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1、电路,第八章相量法8-1-8-4,第八章 相量法,相量法：线性电路正弦稳态分析的一种简便而又有效的方法。,本章重点,8-1 复 数,相量法要用复数运算。复数有多种表示形式。代数形式：F=a+jb 为虚单位(数学用i，电路用i表示电流，改用j)。a称复数F实部，b称复数F虚部：ReF=a，ImF=b复数F在复平面上是一个坐标点，图8-1。,复数F的表示,图8-1得复数F三角形式：F=|F|(cos+jsin)指数形式：F|F|ej极坐标形式：|F|为模(值)，为辐角，即=arg F。可用弧度或度表示。|F|和与a和b间关系：a|F|cos，b|F|sinF的共轭：F*=a-jb,8-1 复 数,
2、复数的相加和相减,用代数形式进行复数的相加和相减：设F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 F1F2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2)复数相加和相减运算可按平行四边形法在复平面上用向量相加和相减求得，图8-2。,8-1 复 数,两个复数相乘,复数相乘用指数形式方便：F1F2=|F1|ej1|F2|ej2=|F1|F2|ej(1+2)所以：|F1F2|=|F1|F2|arg(F1F2)arg(F1)+arg(F2)两个复数相乘的代数形式：F1F2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1),8-1 复 数,复数相除,复数相除：
3、所以：代数形式(a2-jb2)为F2共扼复数，F2F2*结果为实数，称有理化运算。,8-1 复 数,复数乘、除图解表示,复数乘、除图解见图8-3a、b，复数乘、除表示模的放大或缩小，辐角表示逆时针或顺时针旋转。复数 是模等于1，辐 角复数。复数A=|A|eja乘以ej等于把复数A逆时针旋转角度，A模值不变，ej称旋转因子。根据欧拉公式，可得例：复数乘以j，等于逆时针转/2；复数除以j，等于该复数乘以-j，顺时针旋转/2。,8-1 复 数,两个复数相等运算,复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数相等必须满足两个条件，F1=F2必须有：ReF1=ReF2，ImF1=ImF2 或者有：|F1|=
4、|F2|，arg(F1)=arg(F2)一个复数方程可以分解为两个实数方程。,8-1 复 数,例 8-1,设F1=3-j4，求F1+F2和F1/F2。解 求复数的代数和用代数形式：F2=10=10(cos135+jsin135)=-7.07+j7.07 F1+F2=(3-j4)+(-7.07+j7.07)=-4.07+j3.07指数形式：即有：F1+F2=5.1=-0.495+j0.071或,8-1 复 数,8-2 正弦量,电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。正弦量数学描述，可用sine函数，也可用cose函数。本书用cose函数。图8-4正弦电流i，在参考方向下，数学表达式定义：i
5、=Imcos(t+i)(8-1)3个常数Im、和i称正弦量三要素。Im称正弦量振幅，是正弦量在整个振荡过程中达到最大值，即cos(t+i)=1时，有 imax=Im 也是正弦量极大值。cos(t+i)=-1时，有最小值(也是极小值)：imin=-Imimax-imin=2Im称正弦量峰峰值。,正弦量说明,(t+i)称正弦量相位，或称相角。称角频率，相位随时间变化角速度 单位rad/s。与周期T和频率f关系：T=2，=2f，f=1/T f单位1/s，称Hz(赫兹，简称赫)。我国50Hz称工频。工程中以频率区分，如音频、高频、甚高频电路。i是在t=0时刻相位，称初相位(角)，简称初相：(t+i)|
6、t=0=i 单位用弧度或度，主值范围内取值，|i|180初相与计时零点有关。任一正弦量初相允许任意指定，但一个电路许多相关正弦量，只能相对共同计时零点确定各自相位。正弦量三要素是正弦量间进行比较和区分的依据。,8-2 正弦量,正弦量的波形及运算性质,正弦量随时间变化图形称正弦波。图8-5正弦电流i波形(i0)。横轴可用时间t，也可用t(rad)。正弦量乘以常数，正弦量微分、积分，同频正弦量代数和等运算，其结果仍为同频率正弦量。正弦量这个性质十分重要。,8-2 正弦量,周期量的有效值-1,工程中将周期电流或电压在一个周期内产生平均效应换算为效应上与之相等直流量，衡量和比较周期电流或电压效应，称周
7、期量有效值，用对应大写字母表示。i有效值I定义：表示：周期量有效值等于其瞬时值平方在一个周期内积分平均值再取平方根，又称均方根值root-mean-square(r.m.s)。定义是周期量有效值普遍适用公式。电流i正弦量，推出正弦量有效值与正弦量振幅间特殊关系：由于,8-2 正弦量,周期量的有效值-2,代入得 正弦量有效值与最大值间有 关系，但正弦量有效值与正弦量频率和初相无关。常将正弦量i改写成如下形式I、i也可表示正弦量的三要素。工程中使用交流电气设备铭牌上标出额定电流、电压数值，交流电压表、电流表表面上标出数字都是有效值。,8-2 正弦量,“相位差”概念-1,电路中常用“相位差”描述两个
8、同频正弦量相位关系。例：设两个同频正弦电流i1、电压u2为：两个同频正弦量相位差等于相位相减。如设12表示电流i1与电压u2间相位差有 12=(t+i1)-(t+u2)=i1-u2 相位差在主值范围内取值。表明同频正弦量相位差等于初相之差，与时间无关。电路常用“超(越)前”和“滞(落)后”说明两个同频正弦量相位比较结果。120，称i1超前u2；120，称i1滞后u2；12=0，称i1和u2同相；|12|=/2，称i1与u2正交；|12|=，称i1、u2反相。,8-2 正弦量,“相位差”概念-2,相位差可通过观察波形确定，图8-6。同周期内两个波形与横轴交点间的值，为两者相位差，先到达为超前波。
9、图中i1滞后u2。相位差与计时零点选取、改变无关。正弦量初相与参考方向有关，改设某一正弦量参考方向时，该正弦量初相改变，与其他正弦量相位差相应改变。,8-2 正弦量,8-3 相量法的基础,相量法是分析正弦电流电路稳定状态一种简单易行的方法。根据VCR、KCL、KVL列有储能元件方程时，得常微分方程。图8-7RLC串联，KVL方程：uR+uL+uC=uS代入得当uS是正弦量，电流特解是同频正弦量。线性非时变电路在正弦电源激励下，电压和电流特解是同频正弦量。电路多个同频率激励，结论也成立。,相量法的基础,工程上将电路的特解状态称正弦电路的稳定状态，简称正弦稳态。电路处于正弦稳态时，同频正弦量仅在有
10、效值、初相有差异和联系。例：如电源已知为电流特解设为式8-3变为,8-3 相量法的基础,正弦函数用复指数表示,根据欧拉公式：表明正弦量可分解为一对共轭复指数函数。整理后得可将复数定义为相量。,8-3 相量法的基础,正弦量对应相量,前述正弦量uS、iS对应相量：为有效值相量。正弦量的相量可以直接写出。在复平面上图形称相量图，图8-8。也可以用振幅相量（不常用）：,8-3 相量法的基础,例 8-2,写出正弦电流对应相量解 用cosine函数，i2改为：按定义写：相量与正弦量不相等，下述写法错误：由相量反写正弦量必须知道才行，本例 无意义。,8-3 相量法的基础,例 8-3,求例8-2中i1、i2的
11、微分及其相量。解有效值相量正弦量微分对应相量等于原相量乘以j。,8-3 相量法的基础,8-4 电路定律的相量形式,线性非时变正弦稳态电路，全部电流和电压都是同频正弦量，可用相量法将VCR、KCL和KVL转换为电路定律相量形式。KCL相量形式：电路任一结点有 i1+i2+ik+=0 i=0 相量形式KVL相量形式：电路任一回路有 u1+u2+uk+=0 u=0 相量形式,电阻VCR相量形式,图8-9a电阻R，正弦电流 通过，电压uR为uR和iR为同频正弦量，令电压相量相量形式 UR=RIR(或IR=GUR)u=iuR和iR相位差为零，即同相。图8-9b电阻相量模型；图8-9c电流和电压相量图。,
12、8-4 电路定律的相量形式,电感VCR相量形式,图8-10a电感L正弦电流 通过，有相量形式 UL=LIL u=i+900电流、电压类似欧姆定律，L与电阻相同量纲，称感抗。-1/L称感纳。电压超前电流900。=0时，L=0，uL=0，电感相当于短路。=时，L，i=0，电感相当于开路。图8-10b电感相量模型，图c相量图。,8-4 电路定律的相量形式,电容VCR相量形式,图8-11a电容C，正弦电流通过，有 相量形式 电流、电压类似欧姆定律，-1/C与电阻同量纲，称容抗。C称容纳。电流超前电压900。=0时，1/C，iC=0，电容相当于开路。=时，1/C0，uC=0，电容相当于短路。图8-11b
13、电容相量模型，图c相量图。,8-4 电路定律的相量形式,(线性)受控源相量形式,如控制电压或电流是正弦量，则受控源电压或电流是同频正弦量。图8-12aVCCS为例，有 ij=guk 相量形式图8-12b相量形式(其他形式受控源类似）。VCR相量形式十分重要，用到电阻、感抗、容抗，或电导、感纳、容纳，特别注意相位差。,8-4 电路定律的相量形式,例 8-4,图8-13a，R=30，L=0.12H，C=12.5F。求uad和ubd。解 相量电路图8-13b。由元件VCR得KVL：所以：,8-4 电路定律的相量形式,例 8-5,图8-14仪表为交流电流表，读数为电流有效值，A1为5A，A2为20A，A3为25A。求电流表A和A4读数。解 各表读数是所在支路电流相量模(有效值)，初相未知。令 根据元件VCR能方便确定并联支路电流初相。分别为：根据KCL，有：所求电流表的读数为：表A：7.07A；表A4：5A,8-4 电路定律的相量形式,习 题,P217 题 8-1 8-2 P218 8-15,
