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1、第四章 量纲分析和相似原理,第一节 量纲分析的意义和量纲和谐原理,一、量纲的概念,单位（Unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位为m或cm等。“量”的表征。,量纲（Dimension）：撇开单位的大小，表征物理量的性质和 类别。如长度量纲为L。“质”的表征。,基本量纲（Fundamental Dimension）：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取质量M，长度L、时间T、即M-L-T为基本量纲体系。,导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。,A=L2,=ML-3,F=MLT-2,量纲公式:,某一物理量q的量纲q
2、都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示,二、无量纲量,当,无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。,特点：(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；(3)在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲量。,三、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）,凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。,量纲和谐原理的重要性：,b、根据量纲和谐原理可用来确定公
3、式中物理量的指数。,c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。,a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。,第二节 量纲分析法,一、瑞利法（Rayleigh）,瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。,具体分析步骤如下：,1、确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；,2、写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：,3、根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数a，b，p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。,应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超过4个，待求量纲指数不超过3个。,【例4-1
4、】求水泵输出功率的表达式【例4-2】求圆管层流的流量关系式（P74）,二、布金汉（Buckingham）定理（定理）,若某一物理过程包含n个物理量，即,其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）,则该物理过程可由n个物理量构成的nm个无量纲项所表达的关系式来描述，即,定理的解题步骤：,（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式：,（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量，一般取m=3，如q1、q2、q3。在管流中，一般选d，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，。,（3）基本变量依次与其余物理量组成项，即,（4）满足为无量纲项，定
5、出上面各项中基本量的指数ai,bi,ci,（5）整理方程式,选择基本变量的原则：1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲（M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。,应用范围：对相关物理量个数 n 没有限制，应用更为普遍。,例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已知0与液体的密度，液体的
6、动力沾滞系数，圆管直径D，管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。,解 f（D、v、0、）=0从各独立影响因素中选取D（几何量）、（运动量）、（动力量）为基本量建立（63）项：,对 1：,同理求得,将各代入得,整理得,令，则,例题：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速v，管径D，重力g，动力粘度，管壁粗糙高度和密度。试用定理分析确定方程的一般形式。,解：,取v，d，为基本变量，则的个数 n-m=7-3=4,进行量纲分析，则有,a1=0，b1=0，c1=0 a2=1，b2=1，c2=1a3=0，b3=1，c3=0a4=2，b4=-1，c4=0,即,解得：,第三节 相似原
7、理,一、流动相似,原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。,水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。,关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。,流动相似：若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作用力等）具有各自的固 定比例关系，则这两个流动就是相似的。,模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似,1.几何相似（geometric similarity）,指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应的线段长度成
8、比例、夹角相等。,以脚标p表示原型、m表示模型，则有,长度比尺,面积比尺,体积比尺,2.运动相似（kinematic similarity）,指原型和模型流体运动的速度场相似，即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u 及加速度 a 方向相同，且大小具有同一比值。,速度比尺,加速度比尺,3.动力相似（dynamic similarity）,指原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。,分别以符号T、G、P、Tw和I代表影响流体运动的作用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则有,力的比尺,4.初始条件和边界条件相似,边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，如原型中
9、有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。,对于非恒定流动，还要满足初始条件相似；而对于恒定流动，无需初始条件相似。,流动相似的进一步解释：边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动相似的前提与依据；动力相似是决定流体运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是流动相似的目标；凡流动相似的原型与模型流动，必然同时满足几何相似、动力相似和运动相似。,二、动力相似准则,动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持某种固定不变的比例关系。,1、雷诺（粘滞力）准则,考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系,无量纲数Re称雷诺数（Reynolds
10、 number）,雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘滞力起主要作用时，雷诺数相等。,适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的有压流动，如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。,2.弗劳德（重力）准则,考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系,弗劳德数（Froude number）表征惯性力与重力之比。两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。,适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。,3.欧拉（压力）准则,考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系,欧拉数（Euler
11、number）表征压力与惯性力之比。两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。,由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳德准则成立时，欧拉准则可自行成立。,4.韦伯（表面张力）准则,考虑原型与模型之间表面张力与惯性力的关系,韦伯数（Weber number）表征惯性力与表面张力之比。两相似流动，表面张力起主要作用时，韦伯数相等。,5.马赫准则（马赫数）,高速气流中，考虑原型与模型之间弹性力与惯性力的关系,马赫数（Mach number）表征惯性力与弹性力之比。两相似流动，弹性力起主要作用时（如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等），马赫数相等
12、。,思考：,为什么每个相似准则都要表征惯性力？,作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律，流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。,第四节 模型实验,建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。,一、模型律的选择,为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。（见书上推导
13、）,原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为雷诺模型律。原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称为弗劳德模型律。,模型实验想做到与原型完全流动相似是困难的，一般只能达到近似相似，就是保证对流动起主要作用的力相似，这就是模型律的选择问题。,实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾。在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面满足试验要求。,二、模型设计,步骤：,1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定出长度比尺l；再以选定的比尺缩小原型的几何尺寸，得出模型区的几何边界；,2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律；,3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺v及模型的流量。,例题：书P84,例 长度比l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，测得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？,解 由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等,由于gp=gm，故上式可写成,或,由于,所以,
