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1、,高校理科通识教育平台数学课程,微积分学(二),多元微积分学,空间解析几何,授课教师 孙学峰,向量代数与,空间解析几何,向量的概念与运算.空间直角坐标系,向量的数量积、向量积、混合积,空间平面及其方程,空间直线及其方程,空间曲面及其方程,1 向量的概念及向量的表示,一、向量的基本概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量),2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.,以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.,(一)向量的概念,3.自由向量,大小相等且方向相同,特别:模为1的向量称为单位向量.,模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.,1.向
2、量加法.,(1)平行四边形法则,设有(若起点不重合,可平移至重合).作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,称为 的和,记作,(2)三角形法则,将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合,则由 的起点到 的终点所引的向量为,(二)向量的加减法,2.向量加法的运算规律.,(1)交换律:,(2)结合律:,例如:,3.向量减法.,(2)向量减法.,规定:,平行四边形法则.,将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为,三角形法则.,将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为,1.定义,实数与向量 的 为一个向量.,其中:,当 0时,当 0时,当=0时,2.数与向
3、量的乘积的运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,(三)数与向量的乘法,结论:设 表示与非零向量 同向的单位向量.,则,或,(方向相同或相反),例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=,试用 表示向量MA,MB,MC 和MD.,其中,M是平行四边形对角线的交点.,1.点在轴上投影,设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.,(四)向量在轴上的投影,2.向量在轴上的投影.,定义,如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，,显然,3.两向量的夹角,规定：,4.向量的投影性质.,定理3 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。,推论
4、:,即,即,定理4:实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。,二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示,1.空间直角坐标系的建立,o,z,x,y,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.,(一)空间直角坐标系,2.坐标面.,由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫x y面.y z面、z x面,它们将空间分成八个卦限.,1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.,R,Q,P,记:点M为M(x,y,z),(二)空间向量的表示,(1)若点M在yz面上,则 x=0;在zx面上,则 y=0;
5、在xy面上,则 z=0.,(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0,在 y 轴上,则 x=z=0,在 z 轴上,则 x=y=0,特别:,2.空间向量的坐标表示,设点 M(x,y,z),以 i,j,k 分别表示沿 x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.,=xi+yj+zk,由于：,从而：,(2).起点不在原点O的任一向量 a=M1M2,设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k),=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k,即 a=x2 x1,y2 y1,z2 z1为向量a的坐标表示式,记 ax=
6、x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1,分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.,由此得两点间距离公式：,(3).运算性质,设 a=ax,ay,az,b=bx,by,bz,且为常数,a b=ax bx,ay by,az bz,a=ax,ay,az,证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k),=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k),=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,a+b=ax+bx,ay+by,az+bz,(4)两向量平行的充要条件.,设非零向量 a=ax,ay,az,b=bx,by,
7、bz,即ax=bx,ay=by,az=bz,于是,例如：4,0,6/2,0,3,1.方向角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.,2.方向余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos 称为方向余弦.,3.向量的模与方向余弦的坐标表达式,设a=ax,ay,az,(三)向量的模与方向余弦的坐标表示式,又：,(4),(5),由(5)式可得,cos2+cos2+cos2=1,(6),设ao是与a同向的单位向量,ao,=(cos,cos,cos),(7),例2.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.,例3:在z轴上求与两点 A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.,解:设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|.,即:,解得:,所求点为 M(0,0,),例4 证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,解:,由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.,
