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1、计算方法课件：,由何满喜、尚绪凤制作,计算方法,中国计量学院理学院数学系,第八章,矩阵特征值特征向量的计算,8.1 引言,8.4 反幂法,8.3 幂法的加速与降价,8.2 幂法,在本章，你将学到,8.1 引言,8.2 幂法,8.3 幂法的加速与降价,8.4 反幂法,8.5 计算对称矩阵特征值和特征向量的对分法,8.6 雅可比方法,8.5 计算对称矩阵特征值和 特征向量的对分法,8.6 雅可比方法,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,8.1 引言,定义1 设A是n阶实对称矩阵，,对于任一非零向量,，数,称为向量x的瑞利商，其中,是向量x的内积。,(8.1),(8.2),定理1 设A是n阶实对称矩
2、阵，其特征值为,是对应的正交特征向量,即,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,则,其中,是向量x的瑞利商.,证 设,是对应于特征值,的正交特征向量，,是任一向量,则,即,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,和,所以由,可得,和,由此可得,由于当向量x分别取,和,时,就有,于是有,第八章,定理3称为盖尔圆盘定理,(8.3)称为盖尔圆盘.,矩阵特征值与特征向量的计算,定理3 设,则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中：,(8.3),定理2 设,是矩阵,的特征值，则有,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,解 先计算盖尔圆盘:,即矩阵A的特征值,都满足,。,例1 设有矩阵,试估计矩阵A的特征值,的特
3、征值的范围.,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,1 幂法,8.2 幂法,幂法的基本思想是：,若要求某个n阶矩阵A的特征值和特征向量，,先任取一个初始向量,，构造如下向量序列：,式(8.5)就称为幂法的迭代公式，向量序列,称为幂法的迭代向量或迭代序列。,当k增大时，分析这一序列的极限，即可求出按模最大的特征值和对应的特征向量。,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,例2 设有矩阵,试用幂法来计算按模最大的特征值。,解 矩阵A的两个特征值为,用公式(8.5)产生向量,计算结果列于表8.1.计算出向量序列,的同时还计算相邻两个向量相应分量之比,和,(见书表8.1)，由表8.1得：,用幂法,取初始向量
4、,序列,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,从上面计算出的相应分量之比看出，两个相邻向量,1.179339,并且这个值恰好就是矩阵A的按模最大,的特征值。,相应分量之比值，随k的增大而趋向于一个固定值,问题：为什么这个比例值就是矩阵按模最大的特征值？,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,(8.9),(8.10),设矩阵A的n个特征值按模的大小排列如下,其对应的线性无关的特征向量组设为,假定这些向量已按其长度为1或其最大模元素为1进行了归一化。,(8.6),取,利用迭代公式(8.5)来构造迭代序列，则有,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,其中,若,由于,故k充分大时,是可以忽略的无穷小量，即当
5、,(8.12),(1)如果矩阵A的按模最大的特征值满足,即按模最大的特征值,是单实根,则(8.10)式可写成,(8.11),时有,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,(8.13),这说明,与特征向量,相差一个常数因子。,即使,由于计算过程的舍入误差,必将引入在,方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程,相同。,的进展而逐渐成为主导,其收敛情况最终也将与,因此当,时由(8.13)得,(8.14),这说明当矩阵A的n个特征值满足(8.11)时，,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,矩阵A的按模最大的特征值,是向量,与,的比例，即有,(8.15),从以上分析看出,幂法的收敛速率虽然与初始向量,的选择有
6、关,但主要还是依赖于比值,比值愈,收敛愈快,当比值接近于1时,收敛比较慢.,的大小.,（2）如果矩阵A的按模最大的特征值满足,(8.16),第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,即按模最大的特征值,是2重实根或共轭复数根,此时（8.10）式可写成,(8.17),其中,由于,，故k充分大时,无穷小量，即当,时有,是可以忽略的,第八章,(8.18),(8.19),(8.20),矩阵特征值与特征向量的计算,于是可得,(8.21),记,(8.22),则(8.21)可写成,(8.23),所以A的特征值满足(8.16)时，用公式(8.5)来构造,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,若(8.23)式成立,则此
7、时矩阵A的按模最大的特征值,由公式,(8.24),得到。,又利用(8.18)(8.20)可得,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,(8.25),因此,所以A的特征值,对应的特征,若,则,对应的特征向量是,时矩阵A的特征值,向量是,同理可得,时A的特征值,对应的特征向,若,则,所以A的特征值,对应的特征向量是,(8.26),因此,量是,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,例3 用幂法求矩阵,按模最大的特征值与对应的特征向量。,解：用公式(8.5)可写出迭代公式,取初始向量,得到表8.2的结果。,，用以上迭代公式计算,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,表中,，
8、即相邻两个向量,分量的比例，从表中计算结果可看出,，所以有,对应的特征向量可取为,第八章,2 改进的幂法,矩阵特征值与特征向量的计算,在实际计算时为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，,“归一化”，即用,的分量,来除,归一化的向量,，即实际计算时所用公式为,对幂法做这样的“归一化”处理,就称为改进的幂法.,（8.27）,将向量序列,的绝对值最大,的各个分量，从而得出,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,如果按模最大的特征值,满足(8.11),那么当k,充分大时有,（8.28）,即向量序列,的按模最大的分量将收敛于按模,的符号可根据向量序列,的前后两个向量的分量符
9、号来确定，当前后两个,此时归一化后的向量,就是,对应的特征向量.,最大的特征值,向量的分量符号相同时,的符号取正,否则取负.,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,例4 用归一化的幂法求矩阵,按模最大的特征值与对应的特征向量。,解 取初始向量,计算得到表8.3的结果.从表中计算结果可看出,且向量序列前后两个向量的符号相同,所以有,对应的特征向量取为,用以上迭代公式(8.27),第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,第八章,1 幂法的加速,幂法的收敛速度依赖于按模最大特征值和按模次大特征值之比,当这个比值很小时则只需迭代较少的几次就可求出按模最大特征值的一个很好的近似值.,矩阵特征值与特征向量的计算
10、,8.3 幂法的加速与降价,应该考虑对矩阵进行适当的变换,使得变换后的这个矩阵有一个按模较大的特征值,并且变换后的新矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比要比,原矩阵的按模最大特征值和按模次大特征值之比更大.这样对变换后的新矩阵利用以上方法求其,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,(8.29),先取一个常数,对A做平移变换：,即用,来代替A进行迭代,因为A与,之间除了,与,有关系,且相应的特征向量,不改变,因此有,按模最大的特征值,则其收敛速度将得到加快.,对角元素以外,其他元素都相同,它们之间的特征值,为了加速迭代过程的收敛速度,适当选取,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,所以用此方法选
11、取,有一定的困难.,再在计算机上作些模拟计算,考察使所取,对迭代过程是否有明显加速,然后再进行计算.,比,更小，如对于对称正定矩阵可以,这时就有,这就是幂法加速的原点平移法.,因特征值的分布情况预先不知道,对矩阵的特征值分布大致有个了解后,粗略估计一个,常用方法是可以用盖尔圆盘定理,使,选取,第八章,2 幂法的降阶,矩阵特征值与特征向量的计算,基本思想：,对原矩阵A进行变换，使变换后得到的矩阵,其按模最大的特征值是原矩阵A的按模次大的,特征值，这时对,又可以用幂法进行计算，,大的特征值,求得其按模最大的特征值，从而求得A的按模次,如果矩阵A的特征值满足,(8.30),那么在已经求出,和,以后，如何进一步计算,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,根据对称矩阵的性质有,所以,以,代替,进行迭代即可求得,和,这就是幂法的降阶法。,(8.32),假定已求得矩阵A的按模最大特征值,和相应的,现构造,（8.31）,特征向量，并令,及,呢？,第八章,矩阵特征值与特征向量的计算,注意：用这种方法求出的,和,，精度已较,和,差，若在继续使用此方法，后面求得的,和,精度将更差。,因此，实际上只能用少数几次，用来求矩阵前几个特征值和特征向量。,
