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1、第2章电阻电路的等效变换,对于简单的电阻电路来讲，运用电路的等效变换，可使原电路得到简化，易于电路的分析计算。本章重点讲述电阻电路的等效变换的概念，包括简单电阻电路的等效变换，如电阻的串联、并联。,电阻星形连接和三角形连接的等效变换；电源的等效变换。这些等效变换是电路理论中的重要概念，是电路分析中常用的分析方法。,2.1 简单电阻电路的等效变换,2.1.1 电路等效变换的概念 本书分析研究的对象多为线性电路，即由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源构成的电路，而完全由线性电阻和电源元件（包括线性受控源）构成的电路，称为线性电阻电路，简称电阻电路。,从本章开始到第章将重点研究电阻电路的分析。
2、电路中的电源可以是直流的（不随时间变化），也可以是交流的（随时间按一定规律变化）；若所有的独立电源都是直流电源时，则称这类电路为直流电路。,在对电路进行分析的时候，有时可以将电路中某一部分用较为简单的电路代替，从而使整个电路得到简化，电路的分析也更加方便。例如，在图2-1-1（a）所示的电路中，虚线框内由几个电阻构成的电路比较复杂，如果用一个电阻R替代，如图2-1-1（b）所示，那么整个电路就简单化了。,图2-1-1 电路的等效变换,当然这种替代是有条件的，其条件是替代前后被替代部分的端11之间的电压和电流（图2-1-1中的和）保持不变，此时替代与被替代的电路在整个电路中的效果是相同的，这就是
3、“等效”的概念，电阻R称为等效电阻。,一般地说，当电路中某一部分用另一部分电路替代后，如果未替代部分的电压和电流均保持不变，则称替代部分电路与被替代部分电路相互等效；将电路中的一部分用其等效电路替代的过程，称为等效变换。,值得强调的是，等效变换前后不变的是等效电路以外的部分，所以这种等效是“对外等效”，至于等效电路内部，两者结构显然不同，各处的电流和电压没有相互对应的关系。,例如，如果要求取图2-1-1（a）中的相关电压和电流，对于11之间的电压和电流值可通过图2-1-1（b）求得，而图2-1-1（a）点画线框内的电压和电流值则必须回到原电路中分析求取，这就是对外等效的概念。,2.1.2 电阻
4、的串联,串联是电路元件常见的一种连接方式。各电路元件依次首尾相连，连成一串，称为串联。,图2-1-2 电路的串联,若用一个电阻R代替这n个串联的电阻，如图2-1-2（b）所示，并定义,即有 显然电路两端的电压和电流关系不会改变。根据等效的概念，称电阻是这些串联电阻的等效电阻。,式（2-1-1）说明，n个串联电阻的等效电阻Req为其各个串联电阻的和。显然，等效电阻大于任何一个串联电阻。,电阻串联时，各个电阻上的电压为,即各电阻上的电压与其各自的电阻值成正比，或者总电压是根据各个串联电阻的阻值进行分配的，阻值越大，分到的电压也越大。式（2-1-2）称为串联分压公式。,2.1.3 电阻的并联,并联也
5、是电路元件常见的一种连接方式。各电路元件首尾两端分别接在一起，连成一排，称为并联。,图2-1-3（a）所示电路为n个电阻的并联组合电路，每个电阻两端的电压相同，电流根据KCL有,图2-1-3 电阻的并联,由电阻VCR可得,若用一个电阻代替这n个并联的电阻，如图2-1-3（b）所示，并定义该电阻的电导为,即有,显然电路两端的电压和电流关系不会改变。根据等效的概念，称电导Geq是这些并联电导的等效电导，则其对应的等效电阻为,或,式（2-1-3）说明，n个电阻并联，可以等效为一个电阻R，该等效电阻对应的电导为其各个并联电阻的电导之和。不难看出，等效电阻小于任何一个并联电阻。,电阻并联时，流过各个电阻
6、的电流为,即各电阻中的电流与其各自电导值成正比，或者说总电流是根据各个并联电阻的电导值进行分配的。电导值越大（即电阻值越小），则分得的电流越大。式（2-1-4）称为并联分流公式。,图2-1-4 两个电阻的并联,2.1.4 电阻的混联,如果相互连接的各个电阻之间既有串联又有并联，则称为电阻的串并联或混联，如图2-1-5（a）所示点画线框内的电路。,对于这种电路，可根据其串并联关系依次对它进行等效变换或化简，最终都能等效成一个电阻，如图2-1-5（b）所示，如果用“”表示电阻的串联，用“/”表示电阻的并联，则其等效电阻为,图2-1-5 电阻的混联,对于电阻混联电路，可以通过等效变换或化简，并结合分
7、压、分流公式对电路进行分析。例2-1-1 求图2-1-6（a）所示电路的等效电阻Rab。,图2-1-6 例2-1-1电路图,例2-1-2 求图2-1-7（a）所示电路的等效电阻Rab。,图2-1-7 例2-1-2电路图,2.2 电阻的星形连接和三角形连接的等效变换,2.2.1 星形连接与三角形连接 在电路中有时会碰到有些电路元件之间的连接既非串联，也非并联。,如图2-2-1（a）所示，3个电阻都有一个端子连接在一起构成一个节点，另一个端子则分别与外电路连接，这种连接方式称为Y连接（或星形连接）；如图2-1-2（b）所示，3个电阻的端子分别首尾相连，形成3个节点，再由这3个节点作为输出端与外电路
8、相连，这种连接方式称为连接（或三角形连接）。,对于Y连结与连接电路，无法用电阻的串、并联对其进行等效化简，但如果对于图2-2-1所示电路，能R1、R2、R3在构成的Y连接与R12、R23、R31构成的连接之间进行等效变化，那么如图2-2-2（a）所示的电桥电路就可以应用这一等效关系进行简化。,如将图2-2-2（a）中的一组连接的电阻（R1、R2、R5）等效为Y连接的电阻（Ra、Rb、Rc），就能得到图2-2-2（b）所示的电路；而将图2-2-2（a）中的一组Y连接的电阻（R1、R2、R5）等效为连接的电阻（Rab、Rac、Rcd），就能得到图2-2-2（c）所示的电路。,这样就可以进一步通过简
9、单的电阻串、并联对电路进行等效化简了。,图-电阻的Y连结与连接,图2-2 电路图,2.2.2 星形三角形连接之间的等效变换,电阻的连接与连接都是通过3个端子与外电路相连的，如果能保证这3个端子1、和之间的电压u12、u23、u31分别对应相等，流入这3个端子的电流i1、i2、i3也分别对应相等，则由等效的概念可知，图2-2-1所示电阻的连接与连接相互等效。,对于连接的电路，如图2-2-1（b）所示，各电阻中流过的电流为,根据KCL，端子电流为,对于连接的电路如图2-2-1（a）所示，由KCL和KVL可列出端子电流和电压之间的关系，方程为,对这3个方程联立求解，可得3个端子电流：,若要使这两种连
10、接等效，则必须满足在任何时刻，当两种连接的对应端子之间分别具有相同的电压u12、u23、u31时，流入对应端子的电流也应该相等，即有,将式（2-2-1）与式（2-2-2）相比较，可得,式（2-2-3）就是Y连接与连接相互等效时电阻之间的关系，或者也可以认为是根据Y连接的电阻确定连接的各电阻的公式。,反之，也可以求得,式（2-2-4）就是根据连接的电阻来确定Y连接的各电阻的公式。,为了便于记忆，可将连接与连接套画在一起，如图2-2-3所示，并将上述等效公式归纳为,图2-2-3 Y等效互换电路图,若Y连接的3个电阻相等时，即R1=R2=R3=RY，则等效连接的电阻相等，它们等于,反之，则,图2-2
11、-4 例2-2-1电路图（1）,图2-2-5 例2-2-1电路图（2）,2.3 电源的等效变换,2.3.1 电压源、电流源的串联和并联 电路分析中经常会遇到多个电源串、并联的情况，也可以应用等效的概念将其简化。图2-3-1（a）所示为n个电压源的串联。,图2-3-1 电压源的串联,根据KVL，有,在计算uS时必须注意各串联电压源电压的参考方向，如果uSk的参考方向，与图2-3-1（b）中uS的参考方向一致时，式中uSk的前面取“+”号，不一致时取“”号。,例如，图2-3-2（a）所示为3个电压源的串联，其等效电压源如图2-3-2（b）所示，则其电压大小为,图2-3-2 电压源串联电路的等效示例
12、,电压源也可以并联，但只有极性一致且电压相等的电压源才允许并联，否则将违背KVL。其等效电路为其中任一电压源，但是这个并联组合中各个电压源分别向外部提供的电流无法确定。,如图2-3-3（a）所示为n个电流源的并联，根据KCL，有,其电压u取决于外电路。这n个并联的电流源可以等效为一个电流源，如图2-3-3（b）所示，并且满足，即等效电流源的电流is等于这n个并联电流源电流的代数和。,在计算iS时必须注意各并联电流源电流的参考方向，如果iSk的参考方向与图2-3-3（b）中iS的参考方向一致时。式中iSk的前面取“+”号，不一致时取“”号。,例如，图2-3-4（a）所示为3个电流源的并联，其等效
13、电流源如图2-3-4（b）所示则其电流大小为,图2-3-3 电流源的并联,图2-3-4 电流源并联电路的等效示例,电流源也可以串联，但只有方向一致且电流相等的电流源才允许串联，否则将违背KCL。其等效电路为其中任一电流源，但是这个串联组合中的总电压在各个电流源之间的分配无法确定。,值得注意的是，电路分析中有时会碰到几种比较特殊的情况，如电压源与支路的并联（见图2-3-5）或电流源与支路的串联（见图2-3-6）。,图2-3-5 电压源与其他支路并联的几种典型电路,图2-3-6 电流源与其他支路并联的几种典型电路,2.3.2 实际电源的两种模型及其等效变换,前面讲述的电源都是理想电源，而实际电路中
14、的电源，其伏安特性与理想电源并不相同。,图2-3-7（a）所示为一个实际直流电源，如一个电池或一个直流发电机，通常具有如图2-3-7（b）所示的外部特性：电源两端的电压随着输出电流的增加而减少。,与电压轴的交点，因为此时i=0，所以为开路电压UOC；与电流i轴的交点，因为此时u=0，所以为短路电流ISC。,此伏安特性可以用以下直线方程表示：,图2-3-8 实际电源的两种电路模型及其伏安恃性,由式（2-3-1）变形可得,令则有,即可以用如图2-3-8（c）所示的由一电流为iS的理想电流源和一个电阻RS（或电导GS）并联组成的电路模型来表示这一实际电源，其伏安特性如图2-3-8（d）所示，这一模型
15、称为实际电流源模型。,由上述分析可知，实际电源有两种模型：一种是电压源和电阻的串联组合；另一种是电流源和电导的并联组合。,在式（2-3-2）条件下可以由其中一种模型推得另一种模型，也就是说这两种模型是可以互相等效的，而其等效条件即为式（2-3-2），等效时一定要注意uS和iS的参考方向，iS的参考方向由uS的负极指向正极。,当i=0时，端子处1-1的电压u为开路电压uOC，而uOC=uS；当时u=0时，i为端子1-1处的短路电流iSC，而iSC=iS；同时有uOC=Rs iSC，或iSC=Gs uOC。,值得注意的是，这种等效是其对外特性的等效，也即端子1-1处的伏安特性相同，而不是内部等效。,图2-3-9 例-3-1电路图,图2-3-10 例-3-2电路图,例2-3-3 如图2-3-11（a）所示电路，试用电路等效变换方法求i。,图2-3-11 例2-3-3电路图,
