分电路c和d。图c中，电流源不作用而N中电源作用，uuoc；在图d中，i作用N中电源置零，N成N0，受控源保留。有u”-Reqi。按叠加定理，端口1-1间电压 uu+u”uoc-Reqi故一端口等效电路如4-10e，戴维宁定理得证。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,当一端口用戴维宁等效电路置换后，端口外的电路(以后称外电路)中电压、电流均保持不变，对外等效。应用戴维宁定理时，需求出含源一端口开路电压(或短路电流)和戴维宁等效电阻，后者可用求输入电阻的方法得到。戴维宁等效电路和诺顿
13、等效电路这两种等效电路共有uoc、Req、isc 3个参数，其关系为uoc=Reqisc。故求出其中任意2个就可求得另一量。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,例 4-5,图4-11，已知us1=40V，us2=40V，R1=4，R2=2，R3=5，R4=10，R58，R6=2，求通过R3电流i3。解 把R3左右看成一端口。左侧图b。右侧等效电阻Rcd(3)简化图c。通过R3电流,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,例 4-6,求图4-13a一端口电路的等效发电机。解 由图4-13a，求isc和Req比较容易。当1-1短路时，有把一端口内部独立电源置零后，可得Req，等于3个电阻并联，即有诺顿等效电路图
14、4-13b。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,例 4-7,求图4-14a含源一端口戴维宁和诺顿等效电路。一端口内部有电流控制电流源，ic0.75i1。解 先求开路电压uoc。1-1开路 i2i1+ic1.75i1网孔1列KVL方程 5lO3i1+20103i240 代入i21.75i1，得i110 mA开路电压 uoc20103i235 V1-1短路时，求短路电流isc图b。isc=i1+ic=1.75i1=14 mA故得 对应戴维宁等效电路和诺顿等效电路分别如图c、d。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,戴维宁定理和诺顿定理的应用问题,含源一端口内含受控源时，内部独立电源置零后，输入电阻有可能为零
15、或无限大。当Req=0时，开路电压uoc有限，等效电路为一个无伴电压源，不存在诺顿等效电路。如Req=即Geq=0，诺顿等效电路为一个无伴电流源，戴维宁等效电路不存在。通常情况下，两种等效电路同时存在。戴维宁定理和诺顿定理在电路分析中应用广泛。复杂电路中如对某些一端口内部电压、电流无求解要求，可用这两个定理简化。特别是当仅对电路某一元件感兴趣，两个定理尤为适用。,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,例 4-8,图4-15惠斯通电桥，G为检流计，电阻为RG，R3=500电桥平衡。求R3=501，RG为50、100、200、500 时，G中电流IG。解 将G外1-1作含源一端口。戴维宁等效电路图b对应R
16、G的IG分别为 1.434，1.363，1.241，0.978A,4-3 戴维宁定理和诺顿定理,例 4-9,图4-16，用有内电阻Rv直流电压表在端子a、b和b、c处测量电压，分析电压表内电阻引起的测量误差。解 测量b、c电压时，电压真值是图4-16a该处开路电压。为求电压表内阻Rv引起误差，需求实际测量值。把图a中b、c左边用戴维宁等效置换，设Uoc为b、c开路电压，Req为从b、c端看的输入电阻，图b。令U为实际测量所得电压，等于电阻Rv两端电压，即相对测量误差如R1=20k，R2=30k，Rv=500k时，=-2.34。如a、b端测量电压，Req相同，相对测量误差不变。,4-3 戴维宁定
17、理和诺顿定理,习 题,P108 题 4-9 4-10,4.4 最大功率传输定理,电源向负载传输功率两类问题：传输功率的效率：如交直流电力传输，损耗和传输效率是首要问题。传输功率的大小：如通信和测量系统。从给定信号源取得尽可能大的信号功率。,最大功率传输问题-1,图4-17，图a中US为电源电压，RS为电源内阻（两根传输线电阻），RL为负载。RL获得功率为式中 电源发出功率，传输效率。最大功率条件：解得 RL=RS,4.4 最大功率传输定理,最大功率传输问题-2,RL获得最大功率RL与RS匹配：RL=RS时，负载获得最大功率。推广：可变负载从含源一端口获得功率。图4-17b，含源一端口，参数为Uoc和Req，满足RL=Req时，RL获得最大功率,4.4 最大功率传输定理,例 4-10,图4-18a，当RL为何值时，可取得最大功率，求此最大功率。电源发出功率传输给RL百分比。解 先求RL左边戴维宁等效电路，得Uoc10V，Req2.5，图b。当RL=Req2.5时最大功率求20V电源功率，必须返回原电路，而RL中电流为2A，并联5中电流1A，即20V电压中为3A，电源发出功率60W。仅有1/6功率即16.67%传输至RL中。,4.4 最大功率传输定理,
