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1、第八章 平面与立体相交、直线与立体相交,8.1 平面和平面立体相交 8.2 直线和平面立体相交 8.3 平面和曲面立体相交8.4 直线和曲面立体相交,8.1 平面和平面立体相交,截平面,截交线,截断面,平面和平面立体相交，也叫做立体被平面截割。,截交线,截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。,截平面 用以截切物体的平面。,截交线 截平面与物体表面的交线。,截断面 因截平面的截切，在物体上形成的平面。,讨论的问题：截交线的分析和作图。,截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。,平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线
2、或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。,截交线的性质：,共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。,平面截切体的画图,求截交线的两种方法：,求各棱线与截平面的交点棱线法。,求各棱面与截平面的交线棱面法。,关键是正确地画出截交线的投影。,求截交线的步骤：,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,确定截交线的投影特性,确定截交线的形状,空间及投影分析,画出截交线的投影,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,例1、求作正垂面截割三棱锥SABC的截交线,正垂面P其正面投影Pv有积聚性,可直接求出棱线SA,SB,SC与截平面P的交点.依次连接各顶点,得截交线,例2、
3、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。,(1)求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。,1,2,3,(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,2,3,(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。,(4)补全棱线的投影。,3”,具体步骤如下：,8.2 直线和平面立体相交,M,N,直线和立体相交的交点叫做贯穿点。2个基本性质:它是直线与立体表面的公有点成对产生,贯穿点的求法,1.积聚投影法求贯穿点当立体上参与相交的表面或直线有积聚投影时,则贯穿点的一个投影为已知,可利用直线上取点或立体表面上取点的方
4、法求出贯穿点的其余投影.(例题见书P115)2.辅助平面求贯穿点当立体表面与直线都没有积聚投影可利用时,可用辅助平面法求贯穿点.作图步骤类似于一般位置直线和一般位置平面求交点,贯穿点的求法,步骤如下：1、通过已知直线作一个辅助平面（通常选择投影面垂直面作为辅助平面）。2、求出辅助平面和平面立体的截交线。3、确定截交线和已知直线的交点。这个交点即为所求贯穿点。,例2、求直线AB和三棱锥SDEF的贯穿点。,三棱锥各棱面为一般位置平面，采用包含直线AB作适当辅助平面求贯穿点,作图：1）过直线AB作正垂面P2）求出平面P与三棱锥的截交线1233)截交线123与直线AB交点G和H4)可见性的判别,8.3
5、平面和曲面立体相交,一、回转体截切的基本形式,截交线的性质：,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。,截交线都是封闭的平面图形。,二、求平面与回转体的截交线的一般步骤,空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。,画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。,先找特殊点，补充中间点。,截交线的求法,表面取点
6、法：（1）素线法：在曲面立体的表面上取若干素线，求出素线与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。（2）纬圆法：在曲面立体的表面上取若干纬圆，求出纬圆与截平面的交点，然后依次光滑连接即可。辅助平面法：以某些特殊位置平面为辅助平面，求出辅助平面与曲面立体和截平面的交线，则这两条交线的交点即为截交线上的点，将这些点依次光滑连接即为所求截交线。,作图步骤,1、进行线面分析，判断截交线的形状和性质。2、根据截平面和曲面立体所处的位置，决定采用什么方法求截交线。3、求出特殊位置点的投影。4、根据需要求出若干一般位置点的投影。5、光滑且顺序的连接各点，作出截交线，并判别可见性。6、整理轮廓线。,截交线,平面与
7、圆柱体截交,平面与圆锥体截交,截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置,垂直,圆,椭圆,平行,两平行直线,倾斜,圆柱体的截切,例3、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,（2）再作出适当数量的一般点。,（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。,1,1,5,5,3,7,3,(7),1”,5”,3”,7”,2,2,2”,4,6,8,4,4”,（4）补全侧面投影中的转向
8、轮廓线。,8”,6”,比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,圆锥体的截切,例3、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,1,2,1,2,1”,2”,34,3,4,56,6,5,（2）再作一般点。,（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。,（4）补全侧面转向轮廓线。,3”,4”,5”,6”,78,7,8,8.4 直
9、线和曲面立体相交,直线和曲面立体相交所得的交点也叫贯穿点。求作直线和曲面立体的贯穿点，如同求直线与平面立体的贯穿点一样，一般也采用辅助平面法。步骤如下：（1）过已知直线作一个辅助平面（特殊位置平面）（2）求辅助平面与曲面立体的截交线；（3）确定截交线与已知直线的交点，该交点即为所求点。在特殊情况下，如曲面的投影具有积聚性，或直线的投影积聚，则可直接求出贯穿点。,例23、求贯穿点1.直线AB与圆柱的贯穿点圆柱面的水平投影积聚为一圆,直线AB上的贯穿点K和L可利用其积聚性求出2.正垂线CD与圆锥的贯穿点圆锥面各投影没有积聚性,包含直线作适当的辅助平面,1,1,小 结,一、平面体的截交线一般情况下是
10、由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。,求截交线的方法：棱线法 棱面法,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。,分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。,求截交线,三、解题方法与步骤,空间及投影分析,分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。,当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。,求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。,
