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1、第八章 直线回归与相关分析,统计关系是一种非确定关系，即一个变数的取值受到另一变数的影响，两者之间有关系，但又不存在完全确定的函数关系。如：施肥量与产量的关系 药物浓度与反应率的关系；,一、函数关系与统计关系 函数关系是一种确定的关系。例如圆面积与半径的关系为：,第一节 直线回归与相关的基本概念,二、自变数与依变数 对据有统计关系的两个变数，分别用变数符号Y 和X 表示。根据两个变数的作用特点，统计关系又可分为因果关系和相关关系两种。两个变数间的关系若有原因和反应(结果)的性质，则称这两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数,以X 表示；定义结果变数为依变数,以Y 表示。,如果两个变数并
2、不是原因和结果的关系，是一种平行关系，呈现一种共同变化的特点，则称这两个变数间存在相关关系。如在人的身高和体重关系中，它们不是互为因果，而是同步增长、互有影响的。相关关系中没有自变数和依变数之分。,相关关系：,(1)对具有因果关系的两个变数，统计分析的任务是由实验数据推算出一个表示Y 随X 的改变而改变的方程，称之为回归方程(regression equation of Y on X)，这一过程称为回归分析。(2)对具有相关关系的两个变数，统计分析的目标是计算表示Y和X相关密切程度的统计数，并测验其显著性。这一过程称为相关分析。,三、回归分析和相关分析,相关分析只能研究两个变数y和x相关密切程
3、度，而不能用一个变量去预测和控制另一个变量的变化，这是回归分析和相关分析区别的关键所在。但二者不能截然分开，由回归分析可以获得相关的一些重要信息，由相关分析可以获得回归的一些重要信息。对于同一资料来说，回归系数和相关系数进行显著性检验，都是检验该总体有无直线关系。对于同一资料，回归显著，相关显著；反之也成立。,回归分析和相关分析：,四、两个变数资料的散点图将两个变数的n对观察值(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)分别以坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上得到的图，称为散点图(scatter diagram)。,1,2,3,4,x,生物产量(g),0.0,0.5,1.0,1.5,2.0
4、,y,稻谷产量(g),水稻单株生物产量与稻谷产量的散点图,3.2,3.6,4,4.4,4.8,x,每平方米颖花数(万),0,55,60,65,70,75,y,结实率(%),水稻每平方米颖花数和结实率的散点图,x,最高叶面积指数,y,产量(kg/亩),水稻最高叶面积指数和亩产量的散点图,利用散点图判断相关性质及密切程度,r-1(d),r1(b),0r1(a),-1r0(c),正向直线相关,负向直线相关,完全正直线相关,完全负直线相关,第二节 直线回归分析,称为直线回归方程(linear regression equation)。其中a 是x=0时的 值，即回归直线在y 轴上的截距，叫回归截距(r
5、egression intercept);b 是回归直线的斜率，表示x 每增加一个单位数时，y 平均增加(b0时)或减少(b0时)的单位数，叫回归系数(regression coefficeint)。,一、直线回归方程式,从上图得知，要使 能够最好地代表y和x在数量上的互变关系，必须使,y,x,二、求a和b值,分别对a和b求偏导并令其为0，即：,式中 是x的离均差和y的离均差的乘积之和，简称乘积和(sum of products),记作SP。,例7.1一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4 月中旬旬平均温度累积值(x,旬.度)和水稻一代三化螟盛发期(y,以
6、5月10日为0)的关系，得结果于下表。试计算其直线回归方程。,三、直线回归方程的计算,解：1.由观察值计算一级数据,2.由一级数据计算二级数据,3.求a和b值,4.求回归方程：,当3月下旬至4月中旬的积温(x)每提高1旬度时，一代三化螟的盛发期平均将提早1.1天；若积温为0，则一代三化螟的盛发期将在6月2728日(x=0时，y=48.5；因y是以5月10日为0，故48.5为6月2728日）。但在应用回归方程预测时，需限定x的区间为31.7，44.2；如要在x31.7或44.2的区间外延，则必须有新的依据。,回归系数和回归截距的意义：,x，3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值 旬平均温度累积值和一
7、代三化螟盛发期的关系,四、直线回归方程的图示,五、直线回归的估计标准误满足 为最小的直线回归方程和实测的观察点并不重合，表明该回归方程仍然存在随机误差。Q 就是误差的一种度量，称之为离回归平方和或剩余平方和。,由于在建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自由度=n-2。因而，可定义回归方程的估计标准误为：,Q值的计算：,(1)F 测验,第三节 直线回归的假设测验,一、直线回归的假设测验1、回归关系的假设测验(t 测验和F测验只选择,例试用F测验法检测7.1资料回归关系的显著性。,说明积温和一代三化螟盛发期是有极显著的直线回归关系。,(2)t 测验若总体不存在直线回归关系，则总体回归系
8、数=0；若总体存在直线回归关系，则总体回归系数0。所以对直线回归的假设测验为：H0：=0 对HA：0。回归系数b的标准误为：,例试测验7.1资料回归关系的显著性。,查附表3，,接受HA：0，即认为积温和一代三化螟盛发期是有真实的直线回归关系。,第四节 相关分析,8.3.1 相关系数和决定系数,一、相关系数,设有一X、Y 均为随机变量的双变数总体，具有N对(X，Y)。若在标有这N个(X，Y)坐标点的直角坐标上移动坐标轴，将X轴和Y轴分别平移到X和Y上，则各点位置不变，而所取坐标变为(X-X，Y-Y)。,后者是由X的不同而引起。显然，若坐标点愈靠近回归线，则U对SSy的比率愈大，直线相关就愈密切，
9、故样本的相关系数r 为：,从样本的角度分析，y 的平方和SSy是由离回归平方和 及回归平方和 构成的，,二、决定系数决定系数(determination coefficient):由x 不同引起的 y 的平方和 占总平方和 的比率。,可见，决定系数即为相关系数r 的平方值。,三、相关系数的性质,-1 r 1r的符号表示相关的性质r0为零相关或不相关r0为正相关r0为负相关,r的绝对值表示相关的密切程度r的绝对值越接近于1，相关越密切；r的绝对值越接近于0，相关越不密切；r的绝对值为0，零相关或不相关；r的绝对值为1，完全相关r=1,完全正相关r=-1,完全负相关,回归分析和相关分析的区别和联系
10、：区别：,1.资料要求不同。回归要求依变量y服从正态分布，X是可以控制的。相关则要求两个变量X 和y都服从正态分布，有两个回归方程。2.回归反映两个变量之间的单向关系，相关表示两个变量之间的双向关系。3.回归系数可以是如何实数，有单位；而相关系数在-1，1内取值，无单位。,联系：,1.方向一致。两者的符号是一致的。r为正时，说明两个变量的相关关系时同向变化的；b为正时，说明两个变量之间由回归方程所确定的函数关系是递增的。2.假设检验等价。可以互相替代。,3.相关和回归可以互相解释。当SS总不变的情况下，回归平方和的大小决定了相关系数的大小，r2则可以反映回归平方和在总平方和中所占的比重。回归平
11、方和接近总平方和时，r2接近1，回归效果好。同时也可以从回归的角度对相关程度做进一步的解释。如r=0.5，r2=0.25，说明一个变量y的总变异能够通过x变量以直线回归的关系来估计的比重只占25%，其余75%的变异无法借助直线回归来估计，从而说明两变量间的相关关系实际意义不大。,直线回归和相关的应用要点：,1.要由学科专业知识作指导。是否发生相关以及在什么条件下发生什么相关等问题，都必须由各具体学科本身来决定。否则毫无意义。如孩子的身高与植物的株高的关系，理论上也可以计算出显著水平的相关系数。2.要严格控制研究对象（x和y）以外的有关因素。否则会产生虚假的结论。如研究密度与产量的关系。肥水、病虫和管理也会影响。3.分析结果不显著，并不意味x和y没有关系。只能说明两者没有显著的直线关系，也可能存在曲线关系的可能性。,4.一个显著的r或b并不代表X和Y的关系一定是线性的，并不排斥有更好描述X和Y关系曲线的存在。可能就某一区段来讲有极显著的直线关系。5.在农学和生物研究过程中，发现X和Y关系真实曲线是很难的。只能就某一区段来研究。外推是危险的。6.一个显著的相关或回归并不一定有实践上的预测意义，有时候不可靠。需要预测时，r的绝对值必须在0.7以上。7.为了提高分析的准确性，两变数的样本容量n5.,
